 )º45(sen  )º60(sen

(1)

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br RELAÇÕES FUNDAMENTAIS E IDENTIDADES – 2012 - GABARITO

1. Calcule:

a) sen(45º) b) sen(60º) c) sen(240º) d) tg(1215º) e) 



 



  6 sen 11 f)

6 sec33 Solução. Lembrando que sen(-x) = -senx e encontrando a primeira determinação, caso necessário, temos:

a) 2

º 2 45 sen )

º 45 (

sen   ; b)

2 º 3 60 sen )

º 60 (

sen    ;

c) 2

3 2

º 3 240 sen )

º 240 (

sen 



















 ; d) ^tg⁽¹²¹⁵^º⁾^^tg⁽²²⁵^º^³^.³⁶⁰^º⁾^^tg⁽²²⁵^º⁾^^¹;

e) 2

1 2 1 6

sen 11 6

sen 11 



 

 







 



  





 



  ; f) nãoexiste( )

6 sec 9 6

sec 33  



 



  



 



 

;

2. Observe a figura e assinale V (verdadeiro) ou F (falso).

( V ) sen()sen ( F ) cos()cos ( V ) sen()sen ( V ) cos()cos ( F ) sen(2)sen ( V ) cos(2)cos

Solução. As coordenadas de cada ponto são (cosx, senx). Logo, basta comparar os valores em cada situação.

3. Simplifique as expressões:

a) ,sen 0

) ( sen . 5

) ( sen ) ( sen .

E 3 



















  b) ,cos 0

) º 180 cos(

cos

) º 180 cos(

) º 360

M cos( 













 

Solução. De acordo com as equivalências das coordenadas, temos:

a) 5

2 sen . 5

sen 2 sen

. 5

sen sen

. 3 )

( sen . 5

) ( sen ) ( sen .

E 3 



 





 



















  .

b) 1

cos 2

cos 2 cos cos

cos cos

) cos ( cos

) cos ( cos )

º 180 cos(

cos

) º 180 cos(

) º 360

M cos( 



 









 









 













  .

4. Determine o valor das expressões:

a) sen200º cos70º sen 240º º 300 cos º 330

X sen ² ₂



  b)



 



 



 



  



 



 



6 cos 5

3 cos 5 3

sen 2 Y

4 2

Solução. Encontrando os valores ou relações conhecidas, temos:

a)

3 1 3 .4 4 1 4 34

1

4 34

1 2

4 º 3 20 sen º 20 sen

4 1 2 1

2 ) 3 º 70 90 ( sen ) º 20 º 180 ( sen

2 1 2 1 º

240 sen º 70 cos º 200 sen

º 300 cos º 330

X sen ₂

2

2 2







 







































 







 



 

.

(2)

b) 9 20 9 .16 4 5 16

9 4 2 3

16 92

1 4 3

2 3

2 1 2

3

6 cos 5

3 cos 5 3

sen 2

Y ₄

2

4 2























 

















 



 



 



  



 



 

 .

5. Se

5

sen3, calcule ,sen 0

) º 180 ( sen

) º 180 ( sen ) º 360 cos(

) º 180

E cos( ₂ 



















 

Solução. Simplificando a expressão antes da substituição, temos:

3 5 sen

1 sen

sen sen

sen cos

cos )

º 180 ( sen

) º 180 ( sen ) º 360 cos(

) º 180

E cos( ₂ ₂ ₂ 

 



 











 



















  .

6. Sendo,

2 , 3

3

sen1  , calcule ^cos^^,^tg^^,^sec^^e^cos^sec^. Solução. O arco está no 3º quadrante.

4 2 2 . 2 2 2

1 2 2

1 2 2 . 3 3 1 3

2 2

3 1 cos

tg sen ) iv

4 2 3 2 . 2 2 2

3 2

2 3 cos

sec 1 ) iii

3 2 2 9 8 9

1 1 3

1 1 cos

sen 1 cos ) ii

sen 3 sec 1

3 cos sen 1

) i

2 2

2









 



 













 















 



 

 

































.

