Lista de Exercícios de Álgebra I
Professor Rodrigo
Turma T02
Indução Finita, MDC, MMC e Números Primos – 6ª Lista
Exercício 1:
Prove que 2n – 1 é múltiplo de 3, para todo número natural n par.
Exercício 2:
Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
a) Se an divide bn, então a divide b; b) Se nn divide mm então n divide m; c) Se an divide 2bn, então a divide b;
Exercício 3:
Prove que em um polígono com n ≥ 6 lados, o número de diagonais é maior do que o número de lados.
Exercício 4:
Demonstre que, para todo número natural n, vale
. n n
...1 1 1 3
1 1 2 1 1 1 1
1 ⎟≤ +
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
Exercício 5:
Determinar a maior potência de 3 que divide o produto dos 50 primeiros números naturais.
Exercício 6:
Calcular m, no número A = 2m-1. 32. 5m, de modo que o MDC entre o número A e o número
9000 seja 45.
Exercício 7:
Mostre que a soma de um número par e um ímpar é sempre ímpar.
Exercício 8:
Mostre que o produto de dois números pares é sempre par.
Exercício 9:
Prove que se somarmos a unidade a oito vezes um número triangular, obtemos o quadrado de um número ímpar.
Exercício 10:
Exercício 11:
Prove que a soma de dois números triangulares consecutivos formam um quadrado perfeito.
Exercício 12:
Demonstre que se d = mdc(a,b) então mdc(a/d, b/d) = 1.
Exercício 13: Prove que:
a) mdc[mmc(a,b), a] = a; b) mmc[mdc(a,b), a] = a;
Exercício 14:
Demonstre que se a e b são números inteiros positivos mdc(a,b) = mmc(a,b) então a = b.
Exercício 15:
Sejam a, b e c inteiros positivos. Mostre que:
mmc(a,b,c) =
d) mdc(c, c)
mdc(a, b)
mdc(a,
c) b, mdc(a, abc
⋅ ⋅
⋅
.
Exercício 16:
Sejam a, b inteiros positivos e primos entre si. Mostre que
) m , b a ( mdc b
a , b a
b a mdc
m m
− =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝
⎛ −
− −
Exercício 17:
Determine o mmc entre dois números consecutivos quaisquer.
Exercício 18:
Prove que mmc(mdc(a,b), mdc(a,c))= mdc(a,mmc(b,c)).
Exercício 19:
Qual o menor número positivo que possui 20 divisores distintos.
Exercício 20:
Mostre que, se n, m são naturais e a > 1, então mdc(am –1, an –1) = amdc(m, n) – 1.
Exercício 21:
Sejam a, b, c, d naturais tais que |ad − bc| = 1. Mostre que, se c+d é diferente de zero, então
mdc(a+b, c+d) = 1.
Exercício 22:
Mostre que, se a, b, d são naturais são tais que mdc(a, b) = d, então mdc(a/d, b) divide d. Dê
um exemplo em que mdc(a/d, b) = 1 e outro em que mdc(a/d, b)≠1.
Exercício 23:
