LISTA DE EXERC´ICIOS 09 – v. 1.0 Assuntos:

(1)

UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 09 – v. 1.0

Assuntos: Mais tipos de rela¸cões binárias; fun¸cões.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os pas- sos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸cão de um item esteja dispon´ıvel, só conferi-la após tentar resolvê-lo seriamente. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igual- dade, a nossa Parte I dos axiomas de ZF (cf. Lista 04), e os resultados em nossas listas anteriores. Mesmo se o(a) estudante não conseguir resolver um item, deve tentar compreender seu enunciado e, se for viável, tentar aplicá-lo a exemplos. Os exerc´ıcios dif´ıceis e muito dif´ıceis para a audiˆ encia esperada ser˜ ao assinalados com * e ** respectivamente.

Defini¸ c˜ oes. Dada uma rela¸c˜ao R de X em Y , dizemos que:

− R ´e total ` a esquerda se, e somente se, ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ Y : xRy (isto

´e, (x, y) ∈ R), ou seja, para cada x ∈ X h´a, no m´ınimo, um y ∈ Y ao qual x se relaciona por R;

− R ´e sobrejetiva (ou sobrejetora, ou total ` a direita) se, e somente se, ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X : xRy, ou seja, para cada y ∈ Y h´a, no m´ınimo, um x ∈ X que se relaciona a y por R;

− R é uma correspondˆ encia se, e somente se, R é sobrejetiva e total à esquerda;

− R ´e injetiva (ou injetora , ou un´ ıvoca ` a esquerda ) se, e somente se, ∀ x, x

^′

∈ X, ∀ y ∈ Y, (xRy ∧ x

^′

Ry) = ⇒ x = x

^′

, ou seja, para cada y ∈ Y h´a, no m´aximo, um x ∈ X que se relaciona a y por R;

− R ´e funcional (ou un´ ıvoca ` a direita, ou ainda, R ´e uma fun¸ c˜ ao parcial ) se, e somente se, ∀ x ∈ X, ∀ y, y

^′

∈ Y, (xRy ∧ x

^′

Ry) = ⇒ y = y

^′

, ou seja, para cada x ∈ X h´a, no m´aximo, um y ∈ Y ao qual x se relaciona por R;

− R ´e biun´ ıvoca (ou de um para um) se, e somente se, R ´e injetiva e funcional;

− R é uma fun¸ c˜ ao (ou uma fun¸c˜ ao total) se, e somente se, R é funcional e total à esquerda, Em caso afirmativo, costumamos denotar xRy (isto

´e, (x, y) ∈ R) por y = R(x);

(2)

− R é uma inje¸ c˜ ao se, e somente se, R é uma fun¸cão injetiva;

− R é uma sobreje¸ c˜ ao se, e somente se, R é uma fun¸cão sobrejetiva;

− R é uma bije¸ c˜ ao (ou uma fun¸ c˜ ao bijetiva, ou uma fun¸ c˜ ao bijetora) se e somente se R é uma fun¸cão injetiva e sobrejetiva, isto é, R é uma correspondˆ encia biun´ıvoca;

− R é uma permuta¸ c˜ ao de X se, e somente se R é uma bije¸cão de X em X.

Obs. Fun¸c˜oes podem ser consideradas sob mais de um ponto-de-vista. Uma fun¸c˜ao f : X −→ Y

x 7−→ f (x) = (lei de forma¸c˜ao) com

X = Dom(f)

Y = ContraDom(f )

é constitu´ıda de três informa¸cões, a saber, o dom´ınio, o contradom´ınio e a lei de forma¸cão. Ela pode ser vista, por exemplo, como:

− Uma regra (ou processo, ou transforma¸c˜ao) que associa, a cada ele- mento x ∈ X, um ´ unico elemento f(x) ∈ Y , dito valor de f em x;

− Uma rela¸cão funcional e total à esquerda de X em Y . Observemos que, sendo uma rela¸cão, f não é apenas um conjunto de pares ordena- dos, pois possui (carrega) duas informa¸cões adicionais: X = Dom(f) e Y = ContraDom(f ) (toda rela¸cão é rela¸cão de um conjunto num con- junto). Se esquecermos estas informa¸cões, temos o conjunto subjacente

