Geometria Plana I. Geometria Plana I

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Geometria Plana I

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Geometria Plana I

1.Primeiros conceitos 2.Ângulos 3.Triângulos 4.Quadriláteros 5.Polígonos 6.Ângulos na circunferência 7.Congruência de triângulos 8.Teorema de Tales 9.Semelhança de polígonos 10.Semelhança de triângulos

11.Relações métricas no triângulo retângulo

3 Conceitos Primitivos: São conceitos aceitos sem uma definição no campo da Geometria. De cada um destes termos temos um conhecimento intuitivo decorrente da experiência e observação.

Enquadram-se nessa categoria os conceitos de ponto, reta e plano.

1. Primeiros conceitos

4

Letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, …

Letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, …

Letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, π, … 1.1. Ponto, reta e plano

5 Além dos conceitos primitivos, aceitos sem definição, há propriedades geométricas aceitas sem demonstração. Tais propriedades são chamadaspostuladosouaxiomas. Por exemplo, um dos postulados da Geometria afirma que:

“Por dois pontos distintos A e B passa uma única reta”.

Essa reta é denotada pelo símbolo , que se lê “reta AB”.

AB

1.2. Postulados ou axiomas

6

1.3. Posições de duas retas distintas num plano

(2)

7

1.4. Subconjuntos da reta

8

A medida de será denotada por AB. Desse modo, se é um segmento de reta de 3 cm, escrevemos AB = 3cm.

AB

9

Dois segmentos que possuem medidas iguais são chamados congruentes. Se e são segmentos congruentes, escrevemos .

AB

CD

CD AB≡ Lê-se

AB

é congruente aCD.

10 A medida de um ângulo AOB será denotada por . Assim, se AOB é um ângulo de 60o

(60 graus), escrevemos: 2. Ângulos B O A⌢

<

)

60O AOB⌢ = 11 Dois ângulos de medidas iguais são denominados congruentes.

2. Ângulos

ABC≡ DEF⇔ABC⌢ ≡DEF⌢

∢ ∢

12 Bissetriz é a semi-reta de origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

2.1. Bissetriz de um ângulo

, Se OC é bissetriz de AOB Então AOC BOC

  ≡  ∢ ⌢ ⌢

(3)

13 2.2. Ângulos notáveis

180

o

AOB

⌢

≡

360

o

AOB

⌢

≡

90

o

AOB

⌢

≡

14

2.3. Ângulos opostos pelo vértice

Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos chamados opostos pelo vértice

(o.p.v.).

15

Dois ângulos são chamadoscomplementares

se a soma de suas medidas é igual a 90o_{. Cada um é}

chamadocomplementodo outro.

Dois ângulos são chamadossuplementaresse a soma de suas medidas é igual a 180o_{. Cada um é}

chamadosuplementodo outro.

16 Exercício 1: Calcule x, em graus, na figura abaixo:

17 Exercício 2: Na figura, sabe-se que é o dobro de . Calcule as medidas desses ângulos, saben-do que = 81o_.

ABC⌢ CBD⌢

ABD⌢ 2.3. Ângulos opostos pelo vértice

18 Exercício 3: Na figura seguinte, é bissetriz de e é bissetriz de . Calcule . Observação: AOC é um ângulo de meia-volta.

OX

⌢

AOB

∢ OY ∢BOC⌢ XOY⌢

(4)

19 Exercício 4: Dois ângulos são chamados

complementaresse a soma de suas medidas é igual a 90o_{. Cada um é chamado}_complemento_{de outro.}

Calcule a medida de dois ângulos complementares, sabendo que:

a) elas são expressas por 3x e 7x; b) uma delas é o quádruplo da outra; c) a diferença entre elas é 18o_. 2.3. Ângulos opostos pelo

vértice

20 Exercício 5: Dois ângulos são chamados

suplementaresse a soma de suas medidas é igual a 180o_{. Cada um é chamado} _suplemento _{do outro.}

Calcule a medida de dois ângulos suplementares, sabendo que:

a) eles são congruentes;

b) uma delas é o quíntuplo da outra; c) a diferença entre elas é 36o_. 2.3. Ângulos opostos pelo

vértice

21 Exercício 6: Calcule a medida de um ângulo, sabendo que o seu suplemento é o triplo de seu complemento.

22

2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal

Nomenclatura Propriedade Correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h Congruentes Colaterais internos: c e f; d e e Suplementares Colaterais externos: a e h; b e g Suplementares Alternos internos: c e e; d e f Congruentes Alternos externos: a e g; b e h Congruentes

23 Exercício 7: Calcular x e y na figura.

24 Resolução: Inicialmente vamos imaginar a reta r deslocando-se até coincidir com s.

(5)

25 Fica claro que os ângulos de medidas 2x e 3x são suplementares.

Por outro lado, temos y = 2x (ângulos o.p.v.). Logo, y = 72o_.

3

2

180

o

36

o

x

+

x

=

⇒

x

=

26 Exercício 8: Calcule x e y nas figuras, sabendo que r // s.

27 Exercício 9: Sabendo que a // b // c, calcule as medidas dos ângulos indicados na figura.

28 Exercício 10: Calcule x na figura, sabendo que r // s.

29 Exercício 11: Qual é o valor de a + b + c?

30

3. Triângulos

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180o_.

