LISTA DE EXERC´ICIOS 08 – v. 1.0 Assuntos:

(1)

UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 08 – v. 1.0

Assuntos: Introdu¸cão às rela¸cões de ordem.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os pas- sos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸cão de um item esteja dispon´ıvel, só conferi-la após tentar resolvê-lo seriamente. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igual- dade, os axiomas de ZF em nossa Parte I (cf. Lista 06) e os resultados sobre rela¸cões binárias da Lista 07. Os enunciados das quest˜ oes 1 e 2 e as defini¸ c˜ oes aqui apresentadas s˜ ao muito importantes para a compre- ens˜ ao deste assunto !

Defini¸ c˜ oes. Dadas rela¸c˜oes ≤ e < em um conjunto X, dizemos que:

− ≤ é uma rela¸ c˜ ao de ordem parcial, e (X, ≤) é um CPO (conjunto parcialmente ordenado) se, e somente se, ≤ é reflexiva, antissimé- trica e transitiva;

− < é uma rela¸ c˜ ao de ordem estrita se, e somente se, < é irreflexiva e transitiva (ou seja, assimétrica e transitiva pelo Item 5.g da Lista 07).

Quest˜ ao 1. (Parcial vs. estrita). Seja A um conjunto. Demonstrar que:

1.a. Cada rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A induz uma rela¸c˜ao de ordem estrita

< em A por: ∀a, a

^′

∈ A, a < a

^′

⇐⇒ (a ≤ a

^′

∧ a 6= a

^′

). Em outras palavras, denotando as rela¸c˜oes ≤ original e < induzida por P e E

P

respectivamente, temos que E

P

= P \Id

A

.

Obs. Portanto, o exerc´ıcio consiste em demonstrar que E

P

satisfaz a defi- ni¸cão de rela¸cão de ordem estrita, utilizando, para tanto, que P satisfaz a defini¸cão de rela¸cão de ordem parcial;

1.b. Cada rela¸c˜ao de ordem estrita <

^′

em A induz uma rela¸c˜ao de ordem parcial

≤

^′

em A por: ∀a, a

^′

∈ A, a ≤

^′

a

^′

⇐⇒ (a <

^′

a

^′

∨ a = a

^′

). Em outras palavras, denotando as rela¸c˜oes < original e ≤ induzida por E e P

E

respectivamente, temos que P

E

= E ⊔ Id

A

;

1.c. As duas constru¸c˜oes acima s˜ao inversas. Mais precisamente: a ordem parcial

induzida pela ordem estrita induzida por uma ordem parcial dada ´e igual a

esta ´ ultima e, trocando as instˆancias de “parcial” pelas de “estrita” nesta frase

e vice-versa, obtemos outro resultado v´alido. Em outras palavras, utilizando

a nota¸c˜ao dos itens anteriores, temos que P

E_P

= P e E

P_E

= E;

(2)

1.d. Uma rela¸cão de ordem parcial em A é total se e somente se a rela¸cão de ordem estrita induzida por ela é tricotômica;

1.e. (Ordem dual de ≤). Cada rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A induz uma rela¸c˜ao de ordem parcial ≤

^∗

(mais comumente denotada por ≥ ) em A , dada por: ∀ a, a

^′

∈ A, a ≤

^∗

a

^′

(isto ´e, a ≥ a

^′

) ⇐⇒ a

^′

≤ a .

Obs. Novamente, o objetivo do exerc´ıcio ´e demonstrar que ≤

^∗

satisfaz a defini¸c˜ao de rela¸c˜ao de ordem parcial, utilizando, para tanto, que ≤ a satisfaz.

Obs. Analogamente, temos a rela¸c˜ao de ordem dual <

^∗

(ou > ) de qualquer rela¸c˜ao de ordem estrita em A dada;

1.f. Dada uma rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A:

≤

^∗

´e total se, e somente se, ≤ ´e total; e

≤ ´e a ordem dual de ≤

^∗

(ou seja, ≤

^∗∗

=≤).