¹

`a rela¸c˜ao, ou seja, apenas o conjunto de seus elementos (pares ordena- dos), dito gr´ afico de f: Γ

f

:= { a ∈ X × Y |∃ x ∈ X : a = (x, f (x)) } . Em suma: como rela¸c˜ao, f ⊆ X × Y e ´e igual a Γ

f

como conjunto mas também possui a indica¸cão de quem são seus dom´ınio e contradom´ınio;

− Um procedimento computacional ou m´aquina quando tal fun¸c˜ao (total)

´e efetivamente comput´avel (no sentido de teoria da computabilidade);

− Um ente matemático chamado morfismo do objeto X no objeto Y na categoria de conjuntos e fun¸cões. Informalmente, categorias são contextos estudados sob o aspecto composicional (cf. composi¸cão de fun¸cões abaixo). Nelas, os morfismos são os entes aos quais se aplicam a composi¸cão. Categorias são abstratas e ricas o suficiente para se fazer toda a matemática através delas.

1Dada um objeto matemático que consiste de um conjunto munido de alguma estrutura, aquele conjunto é ditoconjunto subjacenteao objeto (e à estrutura); em inglês,

“underlying set” ou “field”. Obs. O nome “field” também significa campo (em f´ısica, geometria, análise geométrica e topologia diferencial) ecorpo (em álgebra).

(3)

Obs. O conceito de fun¸cão evoluiu dos séculos XVII a XX tendo diferentes escopos até atingir a defini¸cão moderna

²

. O termo “fun¸cão” foi introduzido por Gottfried Leibniz (1673). A nota¸cão usual f(x) foi introduzida por Alexis Clairaut e Leonhard Euler. Ela é dita uma nota¸cão “esquerdista”. A nota¸cão

“direitista” (x)f praticamente n˜ao ´e utilizada.

Defini¸ c˜ ao. Dados os conjuntos X e Y e a fun¸c˜ao f : X −→ Y , a imagem de f ´e o conjunto Im(f) := { y ∈ Y |∃ x ∈ X, y = f (x) } .

Obs. Logo, Im(f ) consiste dos valores, em Y, realmente obtidos (atingi- dos) por f . Não confundir Im(f ) com ContraDom(f ) = Y : em geral, Im(f) ⊆ ContraDom(f ) pela (devido à) defini¸cão de imagem. Quando a igualdade ocorre, a fun¸cão é sobrejetiva.

Quest˜ ao 1. Sejam A e B conjuntos.

1.a. Consideremos os seguintes tipos de rela¸cão: total à esquerda, sobrejetiva, injetiva e funcional. Verificar em quais deles as rela¸cões apresentadas na Questão 3 da versão 1.1 da Lista 07 se enquadram. Em particular, no Item 3.a, mostrar que a rela¸cão R não é de nenhum destes tipos. Repetir o exerc´ıcio para a rela¸cão A × B de A em B. A resposta depende do n´ umero de elementos de A ou B ?

1.b. Sejam f, g : A −→ B fun¸c˜oes. Demonstrar que f e g s˜ao iguais como rela-

¸cões de A em B se, e somente se, os valores de tais fun¸cões em cada elemento de A são iguais, isto é: f = g ⇐⇒ ∀ a ∈ A, f(a) = g(a).

Obs. Alguns autores denotam f = g na senten¸ca acima por f ≡ g.

Obs. Tomando a contrapositiva, obtemos que: f e g s˜ao distintas se, e so- mente se, diferem em algum elemento a ∈ A.

Obs. A igualdade acima já pressupõe que os dom´ınios de f e g são iguais, e os contradom´ınios, também. Se os (contra)dom´ınios forem distintos, as fun¸cões são distintas. Isto é particularmente sutil no caso em que as fun¸cões dife- rem apenas nos contradom´ınios: neste caso, elas têm o mesmo dom´ınio

³

e a mesma lei de forma¸c˜ao

⁴

, resultando em gr´aficos iguais enquanto conjuntos de pares ordenados

⁵

e na mesma imagem, contida em contradom´ınios distintos.