Se são as medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC, vamos provar que:

, A B e C⌢ ⌢ ⌢

180o

(6)

31

3. Triângulos

Para isso, traçamos pelo vértice A a reta r paralela ao lado , determinando os ângulos de medidas e . BC 180o (1) A⌢+ + =X⌢ Y⌢

X

⌢

Y

⌢

Então temos: 32 3. Triângulos

Por outro lado, sabemos que:  ₌   =  ⌢ ⌢ ⌢

⌢ (ângulos alternos internos)

(ângulos alternos internos) X B

Y C

33

3. Triângulos

Substituindo por e por na igualdade (1) obtemos: 180o A B C⌢+ + =⌢ ⌢

X

⌢

B

⌢

Y

⌢

C⌢ 34 3.1. Classificação em função dos ângulos

Seus três ângulos são agudos, isto é, menores do que 90o_. 90 ,o 90o 90o A⌢< B⌢< e C⌢< 35 3.1. Classificação em função dos ângulos

Um de seus ângulos é reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa . Os lados adjacen-tes ao ângulo reto são os catetos e .

AC

AB

BC

36

3.1. Classificação em função dos ângulos

Um de seus ângulos é obtuso, isto é, maior do que 90o_.

90o

(7)

37

3.2. Classificação em função dos lados

Seus três lados têm medidas diferentes.

,

AB

≠

AC AB

≠

BC BC

≠

AC

Os três ângulos internos têm medidas diferentes.

,

A

⌢

≠

B A

⌢ ⌢

≠

C B

⌢

≠

C

⌢

38 3.2. Classificação em função dos lados

Possui dois lados congruentes (AB = AC). O ângulo formado pelos lados congruentes é denominadoângulo do vértice .

O lado oposto ao ângulo do vértice é denominadobase .

Os ângulos da base são congruentes, isto é,

(

∢

A

)

B⌢=C⌢ BC 39 3.2. Classificação em função dos lados

Seus três lados são congruentes (AB = BC = AC).

Os três ângulos internos são congruentes. A⌢= =B⌢ C⌢

E, uma vez que a soma dos três ângulos é igual a 180o_{, conclui-se que cada um deles mede}

60o_.

40 Exercício 12: Calcule as medidas dos ângulos de um triângulo isósceles em que o ângulo do vértice é o triplo de um ângulo da base.

3.2. Classificação em função dos lados

41 Exercício 13: Calcule x, sabendo que ABC é um triângulo equilátero e que AC = AD.

3.2. Classificação em função dos lados 42 Exercício 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y. 3.2. Classificação em função dos lados

(8)

43

3.3. Teorema do ângulo externo

Num triângulo, o prolongamento de um lado qualquer determina com um outro lado um ângulo denominadoexterno.

44

Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo qualquer é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Vamos provar que: e= +A B⌢ ⌢ 45 3.3. Teorema do ângulo externo 180o 180 ,o : Como e C+ =⌢ e A⌢+ + =B C⌢ ⌢ temos e= +A⌢ B⌢ e+C⌢ = + +A B⌢ ⌢ C⌢ 46 Exercício 15: Calcule x. 3.3. Teorema do ângulo externo 47 Exercício 16: Calcule m – n, sabendo que a // b.

48 Exercício 17: Na figura, calcule x em função deα.

(9)

49 Exercício 18: Se na figura seguinte AB = AF, calcule x em função de a, b e c.

50 Exercício 19: Na figura a seguir, qual é o valor de a + b + c + d + e?

51

3.4. Cevianas do triângulo

Ceviana é qualquer segmento de reta que tem uma extremidade num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice.

Na figura, são cevianas do tri-ângulo ABC. 1 2 1

,

AA AA e BB

52

3.4. Cevianas do triângulo

As cevianas são relativas ao vérti-ce A, ou relativas ao lado BC. A vérti-ceviana é re-lativa ao vértice B ou rere-lativa ao lado AC.

1 2

AA e AA

Os pontos A1, A2 e B1 são os pés das

cevianas.

1

BB

53

3.5. Cevianas notáveis

É qualquer ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos congruentes.

54

É qualquer ceviana que tem como pé o ponto médio de um lado.

(10)

55

É qualquer ceviana perpendicular a um lado.

56

De um modo geral, bissetriz interna, mediana e altura são cevianas distintas.

AH é altura AS é bissetriz AM é mediana

57 é bissetriz, mediana e altura simulta-neamente.

Porém, as três coincidem num único segmento se forem relativas à base de um triângulo isósceles.

AM

58 Exercício 20: Na figura, e são a bissetriz e a altura relativas ao vértice A do triângulo ABC. Calculeα.

AS AH

59 Exercício 21: Num triângulo escaleno ABC, em que = 36o_{, as bissetrizes internas relativas aos}

vértices A e B interceptam-se no ponto I. Calcule . 3.5. Cevianas notáveis ⌢ C AIB⌢ 60 Exercício 22: Na figura, e são alturas do triângulo. Calcule x.