Tendo em vista os resultados enunciados na Questão 1, conceitos para rela¸cões de ordem parcial ou estrita misturam-se na literatura, adaptando-se a versão de um tipo de rela¸cão de ordem para o outro ao se incluir ou excluir a identidade Id

A

, ou seja, a rela¸c˜ao de igualdade em A. Por exemplo, dada uma rela¸c˜ao de ordem estrita < em A, podemos falar no CPO (A, ≤) com ≤ induzida por < .

Defini¸ c˜ oes. Sejam (X, ≤) um CPO; S ⊆ X; a, b, m, M ∈ X . Dizemos que:

− a e b s˜ao compar´ aveis se, e somente se, a ≤ b ∨ b ≤ a ;

− a e b são incompar´ aveis se, e somente se, a e b não são comparáveis;

− ≤ é uma rela¸ c˜ ao de ordem total (ou rela¸ c˜ ao de ordem linear), ambas ≤ e < são ordena¸ c˜ oes totais de A, e (A, ≤) é um conjunto totalmente ordenado se, e somente se, ≤ é total (ou seja, todos os elementos de X são comparáveis uns aos outros) – cf. Item 1.d;

− m ´e um elemento minimal de ( X, ≤) (ou de X ) se, e somente se,

∀x ∈ X, (x ≤ m = ⇒ x = m) (ou seja, nenhum elemento de X ´e menor que m, mas podem existir elementos que n˜ao se comparam a m ); analogamente,

− M ´e um elemento maximal de ( X, ≤) (ou de X ) se, e somente se,

∀x ∈ X, (M ≤ x = ⇒ x = M );

− m ´e um m´ ınimo de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se, ∀x ∈ X, m ≤ x

(em particular, todo elemento de X se compara a m); analogamente,

(3)

− M ´e um m´ aximo de (X, ≤) (ou X) se, e somente se, ∀x ∈ X, x ≤ M ;

− A ordem induzida em S por ≤ ´e a restri¸c˜ao de ≤ a S, ou seja,

≤ |

^S×S

= {( s, s

^′

) ∈ s × S | s ≤ s

^′

} = ( S × S )∩ ≤ ;

− S é uma cadeia de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se, a ordem induzida por ≤ em S é total. Em outras palavras, uma cadeia é um subconjunto de X totalmente ordenado por ≤ ;

− S é uma anticadeia de ( X, ≤) (ou de X ) se, e somente se, quaisquer dois elementos de S distintos são incomparáveis na ordem induzida por ≤ em S . Obs. (Anti)cadeias são muito importantes na teoria da ordem e no estudo de proposi¸cões equivalentes ao axioma da esco- lha (ou seja, nas manifesta¸cões da não-construtividade na matemática).

Se a < b , definimos os intervalos com extremidades a e b :

[a, b]

<

:= {x ∈ X|a ≤ x ≤ b} (fechado), inclusive [a, a]

<

:= {a} (fechado degenerado); (a, b)

<

:= {x ∈ X|a < x < b} (aberto); e

[ a, b )

^<

:= { x ∈ X | a ≤ x < b }, ( a, b ]

^<

:= { x ∈ X | a < x ≤ b } (semiabertos).

Obs. N˜ao pressupusemos a totalidade da ordem na defini¸c˜ao dos intervalos.

A rela¸ c˜ ao de cobertura ≺ de ≤ (ou < ) ´e dada por: ∀ x, y ∈ X , x ≺ y (“ x

é coberto por y ”; “ y cobre x ”) se, e somente se, x < y e ∄z ∈ X : x < z < y (ou seja, nenhum elemento de X está entre x e y, isto é, (x, y)

<

= ∅).

Quest˜ ao 2. Seja ( A, ≤) um CPO. Demonstrar que:

2.a. Se A possui m´ınimo, ent˜ao ele ´e ´ unico.

Obs. Em caso afirmativo, o m´ınimo ´e denotado por min (A) ou min (A, ≤).