2Vide http://en.wikipedia.org/wiki/History of the function concept

3Afinal, se uma das fun¸cões estivesse definida num elemento em que a outra não estivesse, isto já produziria uma diferen¸ca clara entref egenquanto conjuntos formados por pares ordenados (ou seja, em seus gráficos) devido à totalidade à esquerda.

4Mais precisamente, ter a mesma lei de forma¸cão significa que os valores das fun¸cões em cadaxsão iguais, mesmo que expressos de modos diferentes. Ex.: parax∈^R,√

x²=|x|, mas as express˜oes“√

x²” e “|x|” são distintas e descrevem sequências de opera¸cões distintas.

5Γf ={(a, f(a))|a∈A}={(a, g(a))|a∈A}= Γg, pois,∀a∈A, f(a) =g(a).

(4)

Nota¸ c˜ ao. Dado b

₀

∈ B, a nota¸c˜ao f ≡ b

₀

significa que f ´e a fun¸ c˜ ao constante de valor b

0

, ou seja, f : A −→ B

a 7−→ f (a) = b

₀

.

1.c. Demonstrar que a rela¸c˜ao identidade de X, Id

X

= { (x, y ) ∈ X × X | x = y } ,

´e uma bije¸c˜ao.

Obs. Sendo uma fun¸c˜ao, a rela¸c˜ao identidade Id

X

: X −→ X

x 7−→ Id

X

(x) = x

´e dita a fun¸ c˜ ao identidade de X;

1.d. Provar que:

i. Existe uma ´ unica fun¸c˜ao (digamos, h) de ∅ em A (Qual ?);

ii. h ´e injetiva;

iii. h ´e sobrejetiva se, e somente se, A = ∅;

iv. Existe uma ´ unica fun¸c˜ao (digamos, k) de A em { ∅ } (Qual ?);

v. k ´e sobrejetiva se, e somente se, A 6 = ∅;

vi. k é injetiva se, e somente se, A é um conjunto unitário; e, vii. Se A 6 = ∅, então não existe fun¸cão de A em ∅;

1.e. * Consideremos a classe (formada por compreens˜ao irrestrita) B

^A

das fun-

¸c˜oes de A em B. Demonstrar que B

^A

´e extensionalmente igual a um conjunto bem definido em ZF;

1.f. Demonstrar que p é uma fun¸cão parcial de A em B se, e somente se, seu gráfico

⁶

´e igual ao de uma fun¸c˜ao t com Dom(t) ⊆ A e ContraDom(t) = B;

1.g. ** Demonstrar que ( { p ⊆ A × B | p ´e fun¸c˜ao parcial } , ⊆ ) e

( { p ⊆ A × B | p é fun¸cão parcial injetiva } , ⊆ ) são CPOs com m´ınimo ∅.

Obs. p é uma fun¸cão parcial injetiva significa que p é uma rela¸cão biun´ıvoca.

Observar que n˜ao usamos a palavra correspondˆ encia.

6De Γp= Γt, poder´ıamos, informalmente, dizer que pé, essencialmente, uma fun¸cãot com dom´ınio contido emA. Trocamospportporque, enquanto rela¸cão, Dom(p) =Afaz parte da especifica¸cão da rela¸cãop, que é diferente detse, e somente se, Dom(t)(A.

(5)

Defini¸ c˜ oes. Sejam W , X, Y e Z conjuntos, e ϕ : X −→ W e ψ : Y −→ Z fun¸c˜oes.