(11)

61

3.6. Mediatriz de um segmen-to de reta

Mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a conduzida pelo seu ponto médio.

AB

62

3.7. Pontos notáveis do triân-gulo

É o ponto de encontro das bissetrizes internas.

O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

63

É o ponto de encontro das medianas. O baricentro divide cada mediana em dois segmentos que estão na razão de 2 para 1.

2

1 AG

BG

CG

GM

=

GN

=

GL

=

64

É o ponto de encontro das alturas.

65

É o ponto de encontro das mediatrizes dos lados.

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

66

No triângulo eqüilátero, o incentro, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto O, chamado centro do triângulo eqüilátero.

(12)

67

Como O é também o baricentro do triângulo, esse ponto divide a altura em segmentos proporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raios das circunferências inscrita e circunscrita, e h é a altura, é imediato que:

AH

1 2

3 3

r= h e R= h

68 Exercício 23: Se I é o incentro de um triângulo ABC e_BIC⌢ = 116o_{, calcule}⌢_A_.

69 Exercício 24: Na figura, G é o baricentro do triângulo. Calcule x, y e z, sabendo que AM = 12 cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm.

70 Exercício 25: Na figura seguinte, ABC é um triângulo equilátero de lado igual a 6 cm, M é o ponto médio de e CD = BC. Calcule AN.

AB

71 Exercício 26: O ponto I da figura é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC e a reta r, conduzida por I, é paralela a . a) Mostre que o triângulo PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9, qual é o perímetro do triângulo APQ?

BC

72

4. Quadriláteros

A soma das medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360o_.

(13)

73

4. Quadriláteros

Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Traçando a diagonal , decompomos o quadri-látero em dois triângulos. Como em cada triângulo a soma das medidas dos ângulos é igual a 180o_,

deduz-se que: AC

360

o

A B C

⌢

+ + + =

⌢

D

⌢

74 Exercício 27: Calcule x e y. 4. Quadriláteros 75 Exercício 28: ABC é um triângulo no qual = 52o

e = 72o_{. Calcule a medida do ângulo obtuso}

for-mado pelas mediatrizes dos lados e .

4. Quadriláteros ⌢ A ⌢ C AB BC 76 4.1. Trapézios

Trapézioé todo quadrilátero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos.

// AB CD

AB e CD são as bases do trapézio AC e BD são os lados transversais 

 

77

4.2. Classificação dos trapé-zios

Trapézio escaleno: os lados transversos têm medidas diferentes.

AD≠BC

O trapézio escaleno não possui ângulos congruentes.

78

Trapézio isósceles: os lados transversos têm medidas iguais.

AD=BC

Os ângulos de uma mesma base de um trapézio isósceles são congruentes.

(14)

79

Trapézio retângulo: um dos lados transversos é perpendicular às bases.

90o

A⌢= =D⌢

80 Exercício 29: Calcule as medidas dos ângulos do trapézio da figura.

81 Exercício 30: Num trapézio ABCD isósceles, de bases e (AB M CD), sabe-se que = 10x + 7o

e = 4x + 5o_{. Calcule as medidas dos quatro}

ângu-los desse trapézio.

4.2. Classificação dos trapé-zios AB CD ⌢ A ⌢ C 82 Exercício 31: ABCD é um trapézio retângulo em A e em D. Se = 100o_{, calcule a medida do ângulo}

obtuso formado pelas bissetrizes de e .

4.2. Classificação dos trapé-zios C ∢ ⌢ B D ∢ 83 4.3. Paralelogramos

Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos.

84

4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos

Os ângulos opostos são congruentes. Quaisquer dois ângulos adjacentes a um mesmo lado são suplementares.

(15)

85

4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos

Os lados opostos são congruentes.

As diagonais dividem-se ao meio pelo seu ponto de intersecção.

AB

=

CD e BC

=

AD

AM

=

MC e BM

=

MD

86

4.5. Paralelogramos notáveis

É todo paralelogramo que possui seus quatro ângulos retos.

As diagonais são congruentes.

87

É todo paralelogramo que possui quatro lados congruentes.

As diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos.

88

É todo paralelogramo que é retângulo e losango simultaneamente, isto é, seus ângulos são retos e seus lados são congruentes.

As diagonais são congruentes, são perpen-diculares e são bissetrizes dos ângulos internos.

89 Exercício 32: Uma diagonal de um retângulo forma com um dos lados um ângulo de 35o_{. Calcule a}

medida do ângulo agudo formado pelas duas diagonais.

90 Exercício 33: Uma diagonal de um losango forma com um dos lados um ângulo de 25o_{. Calcule as}

medidas dos ângulos desse losango.

(16)

91 Exercício 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMN são quadrados e ABC é um triângulo equilátero. Calcule e . 4.5. Paralelogramos notáveis ⌢ CBN BNE 92 5. Polígonos

Um polígono é convexo se, quaisquer que sejam os pontos X e Y do seu interior, o segmento de reta XY está inteiramente contido em seu interior. Polígono convexo Polígono côncavo 93

5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono

Sejam i1, i2, i3, …, inas medidas dos ângulos

internos de um polígono de n lados.

