MULTIDIMENSIONNELLE
II.1. Visualisation tridimensionnelle
1.5. Arithmétique de Projection
Le modèle de la camera à sténopé est caractérisé par son centre optique (dans notre cas l'oeil), séparé par une distance f (longueur focale) de l'écran. Un point P de l'espace observé Rec se projette sur le plan image en un point I (figure II-3)
CHAPITRE II : Techniques de visualisation tri et multidimensionnelle
X Y
Z
P
C
c
I
X
Y Z
O
f O
v u
ec
ob
ob
ob ec
ec
figure II-3 Géométrie de projection
Le passage de P à I est modélisé par une transformation linéaire Tp en coordonnées projectives.
Si l'on note (u, v)T les coordonnées I et (x, y, z)T les coordonnées de P dans le repère écran, la projection est régie par :
I = S. u v1 = Tp.
x y z 1
Tp est une matrice de dimension 3x4 appelée matrice projective du modèle [Faugeras86b] et S un facteur d'échelle dépendant de P et Tp.
Si nous notons la relation entre les unités de Xec et u et Yec et v par : x = (u-u0)/ku et y = (v-v0)/kv
avec :
ku et kv > 0 et (u0, v0) les coordonnées de C sur l'écran.
Si αu = ku.f, la matrice Tp vaut :
Tp = αu 0 u0 0 0 αv v0 0 0 0 0 1
Tp peut être associée a T afin de lier chaque point 3-D appartenant au repère écran à sa projection sur l'écran.
CHAPITRE II : Techniques de visualisation tri et multidimensionnelle
1.5.1. Projection orientée objet
Chronologiquement, les techniques orientées objets sont apparues les premières. La philosophie de ce type de projection est la suivante :
l'ensemble de la scène 3D (les primitives formant la scène) est projeté sur la scène en fonction de paramètres de vision. La gestion des occlusions est effectuée sur l'écran lors de la composition de l'image. Les techniques se différencient par le type de primitives projetées et par la gestion de l'occlusion.
1.5.1.1. Type de primitives
1.5.1.1.1. Objets définis de manière implicite
Les algorithmes de projections sont souvent spécifiques au type des primitives décrivant les objets [Foley82]. Certaines constances toutefois ressortent. Les primitives présentent souvent une frontière connue. Dans un premier temps cette frontière est projetée sur l'écran. L'aire décrite par cette frontière est balayée pixel par pixel. La localisation des points de la surface 3-D qui se projettent sur ces pixels est ensuite estimée.
Finalement, la normale en ce point détermine la couleur du pixel.
1.5.1.1.2. Objets définis de manière explicite
Les objets ne sont plus définies analytiquement. Leur perception -leur visualisation- est le résultat de la projection sur l'écran des différents échantillons. La grille 3-D est parcourue voxel par voxel. Chaque voxel est projeté sur l'écran. Cette projection est rarement localisée exactement sur un pixel.
plan de projection
direction de projection voxel
figure II-4
Projection d'un voxel sur l'écran
Il existe plusieurs façons d'assigner les valeurs associées au voxel (valeurs, ombrages, profondeur) aux pixels de l'image. Outre l'attribution des valeurs du voxel au pixel le plus proche, [Jin91] propose deux méthodes :
CHAPITRE II : Techniques de visualisation tri et multidimensionnelle
-l'attribution des valeurs du voxel au quatre pixels adjacents par extrapolation bilinéaire ;
P1 P2
P3
P4
S3 S4
S1
S2
S = S1 + S2 + S3 + S4
v
figure II-5 Extrapolation bilinéaire f(pi) = (Si/S) . f(v)
où :
pi est le pixel i (i = 1, 2, 3, 4) ;
Si la surface du rectangle comme indiqué sur la figure II-5.
S la surface totale délimitée par les quatres pixels.
-l'attribution de la valeur à un certain voisinage.
La valeur affectée au pixel dépend des valeurs du voxel pondérées proportionnellement à l'inverse de l'exponentielle de la distance.
1.5.1.1.3. Gestion des occlusions
Les morceaux de surface (ou les voxels) peuvent être cachés complètement ou partiellement par d'autres primitives plus proches de l'observateur. Il existe différentes solutions selon le type de la représentation. Deux grands principes ressortent : (1) le classement des entités sur l'écran pendant la projection ou bien (2) le classement des primitives selon leur éloignement avant projection (Depth Sort).