− Dado U ⊆ X, a imagem de U por ϕ, denotada por ϕ(U ), consiste dos valores, em W, obtidos por ϕ aplicada aos elementos de U , ou seja:

ϕ(U ) := { w ∈ W |∃ x ∈ U : w = ϕ(x) } . Obs. Em particular, Im(ϕ) = ϕ(X);

− Dado V ⊆ Y , ϕ

⁻¹

(V ) := { x ∈ X | ϕ(x) ∈ V } ´e a imagem inversa de V por ϕ. Assim, ϕ

⁻¹

(V ) consiste dos elementos de X cujos valores, por ϕ, pertencem a V ;

− Se Im(ϕ) ⊆ Y , então dizemos que ψ e φ, nesta ordem, são compon´ ı- veis, e definimos a composi¸ c˜ ao de ψ com φ como a fun¸cão abaixo:

ψ ◦ ϕ : X −→ Z

x 7−→ ψ ◦ ϕ (x) = ψ(ϕ(x)).

Obs. Geralmente, a composi¸cão é denotada pela nota¸cão “esquerdista”

ψ ◦ ϕ mas, em alguns (poucos) tópicos matemáticos, ela é denotada por uma das nota¸cões “direitistas” ϕ ψ ou ϕψ. Neste caso, dizemos que φ e ψ (nesta ordem) são compon´ıveis;

− A restri¸ c˜ ao ϕ |

^S

de ϕ a um subconjunto S de X ´e definida por ϕ |

^S

:= ϕ ◦ ι

S

, onde ι

S

: S −→ X

s 7−→ ι

S

(s) = s ( inclus˜ ao de S em X).

Assim, ϕ |

^S

restringe a aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao ϕ ao dom´ınio S;

− Uma extens˜ ao Φ de ϕ a um superconjunto C ⊇ X ´e uma fun¸c˜ao Φ : C −→ W tal que Φ |

^X

= ϕ. Dizemos que Φ estende φ de X a C.

Obs. Φ mantém o valor Φ(x) = ϕ(x) que φ produz quando aplicada a um elemento x ∈ X, mas também obtém um valor Φ(c) quando apli- cada a um elemento c ∈ C \ X. O gráfico de Φ é superconjunto do de ϕ como mostram os passos abaixo (o(a) leitor(a) deve justificá-los):

Γ

Φ

= { (c, Φ(c)) ∈ C × W | c ∈ C } =

{ (x, Φ(x)) ∈ C × W | x ∈ X } ⊔ { (c, Φ(c)) ∈ C × W | c ∈ C \ X } = { (x, ϕ(x)) ∈ X × W | x ∈ X } ⊔ { (c, Φ(c)) ∈ C × W | c ∈ C \ X } ∴ Γ

_Φ

= Γ

ϕ

⊔ { (c, Φ(c)) ∈ C × W | c ∈ C \ X } .

Obs. Quando os conjuntos em quest˜ao est˜ao munidos de estruturas de al-

gum tipo, e as fun¸c˜oes consideradas preservam estrutura do dom´ınio para o

contradom´ınio, a existência ou não de uma extensão para uma fun¸cão dada

(6)

a um superconjunto pode ser um problema dif´ıcil e at´e mesmo c´elebre. Ex.:

extensões cont´ınuas de fun¸cões cont´ınuas entre espa¸cos topológicos.

Quest˜ ao 2. Os itens abaixo assumem um conhecimento básico sobre os n´ umeros naturais ou sobre fun¸cões reais (como em pré-cálculo), conforme o caso. Denotemos por: A = b { 1, 2, 3 } ; B = b { 4, 5, 6 } ; C = b { 7, 8 } ;

f : A −→ B

x 7−→ f (x) = x + 3;

g : A −→ B x 7−→ g (x) =

4, se x ´e ´ımpar;

5, se x ´e par;

h : B −→ B

x 7−→ h (x) = 10 − x;

i : B −→ C x 7−→ i (x) =

7, se x ´e ´ımpar;

8, se x ´e par;

j : C −→ B

x 7−→ j (x) = x − 2;

k :

^R

−→

^R

x 7−→ k (x) = 3;

ℓ :

^N

−→

^N

x 7−→ ℓ (x) = x + 1;

m :

^R

−→

^R

x 7−→ m (x) = x + 1;

n :

^R

−→

^R

x 7−→ n (x) = x

²

+ 4;

p :

^R

\{ 0 } −→

^R

\{ 0 } x 7−→ p (x) = 1/x;

q :

^R

−→

^R

x 7−→ q (x) = 2

^x

; e

r :

^R

−→ (0, + ∞ ) x 7−→ r (x) = 2

^x

. Conforme o item, calular ou responder com justificativa:

2.a. f = g como fun¸c˜oes ? Γ

f

= Γ

g

como conjuntos ? 2.b. q = r como fun¸c˜oes ? Γ

q

= Γ

r

como conjuntos ?