94

Tomando um ponto I qualquer no interior do polígono e unindo esse ponto a cada vértice, o polígono fica decomposto em n triângulos (cada lado do polígono dá origem a um triângulo).

95

Então, a soma das medidas dos ângulos dos n triângulos é igual a:_n_⋅180o

Subtraindo os ângulos do vértice I dessa soma, o que resta é a soma dos ângulos do polígono. Assim,

96

180

360 180 (

2)

o o i o i

S

n

S

n

= ⋅

−

=

−

(17)

97 Exercício 35: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é igual a 2340o_{. Quantos}

lados tem esse polígono?

98 Exercício 36: Na figura, calcule x e y.

99

5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono

Em todo polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é constante e igual a 360o_.

360

o e

S

=

100

Sejam e1, e2, e3… enas medidas dos ângulos

externos de um polígono de n lados.

101

5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono 1 1 2 2 3 3 180 180 180 180 180 o o o o n n o e i e i e i e i e i S S n  _{+ =}  + =   + =     _{+ =}  + = ⋅ ⋮ ⋮ 180 ( 2) 180 180 o o e o e S n n S n ↓ + − = ⋅ + ⋅ 360o 180o n − = ⋅ 360o e S = 102 Exercício 37: Calcule x.

(18)

103 Exercício 38: Qual é o polígono em que a soma dos ângulos internos é o dobro da soma dos ângulos externos?

104

5.3. Polígonos regulares

Um polígono éregularse, e somente se: 1o_{) todos os seus lados são congruentes;}

2o_{) todos os seus ângulos internos são congruentes.} Hexágono regular

105

Da definição decorre que os ângulos externos de um polígono regular também são congruentes.

106

Desse modo, como a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono é igual a 360o_{, a}

medida de um ângulo externo de um polígono regular de n lados é igual a .

360

o

e

n

=

360o n 107 Exercício 39: Num polígono regular, um ângulo interno é o quádruplo de um ângulo externo. Qual é esse polígono?

108 Exercício 40: Na figura ABCDE é um pentágono regular. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo ACD.

(19)

109

6. Ângulos na circunferência

Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência.

Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência.

Arco: Qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos arcos. AB é uma corda CD é um diâmetro    110 6. Ângulos na circunferência

.A própria circunferência é chamadaarco de volta inteirae sua medida é 360o_.

Um arco de extremidades A e B é chamado arco AB. A medida de um arco AB será denotada pelo símboloAB.

111

6. Ângulos na circunferência

Quando necessário, para diferenciar os dois arcos determinados pelos pontos A e B de uma circunferência, marcamos um ponto C qualquer pertencente a um deles (de um modo geral ao maior deles) e o denominamos arco ACB.

AB=medida do arco AB

112

6.1. Ângulo central

Um ângulo é central em relação a uma circunferência se o seu vértice coincide com o centro da mesma.

O arco interceptado por um ângulo central é denominadoarco correspondenteao ângulo.

113

A medida de um ângulo central é igual à medida do arco correspondente a ele.

AOB⌢ =AB EOF⌢ =EF

114 Exercício 41: Calcule x, nas figuras abaixo.

(20)

115 Exercício 42: Calcule as medidas dos ângulos internos do pentágono ABCDE.

116

6.2. Ângulo inscrito

Um ângulo éinscritonuma circunferência se o seu vértice é um ponto da circunferência e cada um de seus lados contém uma corda dessa circunferência.

117

Na figura, em vez de dizer que o ângulo está inscrito na circunferência, pode-se dizer que ele está inscrito no arco ACB.

O arco interceptado por um ângulo inscrito também é chamadoarco correspondenteao ângulo.

118

A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente a ele.

A demonstração completa abrange os casos em que o centro pertence a um lado, está no interior ou está no exterior do ângulo.

119

Traçando o raio OA, obtemos o triângulo isósceles OAC. Então, se teremos . Como é ângulo externo desse triângulo, temos . E, como é um ângulo central, temos: C⌢=

α

OAC⌢ =

α

2 AOB⌢ =

α

AOB

∢

AOB

∢

1o_Caso: 120 6.2. Ângulo inscrito 1o_Caso:

2

2 AOB

⌢

=

α

⇒

AB

=

α

2 AB

α

=

(21)

121

Traçando o diâmetro CD, fica divi-dido em dois ângulos inscritos de medidasα1eα2.

Como esses dois ângulos têm um dos lados passando pelo centro, pelo 1o_{caso temos:}

ACB

∢

2o_Caso: 122 6.2. Ângulo inscrito 2o_Caso: 1 2 1 2 2 2 2 AD DB e AD DB α α α α ⇒ ⇒ + + ⇒ 2 AB α ∴ = 123 6.2. Ângulo inscrito

Traçando o diâmetro CD, os ângulos inscritos ACD e BCD, de medidas α1 e α2, têm

ambos um dos lados passando pelo centro. Então, novamente pelo 1o_{caso, teremos:}

3o_Caso: 124 6.2. Ângulo inscrito 3o_Caso: 1 2 1 2 2 2 2 AD DB e AD DB α α α α ⇒ ⇒ − − ⇒ 2 AB α ∴ = 125 6.2. Ângulo inscrito

Dois ou mais ângulos inscritos num mesmo arco são congruentes.

2 AB

β γ

α

= = =

126 6.2. Ângulo inscrito

Todo ângulo inscrito numa semicircunfe-rência é reto.

180

o

90

o

(22)

127

É possível demonstrar também que: todo ângulo reto e, portanto, todo triângulo retângulo é inscritível numa semicircunferência.

128

Note que a hipotenusa é o diâmetro da semicircunferência.

129 Exercício 43: No triângulo ABC da figura, o lado BC e o raio da circunferência são congruentes. Calcular . 6.2. Ângulo inscrito ⌢ BAC 130 Resolução:

Unindo-se o centro O aos vértices B e C obtém-se o triângulo equilátero OBC. Como é um ân-gulo central, temos:

Então, como é um ângulo inscrito,

6.2. Ângulo inscrito OBC ∢

⌢

60

o

60

o

BOC

=

⇒

BC

=

BAC ∢

⌢

30

2

o

BC

BAC

=

⇒

B AC

=

131 Exercício 44: ABC é um triângulo retângulo em A. Calcular o ângulo formado pela altura e a mediana relativas à hipotenusa, sabendo que = 20o_. 6.2. Ângulo inscrito

⌢ C

132 Resolução: Inicialmente, note que o triângulo ABC é inscritível numa semicircunferência de centro M e diâmetro . Então, o triângulo AMC é isósceles, pois (por serem raios da semicircunfe-rência). Logo, conclui-se que:

6.2. Ângulo inscrito ⌢ ⌢ 20o 20o C= ⇒M AC= BC MA=MC

(23)

133 Por outro lado, é um ângulo externo do tri-ângulo AMC. Logo,

AMH

∢

20o 20o 40o AMH= + = 134 Por fim, no triângulo AMH temos:

6.2. Ângulo inscrito 0

90

40

180

50

o o o

x

+

=

135 Exercício 45: Na figura seguinte, BC é um diâmetro da circunferência. Calcule , sabendo que = 70o_. 6.2. Ângulo inscrito ⌢ APB ⌢ ABC 136 Exercício 46: Na figura seguinte, ABCD é um quadrilátero qualquer inscrito numa circunferência. Prove queα+ γ= 180o_.

137 Exercício 47: Num triângulo ABC, retângulo em A, sabe-se que = 26o_{. Calcule a medida do ângulo}

formado pela bissetriz e a mediana relativas ao vértice A.

⌢ C

138 Exercício 48: Um dos catetos de um triângulo retângulo é a metade da hipotenusa. Qual é a medida do ângulo oposto a esse cateto?

(24)

139

7. Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentesse os seus lados e ângulos forem ordenadamente congruentes.

AB DE _A _D ABC DEF BC EF e B E C F AC DF  _≡ _ _≡   ∆ ≡ ∆ ⇔ ≡  ≡   _≡ ≡   ∢ ∢ ∢ ∢ ∢ ∢ 140 7.1. Critérios de congruência de triângulos

Embora a definição de triângulos congruentes exija seis congruências, três entre lados e mais três entre ângulos, há situações em que a congruência de dois triângulos fica garantida com apenas três determinadas congruências. Tais situações constituem oscritérios de congruência

de triângulos.

141

7.1. Critérios de congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se os lados de um são respectivamente congruentes aos lados do outro.

A D AB DE BC EF ABC DEF B E AC DF C F  ₌ =     = ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ =    ₌  =  _ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ Critério L.L.L. 142 7.1. Critérios de congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se dois lados de um são congruentes a dois lados do outro e os ângulos compreendidos entre esses lados são também congruentes.

AB DE A D B E ABC DEF AC DF BC EF C F =   =   = ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ =    ₌  ₌   ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ Critério L.A.L. 143 7.1. Critérios de congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro e os lados adjacentes a esses ângulos são também congruentes.

AB DE B E BC EF ABC DEF A D AC DF C F =  =    = ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ =    ₌  ₌   ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ Critério A.L.A. 144 7.1. Critérios de congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se um lado e um ângulo adjacente são congruentes a um lado e um ângulo adjacente do outro e os ângulos opostos a esses lados são também congruentes. BC EF AB DE C F ABC DEF B E AC DF A D = =     = ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ =    ₌  ₌   ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ Critério L.A.Ao

(25)

145

Dois triângulos retângulos são congruentes se a hipotenusa e um cateto de um deles são respectivamente congruentes à hipotenusa e a um cateto do outro.

Critério L.L.Ar 90o B E BC EF AC DF ABC DEF F C AB DE A D  ₌  ₌    = ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =     ₌ = =  _ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 146 7.1. Critérios de congruência de triângulos

Quando escrevemos, por exemplo,∆PXQ ≡ ∆LTU, a ordem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, se pudéssemos deslocar um desses triângulos até fazê-lo coincidir perfeitamente com o outro, os vértices que ficariam sobrepostos seriam P e L, X e T, Q e U.

