Lista 4 de Exercícios de Álgebra I

Lista de Exercícios de Álgebra I 

Professor Rodrigo 

Turma T02 

Teoria dos Conjuntos – 4ª Lista 

Exercício

1:

O que se pode concluir de A e B se for verdadeira cada uma das afirmações abaixo:   

a) A ∩ B = B 

b) A ∪ B = B 

c) A/B = A 

d) A/B = B/A 

e) A ∩ B = A ∪ B 

f) A ∩ B = ∅   

Exercício

2:

Prove as seguintes proposições usando as propriedades ou resultados demonstrados em 

sala, sobre os conjuntos A, B e C quaisquer contidos em um conjunto fundamental E: 

a) A ∩ CB = A/B 

b) A ⊆ B se e somente se B ∪ CA = E 

c) A = B se e somente se (A ∩ CB) ∪ (B ∩ CA) = ∅  d) A∆B = (A ∪ B)/(A ∩ B) 

Exercício

3:

Prove as seguintes proposições de produto cartesiano, para os conjuntos A, B, C e D: 

a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) 

b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) 

c) (A/B) × C = (A × C)/(B × C) 

d) Se A ⊆ C e B ⊆ D então A × B ⊆ C × D   

Exercício

4:

Justifique, para quaisquer conjuntos A, B e C, se são verdadeiras ou falsas as seguintes 

afirmações. Caso seja falsa, exiba um contra‐exemplo. 

a) Se A⊂ B, B⊄C e B≠ C ⇒ A⊄C e A≠ C 

b) Se A⊂ B e B é finito então A é finito. 

d) Se A⊂ B e A é finito então B é finito. 

e) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) 

f) A∆ B = A∆ C ⇒ B = C 

g) A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C 

h) A × B = A × C ⇒ B = C 

i) A ⊂ B ⇒ P(A) ⊂ P(B) 

j) A ⊂ B ⇒ P(B/A) = P(B)/P(A)   

Exercício

5:

A seguinte demonstração possui um erro. Encontre‐o: 

Teorema: Para todo o conjunto A e B, vale que CA ∪ CB ⊂ CA∪B. 

Demonstração: Suponhamos que x ∈ CA ∪ CB. Então, por definição de união de conjuntos te‐

mos que x ∈ CA ou x ∈ CB. Logo, por definição de complemento temos x ∉ A ou x ∉ B e, por 

definição de união temos que x ∉ A ∪ B. Então x ∈ CA∪B, por definição de complemento, de 

onde concluímos que CA ∪ CB ⊂ CA∪B. ■ 

Exercício

6:

Para as seqüências 

( )

_U

=1 n

n A e 

_I

=1 n

n A : 

a)A_n = {n⋅z, onde z ∈Z}. 

b)A_n = ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − n 1 , n 1  

um intervalo real. 

c)A_n = _⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤ n 1 , n

1  _{um intervalo real.} 

d)A é_n  o conjunto unitário dado pela soma dos termos da n‐ésima linha do triângulo de Pascal. 

e)A_n = ⎟

⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ _+∞ ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛_{−∞ − ,} n 1 n 1

, U  a união de dois intervalos reais. 

f)A_n =

(

)

g)A_n = ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} n 1 b , n 1

a  um intervalo real, onde a e b são constantes reais que satisfazem b > a. 

h)A_n = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ +∞ − , n ) 1 ( n

 um intervalo real. 

i)A é_n  o conjunto formado pelas raízes reais do polinômio 

∑

= − ⋅ − n 1 i 1 i i _x ) 1 (  

Exercício

7:

Dada uma família de conjuntos 

( )

i) ∀λ∈L, tem‐se que A_λ ⊂ X. 

Prove usando a definição e estas hipóteses que 

_U

L A X

∈ λ

λ

= . 

Exercício

8:

Dada uma família de conjuntos 

( )

i) ∀λ∈L, tem‐se que X⊂Aλ. 

ii) SeY⊂Aλ para todo λ, então Y ⊂ X. 

Prove usando a definição e estas hipóteses que 

_I

L A X

∈ λ

λ

= . 

Exercício

9:

Seja uma família de conjuntos 

( )