2.c. Quais destas fun¸cões são injetivas ? Quais são sobrejetivas ? 2.d. Calcular as imagens destas fun¸cões;

2.e. Calcular as imagens dos seis conjuntos B , (0, 1), ( − 2, − 1), (0, + ∞ ), ( −∞ , 0) e ( − 4, 0) ⊔ (0, 2) por: k, m, n, p e r;

2.f. Calcular as imagens inversas dos quatro conjuntos { 4 } , { 4, 5 } , { 4, 6 } e B por: f , g, h, j, ℓ, n e p;

2.g. Calcular as imagens inversas dos sete conjuntos { 1 } , B, (0, 1), ( − 2, − 1), (0, + ∞ ), ( −∞ , 0) e ( − 4, 0) ⊔ (0, 2) por: k, m, n, p e q;

2.h. Quais das fun¸cões dadas são extensões de quais ?

(7)

2.i. Dar trˆes extens˜oes de p a

^R

duas a duas distintas;

2.j. Calcular as composi¸c˜oes h ◦ f , h ◦ g, h ◦ h, (i ◦ h) ◦ f, i ◦ (h ◦ f ), (i ◦ h) ◦ g, i ◦ (h ◦ g), j ◦ i, i ◦ j , f ◦ k, g ◦ k, ℓ ◦ g, ℓ ◦ ℓ, m ◦ ℓ, m ◦ m, m ◦ n, n ◦ m, n ◦ n, p ◦ n, p ◦ p, m ◦ r, r ◦ m, n ◦ r, r ◦ n, p ◦ r, r ◦ p, r ◦ r, (p ◦ n) ◦ r, p ◦ (n ◦ r), (r ◦ n) ◦ p, e r ◦ (n ◦ p). Quais s˜ao iguais ?

Quest˜ ao 3. Verdadeiro ou falso ? Se a afirma¸cão for verdadeira, demonstrá- la; senão, dar um contraexemplo para ela.

3.a. Para todos os conjuntos X e Y , e para toda fun¸c˜ao ψ : X −→ Y , ψ ◦ Id

X

= ψ = Id

Y

◦ ψ;

3.b. A composi¸cão de fun¸cões é uma opera¸cão associativa, ou seja, para todos os conjuntos W , X, Y e Z , e para todas as fun¸cões ϕ : W −→ X, ψ : X −→ Y e λ : Y −→ Z, λ ◦ (ψ ◦ ϕ) = (λ ◦ ψ) ◦ φ;

3.c. Para todos os conjuntos X, a composi¸cão de fun¸cões é uma opera¸cão comu- tativa em X

^X

, ou seja, para todas as fun¸c˜oes ξ, ζ : X −→ X, ξ ◦ ζ = ζ ◦ ξ;

3.d. A composi¸cão de sobreje¸cões compon´ıveis é uma sobreje¸cão;

3.e. A composi¸cão de inje¸cões compon´ıveis é uma inje¸cão;

3.f. Toda fun¸cão inclusão é sobrejetiva;

3.g. Toda fun¸cão inclusão é injetiva.

Defini¸ c˜ ao. Uma fam´ ılia indexada de conjuntos ´e um conjunto { X

ı

}

^ı∈I

em ZF visto como imagem e contradom´ınio de uma sobreje¸c˜ao I −→ { X

ı

}

^ı∈I

ı 7−→ X

ı

tal que cada X

ı

´e um conjunto (em ZF)

⁷

. O dom´ınio I ´e o conjunto de ´ın- dices da fam´ılia. O contradom´ınio { X

ı

}

^ı∈I

, ou seja, o conjunto em questão, também é denotado por { X

ı

| ı ∈ I} , e deve ser, garantidamente, um conjunto (em ZF). Detalhe: I pode ser qualquer conjunto, finito ou n˜ao.