147

Com isso, a linguagem escrita já informa quais lados e quais ângulos são congruentes, isto é, escrevendo

∆PXQ ≡ ∆LTU

já sabemos que P⌢=L X⌢ ⌢, =T Q⌢,⌢=U⌢ e

,

PX

=

LT PQ LU XQ TU

=

148 Exercício 49: A figura seguinte apresenta um par de triângulos em que elementos congruentes são identificados por marcas iguais.

149 A partir das informações contidas na figura é possível concluir que os triângulos são congruentes e deduzir congruências que não constam nos dados. Tudo isso pode ser feito de forma resumida neste esquema: 7.1. Critérios de congruência de triângulos

⌢

=

→∆

≡ ∆

→

=

. . . ( ) ₍ ₎ ( ) ( ) A L A Critério _Conclusão Consequências Dados

MN

KO

M

K

MT

KR

MTN

KRO

N

O

NT

OR

T

R

150 Estabeleça esquemas semelhantes para cada um dos seguintes pares de triângulos.

(26)

151

8. Teorema de Tales

Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então esse feixe determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

152

Por D e E traçamos e paralelos à reta AC. Então os quadriláteros ABD’_{D e BCE’E são}

paralelogramos e, consequentemente, DD’ _{= AB e} EE’_{= BC.} ' DD ' EE 153 8. Teorema de Tales

E já que AB = BC (por hipótese), conclui-se que DD’_{= EE}’_{. Além disso, temos:} _(ângulos

correspondentes em ) e (ângulos correspondentes em ). 1 1 D⌢ =E⌢ ' ' // DD EE E2=F2 ⌢ ⌢

//

s t

154 8. Teorema de Tales

Assim, pelo critério L.A.Ao, conclui-se que

' '

DED

EFE

∆

≡ ∆

Logo, DE = EF. 155 8. Teorema de Tales

Um feixe de paralelas separa, sobre duas transversais quaisquer, segmentos de uma proporcionais aos segmentos correspondentes na outra.

// // , AB DE Se r s t então

BC=EF

156

Seja u um segmento que divide em m partes iguais e em n partes iguais. Logo,

(1) AB m u AB m BC n u BC n ⋅ = ⇒ ₌ ⋅ BC

AB

(27)

157

Tracemos, agora, as retas que passam por esses pontos de divisão e são paralelas a r, s e t. Pelo teorema anterior, as retas traçadas dividem em m partes iguais a u’_e _{em n partes iguais a u}’_{. Então,}

' ' (2) DE m u DE m EF n u EF n ⋅ = ⇒ = ⋅

EF

DE

158 8. Teorema de Tales Então, de (1) e (2), AB DE BC=EF 159 Exercício 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t. Calcule x.

160 Exercício 51: Na figura, a reta r é paralela a . Calcule AD, sabendo que AB = 18, AC = 27 e EC = 12.

BC

161 Exercício 52: Calcule x e y, sabendo que r // s // t.

162 Exercício 53: Se r // s // t, calcule a, b e c.

(28)

163

9. Semelhança de polígonos

Dois polígonos ABCDE … e A’_B’_C’_D’_E’ _{… com o}

mesmo número de vértices, são semelhantes se, e somente se,

1o_{) seus ângulos correspondentes (ou homólogos) são}

congruentes, isto é: ' ' ' , , , A⌢=A B⌢ ⌢=B C⌢ ⌢=C⌢ … 164 9. Semelhança de polígonos

Dois polígonos ABCDE … e A’_B’_C’_D’_E’ _{… com o}

mesmo número de vértices, são semelhantes se, e somente se,

2o_{) seus lados homólogos são proporcionais, isto é:}

' ' ' ' ' ' AB BC CD K A B =B C =C D =…= 165 9. Semelhança de polígonos

A constante k, de proporcionalidade entre os lados, é chamadarazão de semelhançados polígonos.

166 Exercício 54: Na figura, sabe-se que ABCD ∼LMNP. Calcular: a) a razão de semelhança entre ABCD e LMNP e, b) x, y e u.

167 Resolução:

a) Para calcular a razão de semelhança, basta obter a razão de semelhança entre dois lados homó-logos quaisquer de medidas conhecidas. No caso, entre os lados AB e LM. 9. Semelhança de polígonos

28

7

20

5 AB

k

LM

=

⇒

₌

⇒

₌

b) Já que a razão entre quaisquer dois lados homólogos é igual à razão de semelhança, temos:

7

49

35

5

7

56

40

5

35

7

25

5 x

x

y

u

=

⇒

₌

=

⇒

₌

=

⇒

₌

(29)

169 Exercício 55: Sabendo que os pentágonos ABCDE e KLMNO são semelhantes, calcule: a) a razão de semelhança e b) u, v, x e y.

170 Exercício 56: Na figura, os retângulos ABCD e BCFE são semelhantes. Se AEFD é um quadrado, calcule o valor de m/n.

171

10. Semelhança de triângulos

Conforme visto anteriormente, para que dois polígonos sejam semelhantes são necessárias duas condições: 1o_{) os ângulos correspondentes têm de ser}

congruentes; 2o_{) os lados homólogos têm de ser}

proporcionais.

172

Apenas uma dessas duas condições não garante que dois polígonos sejam semelhantes. Por exemplo, os quadriláteros da figura acima possuem seus ângulos respectivamente congruentes, mas não são semelhantes, pois seus lados não são proporcionais.