7. Quais são os valores de senxecosx, sendo senx2cosx, com   

2 x ?

Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante.

 

5 5 2 5 .2 5 x cos 2 senx )ii

5 5 5 . 5 5 1 5 1 5 x 1 cos )i

1 x cos 5 1 x cos x cos 4 1 x cos x cos 1 2

x cos x sen

x cos 2

senx

₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2 2

 



 



 











































 

 









.

8. Calcule o valor da expressão.

º 80 sen º 70 sen º 60 sen º 50 sen º 40 sen º 30 sen º 20 sen º 10 sen

M ²  ²  ²  ²  ²  ²  ²  ²

Solução. Dois ângulos complementares (x + y = 90º) possuem a propriedade: senx = cosy. Observando os arcos indicados, temos:

i) 60º + 30º = 90º; ii) 10º + 80º = 90º; iii) 20º + 70º = 90º; iv) 40º + 50º = 90º.

Substituindo de acordo com a propriedade, temos:

       

4 1 1 1 1 M

º 50 sen º 50 cos º 60 sen º 60 cos º 70 cos º 70 sen º

80 sen º 80 cos M

º 80 sen º 70 sen º 60 sen º 50 sen º 50 cos º 60 cos º 70 cos º 80 cos M

º 80 sen º 70 sen º 60 sen º 50 sen º 40 sen º 30 sen º 20 sen º 10 sen M

2 2



















.

9. Verifique as identidades:

(3)

a) cossec⁴cossec²cotg⁴cotg² b) secx senx

1 x tgx cos 

  d) ^tgx^^cot^gx^^sec^x^.^cos^sec^x c)

x g cot 1

x g x cot

cos ₂

2 2

 

Solução. As verificações podem ser feitas começando do 1º membro e encontrando o 2º membro, ou desenvolvendo os dois membros e encontrando uma identidade.

a) ^



^ ^^^



^^^^ ^^^^ ^^^ ^ ^^ ^



















4 2

2 2

2 4

2 2

g cot g

cot ) g .(cot g

cot 1

) 1 sec (cos sec

cos g

cot g

cot sec

cos sec

cos

1 sec cos g

cot sec

cos g

cot 1 : lação Re

.

b)    

¹ ^senx ^cos¹^x^. ^sec^x

. x cos

) 1 senx (

senx 1 . x cos

x cos x sen senx senx

1 . x cos

x cos ) senx 1 ( senx senx

1 x cos x

cos senx senx

1 x

tgx cos ² ² ²



 

 

 



 



 

 

 



.

c) secx.cossecx

senx . 1 x cos

1 senx . x cos

1 senx

. x cos

x cos x sen senx

x cos x cos gx senx cot tgx

2 2



 







 .

d) .sen x cos x

x sen

x cos x sen

1 . 1 x sen

x cos x sec cos . 1 x sen

x cos x sec cos

x sen

x cos x

g cot 1

x g

cot ₂ ₂

2 2

2 2 2

2 2

2

2     

 ^.

10. Calcule o que se pede, em cada caso, na circunferência trigonométrica.

(4)

a) A área do triângulo AOB.

Solução. O triângulo AOB é retângulo em O, com catetos AO =

sec6 cos 

e

OB = sec6

. A área será:

 

3 3 2 3 2 2 .1 3 4 2

3 4

2 3 2 2 2

sec6 6 cos

sec A



 



 







 



 









 



 



 



 



.

b) O arco AP mede ^^rad e a ordenada Q vale 3

10. Calcule:







2

2 2

g cot ) ii

cos sen

) i

Solução. A circunferência é trigonométrica. Logo, vale a relação fundamental e sen²cos²1.

O ponto Q está indicando a cossec. Utilizando as relações, temos:

9 1 91 9 g 100 cot sec

cos g

cot 1

9 sec 100

3 cos sec 10

cos

2 2

2





























.