Ex.: Dados os conjuntos A, B e C em ZF, { A, B, C } = { A, B } ∪ { C } pode ser escrito como { X

ı

}

^ı∈{0,1,2}

, onde X

0

= A, X

1

= B, X

2

= C e I = { 0, 1, 2 } .

7Observemos que esta ´ultima frase significa “∀ı∈ I, Xı´e um conjunto”.

(8)

Obs. Uma fam´ılia { Y

ı

}

ı∈{m, m+1, ..., n}

indexada pelos n´ umeros inteiros de m a n ´e mais comumente denotada por { Y

ı

}

ⁿı=m

. J´a { Y

ı

}

^ı∈^N

, indexada pe- los naturais, tamb´em ´e denotada por { Y

ı

}

^∞ı=0

. J´a { Y

ı

}

^ı∈^Z

, indexada pelos inteiros, tamb´em ´e denotada por { Y

ı

}

^+∞ı=−∞

e, analogamente, consideramos alguns outros subconjuntos ilimitados de

^Z

como conjuntos de ´ındices para esta nota¸c˜ao alternativa. Por exemplo, { Y

ı

}

^ı∈{z∈^Z^|m≤z}

tamb´em ´e denotada por { Y

ı

}

^+∞ı=m

, enquanto { Y

ı

}

ı∈{z∈^Z|z≤n}

tamb´em ´e denotada por { Y

ı

}

ⁿı=−∞

. Ex.: Seja F = b { X

r

}

^r∈^R

= {{ r }}

^r∈^R

, isto ´e, cada conjunto de F ´e da forma X

r

= { r } . F satisfaz ∪F = [

r∈^R

X

r

= [

r∈^R

{ r } =

^R

.

Defini¸ c˜ ao. Mais geralmente, dada uma fun¸cão f : X −→ Y , podemos ver o conjunto Im(f) = { y ∈ Y |∃ x ∈ X : y = f (x) } como um conjunto indexado por X, obtendo duas nota¸cões bastante comuns em Matemática:

{ f(x) | x ∈ X } = { f (x) }

x∈X

:= Im(f ).

Obs. Em matemática, tais nota¸cões estendem-se a rela¸cões funcionais em contextos mais amplos, com X e Y classes definidas por abstra¸cão.

Ex.: Dado U ⊆ X, f(U ) := { y ∈ Y |∃ x ∈ U : y = f (x) } ´e a imagem de f |

^U

| e, portanto, pode ser escrito como um conjunto indexado por U : f(U ) = { f (x) | x ∈ U } , ou seja, f(U ) = { f (x) }

x∈U

.

Ex.: O gr´afico Γ

f

= { a ∈ X × Y |∃ x ∈ X : a = (x, f (x)) } ´e a imagem da fun¸c˜ao X −→ X × Y

z 7−→ (x, f (x)) e, portanto, ´e um conjunto indexado por X.

Assim, podemos express´a-lo como Γ

f

= { (x, f (x)) | x ∈ X } , e tamb´em como Γ

f

= { (x, f (x)) }

^x∈X

.

Os enunciados abaixo são importantes e usados corriqueiramente. Eles re- lacionam fun¸cões a algumas opera¸cões em conjuntos. A resolu¸cão destes exerc´ıcios serve para a prática de demonstra¸cão e n˜ ao é prioritária.

Quest˜ ao 4. Sejam A e B conjuntos, e f, g : A −→ B fun¸c˜oes. Demonstrar

as propriedades abaixo.