173

Porém, exclusivamente no caso dos triângulos, a semelhança fica garantida com um menor número de informações sobre eles. Tais informações constituem os

critérios de semelhançade triângulos.

174

10.1. Critérios de semelhança de triângulos

Critério A.A. (Ângulo, Ângulo)

Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro.

' ' ' ' ' . . B B A A ABC A B C C C  ₌  ∆ ∆  =  ⌢ ⌢ ∼ ⌢ ⌢ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘

(30)

175

Critério L.L.L. (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.

' ' ' ' ' ' . . . a b c L L L ABC A B C a =b =c ∆ ∼∆ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ 176 10.1. Critérios de semelhança de triângulos

Critério L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos são semelhantes se possuem um par de ângulos congruentes compreendidos entre lados proporcionais. ' ' ' ' ' ' . . . A A L A L ABC A B C b c b c  ₌  ∆ ∆  =   ⌢ ⌢ ∼ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ 177 10.1. Critérios de semelhança de triângulos

No reconhecimento dos lados homólogos em triângulos semelhantes, deve-se identificar os pares de ângulos congruentes por meio de marcas iguais, ou com letras do alfebeto grego. Esse procedimento visa facilitar o reconhecimento dos lados homólogos.

178 10.1. Critérios de semelhança de triângulos

BC

AC

AB

LM

=

LN

=

MN

179 Exercício 57: Calcule x e y nas figuras abaixo.

/ /

r BC r/ /AB

180 Exercício 58: Na figura seguinte, observe os dados com atenção e calcule x e y.

(31)

181 Exercício 59: Qual é a medida do lado do quadrado ABCD da figura?

182 Exercício 60: Calcule x nas figuras abaixo:

183 Exercício 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e que AB = AC = CD = 2. Calcule os valores deααααe x.

184

10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes

Até agora trabalhamos com a proporcionalidade dos lados de polígonos semelhantes. Porém, essa proporcionalidade não ocorre apenas entre os lados e sim entre quaisquer dois elementos lineares homólogos de figuras semelhantes.

‘

185

Por exemplo, para dois triângulos semelhantes, se a razão de semelhança é igual a k, então: (a) a razão entre lados homólogos é k; (b) a razão entre alturas homólogas é k; (c) a razão entre medianas homólogas é k; (d) a razão entre os perímetros é k; etc …

' ' ' ' ' ' a h m a b c k a h m a b c + + = = = = = + + … ‘ 186 Exercício 62: Na figura, LMNP é um quadrado inscrito no triângulo ABC. Calcular x em função de a e h.

(32)

187 Resolução: Como

Então, como a razão entre alturas homólogas é igual à razão entre lados homólogos, temos:

/ /

LM

BC

⇒

∆

ALM

∼

∆

ABC

188

( ) x h x hx ah ax ax hx ah a h ah a h x ah x a h − = ⇒ = − ⇒ + = + = ⇒ = + 189 Exercício 63: Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ da figura são semelhantes. Se o perímetro do segundo é igual a 32, calcule as medidas de seus lados e de sua diagonal B’D’.

190 Exercício 64: A figura seguinte mostra um retângulo inscrito no triângulo ABC. Calcule as medidas dos lados do retângulo, sabendo que sua base é o dobro de sua altura.

191

10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales

Pelo teorema de Tales, verifica-se de imediato que: “A reta que passa pelo ponto médio de um lado de um triângulo e é paralela a um outro lado intercepta o terceiro lado em seu ponto médio.”

192

Se e M é ponto médio de , então N é o ponto médio de .

Note então que a reta que passa pelos pontos médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado.

//

r BC

AB

(33)

193

Observando ainda que∆AMN R∆ABC, pois , podemos escrever:

// r BC MN AM

BC = AB

E como AM é a metade de AB, conclui-se que MN é a metade de BC.

194

Resumindo, o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e sua medida é a metade da medida do terceiro lado.

195

Se M e N são pontos médios de

AB

eAC.

1)

//

2)

2 MN BC

então

_BC

MN







=





196 Exercício 65: Na figura dada, ABC é um triângulo equilátero de ladol= 6 e M é o ponto médio de . Calcular NC, sabendo que CD = 8.

AB

197 Resolução: Unindo M ao ponto P, médio de , te-mos: isto é, MP = 3. Mas, se 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales BC / / e 2 AC MP AC MP= / / , então MP AC ∆NCD∼∆MPD 198 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales 8 3 11 24 11 NC CD x MP PD x = ⇒ ₌ =

(34)

199 Exercício 66: Os lados de um triângulo retângulo medem 10, 12 e 16. Os pontos médios dos lados desse triângulo são vértices de um novo triângulo. Calcule as medidas dos lados do segundo triângulo.

200 Exercício 67: Na figura, L, M e N dividem em quatro partes iguais e as retas r, s e t são paralelas a . Calcule o valor de a + b + c. 10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales AB BC 201

11. Relações métricas no triân-gulo retântriân-gulo

Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçando-se a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os seguintes elementos: a→hipotenusa; b e c →catetos; h→ altura relativa à hipotenusa; m→ projeção de c sobre a hipotenusa; n → projeção de b sobre a hipotenusa.