Resultado an´alogo vale para m´aximo, denotado por max ( A ) ou max ( A, ≤);

2.b. Se existir min (A, ≤), ent˜ao existe max (A, ≤

^∗

) e min (A, ≤) = max (A, ≤

^∗

).

Analogamente, se existir max ( A, ≤), ent˜ao existe min ( A, ≤

^∗

) e max (A, ≤) = min (A, ≤

^∗

);

2.c. Se C é uma cadeia de (A, ≤) e D é uma anticadeia de (A, ≤), então C ∩ D é vazio ou unitário (isto é, C e D têm, no máximo, um elemento em comum).

Obs. Teoremas curiosos como os de Dilworth e Mirsky exploram este fato;

2.d. Se ≤ é total, então, para cada a ∈ A, existe, no máximo, um elemento de A

que cobre a.

(4)

Quest˜ ao 3. (As rela¸c˜oes de ordem nos menores conjuntos).

3.a. A rela¸cão vazia no conjunto vazio é uma rela¸cão de ordem parcial ? Estrita ? Em caso afirmativo, é total/tricotômica, respectivamente ?

Sejam os conjuntos C

1

={a}; b C

2

={a, b}; b C

3

={a, b, c}; e b C

4

={a, b, c, d}, onde b a , b , c e d s˜ao elementos dois a dois distintos.

3.b. Escrever, explicitamente, todas as rela¸c˜oes de ordem estrita em C

1

e todas em C

2

. Fazer o mesmo em C

3

e em C

4

a menos de permuta¸c˜ao dos elementos.

Para a descri¸cão, podem ser usadas várias apresenta¸cões. Por exemplo, uma das rela¸cões de ordem estrita em C

4

´e dada por:

− Como rela¸c˜ao bin´aria em C

4

: < = {(a, b); (a, d); (b, d)};

− Na nota¸c˜ao usual para ordem, < diz que: a < b , a < d e b < d ;

− Pelas cadeias maximais

¹

: a < b < d e c (isto ´e, { a, b, d } e { c });

− Por sua rela¸c˜ao de cobertura: ≺ = {(a, b); (b, d)}, isto ´e, a ≺ b ≺ d;

− Por um diagrama de Hasse

²

:

a

^o^o

b

^o^o

d c

Eis outro exemplo em C

4

:

− Como rela¸c˜ao em C

4

: < = {( a, b ); ( a, c ); ( a, d ); ( b, d ); ( c, d )};

− Na nota¸c˜ao usual para ordem, < diz que: a < b , a < c , a < d , b < d e c < d;

− Pelas cadeias maximais: a < b < d e a < c < d;

− Por sua rela¸c˜ao de cobertura: ≺ = {(a, b); (a, c); (b, d); (c, d)}, isto

´e, a ≺ b ≺ d e a ≺ c ≺ d ;

− Pelo diagrama de Hasse:

b

ww

♣♣♣♣♣

a d

gg

◆◆◆◆◆

ww

♥♥♥♥♥

c

gg

PPPPP

3.c. Para cada uma das rela¸c˜oes de ordem estrita obtidas no Item 3.b, fornecer:

todos os seus elementos minimais, elementos maximais, m´ınimos e m´aximos;

e todas as cadeias maximais e anticadeias maximais;

1Maximais entre as cadeiasC₄com respeito `a rela¸c˜ao de ordem parcial⊆– cf Item 4.d.

2Grafo ac´ıclico dirigido (orientado) que representa a rela¸cão de cobertura de≤. Ele é suficiente para descrever qualquer CPOfinito(isto é, com número de elementos finito).

(5)

3.d. Repetir o Item 3.c para P (C

⁴

), P (C

⁴

)\{∅} e P (C

⁴

)\{∅, C

4

} ordenados parcialmente por inclus˜ao (cf. Item 4.a);

3.e. Para cada um dos dois exemplos em C

4

do Item 3.b, dar os quatro intervalos com extremidades a e d .