(9)

4.a. ** Dado um conjunto F de subconjuntos de A (ou seja, F ⊆ P (A)):

i. A classe { f (C) | C ∈ F} ´e extensionalmente igual a um conjunto em ZF;

ii. f( ∪ F ) = [

C∈F

f (C); e iii. f( ∩ F ) ⊆ \

C∈F

f (C).

iv. Mostrar, através de exemplos, que é poss´ıvel ocorrer ( na afirma¸cão anterior, mesmo quando F é uma fam´ılia finita;

4.b. ** Dado um conjunto G de subconjuntos de B (ou seja, G ⊆ P (B )):

i. A classe { f

⁻¹

(D) | D ∈ G} ´e extensionalmente igual a um conjunto em ZF;

ii. f

⁻¹

( ∪ G ) = [

D∈G

f

⁻¹

(D); e

iii. f

⁻¹

( ∩ G ) = \

D∈G

f

⁻¹

(D);

4.c. ∀ C ⊆ A, ∀ D ⊆ B, f (C) ⊆ D ⇐⇒ C ⊆ f

⁻¹

(D) (Importante !);

4.d. ∀ C ⊆ A, C ⊆ f

⁻¹

(f (C)) (Importante !);

4.e. ∀ D ⊆ B, f(f

⁻¹

(D)) ⊆ D (Importante !);

4.f. ∀ C, C

^′

⊆ A, [C ⊆ C

^′

= ⇒ f (C) ⊆ f (C

^′

)] (Importante !);

4.g. ∀ D, D

^′

⊆ B, [D ⊆ D

^′

= ⇒ f

⁻¹

(D) ⊆ f

⁻¹

(D

^′

)] (Importante !);

4.h. * ∀ D ⊆ B , f

⁻¹

(B \ D) = A \ f

⁻¹

(D). Mostrar, atrav´es de exemplos, que n˜ao

´e necessariamente verdadeiro que ∀ C ⊆ A, f(A \ C) = B \ f(C);

4.i. ∀ C ⊆ A, ∀ D ⊆ B, (f |

^C

)

⁻¹

(D) = C ∩ f

⁻¹

(D);

4.j. * Vendo fun¸c˜oes como rela¸c˜oes, ∀ C, C

^′

⊆ A, f |

^C

∩ | f

C^′

= f |

^(C∩C^′⁾

; 4.k. ** [Malitz, Sec. 1.3, Prob. 11] Dado um conjunto K de subconjuntos de A,

a classe { f |

^C

| C ∈ K} é extensionalmente igual a um conjunto em ZF e, novamente vendo fun¸cões como rela¸cões, T

{ f |

^C

| C ∈ K} = f |

^∩K

;

(10)

4.l. Podemos trocar interse¸c˜ao por uni˜ao nos dois itens anteriores ?

A próxima questão caracteriza injetividade e sobrejetividade de várias maneiras.

Quest˜ ao 5. Sejam A e B conjuntos, e f, g : A −→ B fun¸c˜oes.

5.a. ** (Importante !) Demonstrar a equivalˆencia das propriedades abaixo:

i. f ´e injetiva;

ii. ∀ b ∈ B, f

⁻¹

( { b } ) possui, no m´aximo, um elemento;

iii. ∀ C ⊆ A, f

⁻¹

(f(C)) = C (cf. Item 4.d);

iv. ∀ C ⊆ A, f (A \ C) ⊆ B \ f(C) (cf. Item 4.h);

v. Para todo conjunto E, ∀ h

₁

, h

₂

: E −→ A vale a seguinte lei de can- celamento ` a esquerda: f ◦ h

1

= f ◦ h

2

= ⇒ h

1

= h

2

;

vi. f possui uma fun¸ c˜ ao inversa ` a esquerda com respeito `a composi-

¸cão, isto é, uma fun¸cão h : B −→ A tal que h ◦ f = Id

A

.

Dica: Definir h separadamente na imagem de f e no seu complemento B \ Im(f), isto ´e, B \ f(X);

5.b. Exibir uma inje¸cão com duas fun¸cões inversas à esquerda distintas;

5.c. * Exibir uma fam´ılia { h

n

}

n∈^N

de fun¸c˜oes h

n

:

^N

−→

^N

duas a duas distintas, inversas `a esquerda para S, a sucess˜ao em

^N

(a qual pode ser expressa como S(n) = n + 1);