202

203 Note que a altura AH divide o triângulo ABC nos triângulos HBA e HAC.

Então,∆ABC R∆HBA, pois e é ângulo comum.

Além disso ∆ABC R ∆HAC, pois e é ângulo comum. Logo,

ABC

HBA

HAC

∆

∼

∆

∼

∆

90o A⌢= =H⌢

B

∢

90o A⌢= =H⌢

C

∢

204

ABC

HBA

∆

∼

∆

2

(1)

(2)

a

b

b c

a h

c

h

a

c

a m

c

m

=

⇒

_{⋅ = ⋅}

=

⇒

_{= ⋅}

(35)

205

ABC

HAC

∆

∼

∆

2

(3)

a

b

a n

b

=

n

⇒

= ⋅

HBA

HAC

∆

∼

∆

2

(4)

h

m

h

m n

n

=

h

⇒

= ⋅

206

11. Relações métricas no triân-gulo retântriân-gulo Teorema de Pitágoras 2 2 2 2 2 2 2

(2) (3)

(

)

(5)

a

b

a n

c

a m

b

c

a m

n

b

c

a



_{= ⋅}



+



+

= ⋅



+

= ⋅

+

=

207

11. Relações métricas no triân-gulo retântriân-gulo Resumindo: 2 2 2 2 2 2

a

b

c

b

a n

c

a m

h

m n

b c

a h

=

+

= ⋅

⋅ = ⋅

208

Se x, p e q são números ou segmentos que satisfazem a equação

dizemos que x é amédia geométricaentre p e q. Desse modo, há três médias geométricas entre as relações métricas no triângulo retângulo.

2 x = ⋅p q

209

Cada cateto é média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre ela.

A altura é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

2 2

b = ⋅a n e c = ⋅a m

2

h

= ⋅

m n

210 Exercício 68: Os catetos de um triângulo retângulo medem e . Calcular: a) a hipotenusa, b) as pro-jeções dos catetos e c) a altura relativa à hipotenusa.

5 2 5 11. Relações métricas no triân-gulo retântriân-gulo

(36)

a) Calculamos a hipotenusa pelo teorema de Pitágoras.

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 5 4 5 25 5 a b c a a a a = + ⇒ ₌ ₊ = + ⋅ ⇒ ₌ = 11. Relações métricas no

triân-gulo retântriân-gulo

212 b) Podemos determinar m pela fórmula c2_{= a} _⋅_m,

pois já calculamos a hipotenusa.

( )

2 2 5 5 5 5 1 c a m m m m = ⋅ ⇒ _{= ⋅} = ⋅ = 11. Relações métricas no

triân-gulo retântriân-gulo

213 Por outro lado, como m + n = a, temos:

1 5 4

m+ =n a⇒ + =n ⇒n=

214 c) Finalmente, podemos calcular h por meio de qualquer uma das relações h2_{= m}_⋅_{n ou b}_⋅_{c = a}_⋅_h.

2 2

1 4 2 h = ⋅m n⇒h _{= ⋅} ⇒h₌

215 Exercício 69: Os catetos de um triângulo retângulo medem e . Calcule: a) a hipotenusa; b) as projeções dos catetos; e c) a altura relativa à hipotenusa.

2 13 3 13

216 Exercício 70: Na figura, AB é o diâmetro da semicircunferência. Calcule AP e PB.

(37)

217 Exercício 71: O perímetro de um losango é igual a 40 e sua diagonal mede 16. Calcule o raio da circunferência inscrita nesse losango.

218 Exercício 72: O triângulo ABC da figura é retângulo em A. AH e AM são a altura e a mediana relativas à hipotenusa. Calcule b e c.

219 Exercício 73: No plano cartesiano são dados os pontos A(2; 1) e B(6;4). Calcule a distância de A e B.

220 Exercício 74: Na figura, as circunferências de centros O e O’ têm raios R e r, são tangentes entre si e tangenciam a reta t nos pontos A e B. Calcule AB em função de R e r.

221 Exercício 75: Na figura seguinte, ABCD é um trapézio retângulo de bases AB e CD. A semicircunferência de diâmetro AD tangencia o lado BC em T. Calcule o raio da semicircunferência.

222 Exercício 76: Vista de trás, a carroceria de um certo caminhão tem forma retangular. Sua altura, medida desde o solo, é de 3,6 m. O caminhão se dirige a um clube, cuja entrada é um arco semicircular de 3,9 m de raio. Para que ele possa passar pelo arco, é necessário que sua largura seja menor que um certo valorl. Calculel.

(38)

223

224 Exercício 77: Na figura seguinte, O é o centro da circunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule o raio da circunferência.

225 Exercício 78: Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado de ladol?

226 Exercício 79: Calcule os raios das circunferências inscrita e circunscrita num quadrado de ladol= 4.

227 Exercício 80: Calcule a área de um triângulo equilátero de ladol.

228 Exercício 81: Calcule os raios das circunferências inscrita e circunscrita num triângulo equilátero de ladol= 6.