Quest˜ ao 4. Seja A um conjunto. Demonstrar que:

4.a. (Médio). (P (A), ⊆) é um CPO com m´ınimo ∅ e máximo A.

Corol´ ario: As rela¸cões binárias em A formam o CPO (P (A × A), ⊆) com m´ınimo ∅ (rela¸cão vazia) e máximo A × A .

Corol´ ario: As rela¸cões binárias em A de um tipo particular (Ex.: rela¸cões reflexivas, rela¸cões de ordem estrita, etc.) formam um CPO com rela¸cão de ordem parcial ⊆;

4.b. Id

^A

é uma rela¸cão de ordem parcial em A (ordem discreta em A ), e é igual

à sua própria ordem dual. Ela é total ou não ? Quais são os seus elementos e subconjuntos notáveis (no sentido do Item 3.c) ?

4.c. Id

A

é a menor das rela¸cões de ordem parcial em A com rela¸cão a ⊆, ou seja, além de ser uma delas (pelo Item 4.b), ela está contida em todas elas (vide o 2

^o

Corol´ario do Item 4.a);

4.d. (Dif´ıcil). Para toda rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A,

({C ⊆ A | C ´e cadeia de (A, ≤)} , ⊆) ´e um CPO com m´ınimo ∅. E quanto ao conjunto das anticadeias de (A, ≤) ?

Quest˜ ao 5. (M´edio). Recordar os 15 tipos de rela¸c˜oes da Lista 07 v. 1.0.

5.a. De quais tipos é a rela¸cão de cobertura (“é coberto por”) num CPO ? Há restri¸cões relacionadas aos conceitos introduzidos nesta lista que se traduzem por a rela¸cão de cobertura ser ou não de algum tipo ?

5.b. Repetir o exerc´ıcio para a rela¸cão “ser comparável a” num CPO (ou seja, xRy ⇐⇒ x e y são comparáveis).

Defini¸ c˜ ao . Sejam X um conjunto, e ≤ uma rela¸c˜ao de ordem total em X

(alternativamente, < uma rela¸c˜ao de ordem estrita tricotˆ omica em X ). A

rela¸cão ≤ (alternativamente, <) é dita uma boa ordena¸ c˜ ao de X, e X é

bem ordenado por ≤ (ou <) se, e somente se < ´e bem fundada.

(6)

Obs. Adaptando a boa funda¸c˜ao de < para ≤, ao inv´es de:

∀S ⊆ X : S 6= ∅, ∃m ∈ S : ∀s ∈ S, s ≮ m, poder´ıamos escrever:

∀ S ⊆ X : S 6= ∅, ∃ m ∈ S : ∀ s ∈ S, ( s ≤ m ⇒ s = m ) . Invocando que ≤ ´e total, obtemos a vers˜ao abaixo, mais direta:

∀ S ⊆ X : S 6= ∅, ∃ m ∈ S : ∀ s ∈ S, m ≤ s.

Assim, a boa funda¸cão equivale a todo subconjunto não-vazio S de X possuir m´ınimo (com rela¸cão à ordem induzida por ≤ ou < em S ).

Obs. O estudo da boa funda¸cão aplicada a rela¸cões de ordem parcial não- totais é complicado e, por isto, restringimo-nos ao caso bem mais comum das totais. Boas ordena¸cões e, mais geralmente, boas rela¸cões são muito impor- tantes em vários tópicos da matemática e também na teoria da computa¸cão.

Defini¸ c˜ ao. Sejam X um conjunto, e ≤ uma rela¸c˜ao de ordem total em X (alternativamente, < uma rela¸c˜ao de ordem estrita tricotˆ omica em X).

Dizemos que a rela¸c˜ao < (ou ≤) ´e densa se, e somente se:

− X possui dois ou mais elementos distintos; e,

− Entre quaisquer dois elementos de X distintos, h´a um terceiro. Mais precisamente: ∀x, y ∈ X, x < y = ⇒ ∃z ∈ X : x < z < y.