5.d. ** (Importante !) Demonstrar a equivalˆencia das propriedades abaixo:

i. ∀ D ⊆ B , f (f

⁻¹

(D)) = D;

ii. f ´e sobrejetiva;

iii. ∀ C ⊆ A, B \ f (C) ⊆ f (A \ C);

iv. ∀ b ∈ B, f

⁻¹

( { b } ) possui, no m´ınimo, um elemento (ou seja, n˜ao ´e vazio);

v. Para todo conjunto E, ∀ h

1

, h

2

: B −→ E vale a seguinte lei de can-

celamento ` a direita: h

1

◦ f = h

2

◦ f = ⇒ h

1

= h

2

;

(11)

5.e. Demonstrar que, se f possui uma fun¸ c˜ ao inversa ` a direita com respeito

à composi¸cão (isto é, uma fun¸cão h : B −→ A tal que f ◦ h = Id

B

), ent˜ao f

´e sobrejetiva.

Obs. Podemos demonstrar que a rec´ıproca (para toda fun¸c˜ao) equivale ao famoso axioma da escolha;

5.f. Exibir uma sobreje¸cão com duas fun¸cões inversas à direita distintas;

5.g. * Dar um exemplo de fun¸cão sobrejetiva com infinitas fun¸cões inversas à direita, duas a duas distintas;

5.h. * Se existirem fun¸cões h, k : B −→ A tais que h é inversa à esquerda para f , e k é inversa à direita para f , então h = k.

Defini¸ c˜ ao. Em caso afirmativo, f ´e dita invert´ ıvel, e h = k ´e dita uma fun¸ c˜ ao inversa para f .

5.i. Corolário: Se h, k : B −→ A são fun¸cões inversas para f, então h = k.

Nota¸ c˜ ao. Em caso afirmativo, a (´ unica) fun¸c˜ao inversa para f ´e denotada por f

⁻¹

(claro, f

⁻¹

: B −→ A);

5.j. * (Importante !) Demonstrar a equivalˆencia das propriedades abaixo:

i. f é bijetiva, isto é, f é injetiva e sobrejetiva;

ii. ∀ C ⊆ A, B \ f(C) = f (A \ C);

iii. ∀ b ∈ B, a imagem inversa f

⁻¹

( { b } ) possui, exatamente, um elemento;

iv. Vale a lei de cancelamento para a composi¸c˜ao com f por ambos os lados;

v. f é invert´ıvel com rela¸cão à composi¸cão.

Demonstrar tamb´em que, em caso afirmativo, ∀ b ∈ B, f

⁻¹

( { b } ) = { f

⁻¹

(b) } . Obs. O f

⁻¹

na esquerda é a imagem inversa, enquanto aquele na direita é a fun¸cão inversa.

Obs. Não é necessário o uso do axioma da escolha neste item, apesar dele ser necessário numa das dire¸cões do Item 5.e.

Defini¸ c˜ ao Dados um conjunto A, e C ⊆ A, definimos a fun¸ c˜ ao carac- ter´ ıstica de C (em A, ou com rela¸c˜ao a A) como

χ

C

: A −→ { 0, 1 } a 7−→ χ

C

(a) =

0, se a / ∈ C;

1, se a ∈ C.

(12)

Quest˜ ao 6. Seja A um conjunto.

6.a. Demonstrar que, ∀ C ⊆ A, i. χ

_C⁻¹

( { 1 } ) = C; e ii. χ

_C⁻¹

( { 0 } ) = A \ C;

6.b. [Andrade, Cap. 2, Prob. 34] Demonstrar que, ∀ C, D ⊆ A, i. χ

∅

≡ 0;

ii. χ

C∩D

= χ

C

χ

D

;

iii. χ

C∪D

= χ

C

+ χ

D

− χ

C

χ

D

; iv. C ⊆ D = ⇒ χ

C

≤ χ

D

; e

v. Se A 6 = ∅, ent˜ao: χ

A

≡ 1 e χ

A\C

= 1 − χ

C

; 6.c. * Demonstrar que a fun¸c˜ao ϕ : P (A) −→ { 0, 1 }

^A

C 7−→ ϕ (C) = χ

C

´e bijetiva.

Obs. { 0, 1 }

^A