Quest˜ ao 6. (Dif´ıcil; muito educativa; exige maturidade e algum conheci- mento a respeito de

^N

,

^Z

,

^Q

e

^R

). Demonstrar que:

6.a. Em qualquer conjunto (A, ≤) bem ordenado vale a seguinte propriedade:

todo elemento a ∈ A ou ´e max (A, ≤) ou ´e coberto por um ´ unico elemento s

a

∈ A, dito sucessor imediato de a (para efeito de ordem) – cf. Item 2.d;

6.b. Toda boa ordena¸cão não é densa;

6.c. Toda ordena¸cão total densa possui rela¸cão de cobertura vazia e não é boa;

6.d. A ordena¸c˜ao total usual de

^N

é boa (e, portanto, não é densa);

6.e. As ordena¸cões totais usuais de e são densas (e, da´ı, não são boas);

(7)

6.f. A ordena¸c˜ao total usual de

^Z

nem ´e densa nem ´e boa, mas satisfaz a pro- priedade enunciada no Item 6.a.

Na pr´oxima quest˜ao, talvez seja mais produtivo ganhar familiaridade re- solvendo os itens 7.d, 7.f e 7.h (exemplos) antes dos demais (propriedades).

Quest˜ ao 7. (Trabalhosa e razoavelmente dif´ıcil. Explora algumas rela¸c˜oes de ordem em A × B e A ⊔ B ). Dados os CPOs ( A, ≤

^A

) e ( B, ≤

^B

), sejam as seguintes rela¸c˜oes de ordem parcial em A × B: ∀(a, b), (a

^′

, b

^′

) ∈ A × B, (a, b) ≤

L

(a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [(a = a

^′

∧ b ≤

B

b

^′

) ∨ a <

A

a

^′

] (ordem lexicogr´ afica);

( a, b ) ≤

^C

( a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [( b = b

^′

∧ a ≤

^A

a

^′

) ∨ b <

B

b

^′

] ( ordem colexicogr´ afica );

(a, b) ≤

P

(a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [a ≤

A

a

^′

∧ b ≤

B

b

^′

] (ordem produto); e (a, b) ≤

R

(a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [(a, b) = (a

^′

, b

^′

) ∨ (a <

A

a

^′

∧ b <

B

b

^′

)].

7.a. Demonstrar que as rela¸cões acima são rela¸cões de ordem parcial em A × B ; 7.b. Demonstrar que, se ≤

^A

e ≤

^B

s˜ao totais, ent˜ao ≤

^L

e ≤ C s˜ao totais;

7.c. Demonstrar que, ∀(a, b), (a

^′

, b

^′

) ∈ A × B,

(a, b) ≤

R

(a

^′

, b

^′

) = ⇒ (a, b) ≤

P

(a

^′

, b

^′

), e (a, b) ≤

P

(a

^′

, b

^′

) = ⇒ (a, b) ≤

L

(a

^′

, b

^′

).

Para os pr´oximos dois itens, usar A = {0, 1, 2}, B = {3, 4, 5} e as ordena¸c˜oes totais induzidas pela ordem usual de

^N

: 0 ≤

^A

1 ≤

^A

2 e 3 ≤

^B

4 ≤

^B

5. 7.d. Descrever as quatro rela¸cões de ordem acima para A × B por extensão e por diagramas de Hasse. Para cada uma delas, reconhecer os seus elementos e subconjuntos notáveis (no sentido do Item 3.c);

7.e. Mostrar que ≤

P

e ≤

R

n˜ao tˆem que ser totais mesmo se ≤

A

e ≤

B

o forem, e que as rec´ıprocas das duas implica¸c˜oes no Item 7.c podem ser falsas. Como os n´ umeros de elementos de A e B podem interferir nestes resultados ? 7.f. Repetir o Item 7.d para os conjuntos A = {0 , 1 , a } e B = {2 , 3 , b, c } com

as rela¸cões de ordem parcial induzidas pelas rela¸cões de ordem estrita não- tricotômicas a seguir: <

A

= {(0, 1); (a, 1)} e <

B