La technique du Z-Buffer (mémoire de profondeur) illustre le premier principe. La distance entre le point de surface (ou le voxel) et le plan image est stockée sur une mémoire associée à l'écran. Cette mémoire permet de discriminer les différents éléments le long de la ligne de vision (les plus proches cachant les autres). Pour une question de taille mémoire seule la localisation du point le plus proche est inscrite sur le Z-Buffer. La position d'un nouveau point est comparée à celle mémorisée sur le Z-Buffer. Si ce point s'avère plus proche, le pixel et le Z-Buffer sont remis à jour.
Le deuxième principe est par exemple appliqué à une base de voxels par le mode de balayage de la base de données. La projection Back-to-Front (BTF) [Frieder85] impose un parcours des données du point le plus éloigné de l'écran vers le plus proche. Ainsi, chaque nouveau voxel projeté écrase naturellement l'information plus éloignée. Cette technique nécessite l'exploration complète de la base de données.
CHAPITRE II : Techniques de visualisation tri et multidimensionnelle
Le principe inverse Front-to-Back (FTB) [Goldwasser85] parcourt la base de données du plus proche voxel au plus éloigné. La représentation s'arrête quand l'écran est rempli.
Cette technique utilise toutefois un Z-Buffer pour ne pas écraser les informations sur l'écran.
Plusieurs points handicapent les projections orientées objets :
-l'ensemble des données est considéré qu'elles soient occultées ou non ;
-l'étape de gestion des occlusions augmente la taille mémoire ou/et le temps de calcul ; -les données hors écran (clipping) nécessite des traitements supplémentaires ;
-l'information projetée sur l'écran présente des caractéristiques purement locales. La recherche d'une autre information est complexe (ombres portées, inter-réflexion,...).
1.5.2. Projection orientée écran - Lancer de Rayons
Pour cette approche, appelée lancer de rayons, le processus de recherche de l'information a pour origine l'écran. Elle est caractérisée par des rayons lancés du point d'observation à travers l'écran vers la scène. Ces rayons accumulent, durant leur progression, l'information nécessaire à l'attribution de la couleur des pixels de l'écran. Le lancer de rayons gère l'occlusion de façon naturelle : les premières surfaces rencontrées représentent les objets visibles par l'observateur.
Cette technique par les effets qu'elle permet (ombres portées, réflexions et réfractions multiples,... -voir chapitre III) a largement contribué à la réalisation d'images de synthèse réalistes.
Si pour la projection orientée objets toute l'information est fournie à l'écran, les projections orientée écran sont en grande partie dédiées à la recherche de l'information dans la scène.
Pour une scène composée de primitives géométriques l'intersection est estimée de manière analytique. Pour les grilles 3-D de voxels, l'information doit être recherchée pas à pas le long du rayon. Plusieurs méthodes pour cette recherche sont décrites dans la littérature. Les rayons sont représentés par des lignes partant des pixels de l'écran.
L'information peut être recueillie :
-lors de l'intersection du rayon avec les différentes coupes de la base de données [Siddon85] [Jin91]. L'information à ce point d'intersection est déterminée soit par l'attribution des valeurs du pixel (nous travaillons coupe par coupe) le plus proche ou bien par interpolation bilinéaire (ou d'ordre supérieur) des pixels voisins de la coupe ou des coupes adjacentes (figure II-6) ;
-par la contribution de la partie du voxel dans le volume entourant le rayon -un parallélépipède rectangle ayant comme base le pixel de départ du rayon [Jin91] (voir figure II-7) ;
-par la recherche des différents voxels traversés par le rayon (voir figure II-8). Ce cas se rapproche de l'extension 3-D du tracé incrémental de lignes élaboré par Bresenham [Fujimoto86] [Trousset87]. Cette approche a pour avantage de n'utiliser qu'une arithmétique entière (addition, soustraction, décalage,...) plus rapide que des traitements
CHAPITRE II : Techniques de visualisation tri et multidimensionnelle
en nombres réels. Cette technique impose toutefois une direction de rayons privilégiée, ce qui augmente la complexité algorithmique ;
-par des incréments réguliers le long du rayon (voir figure II-9). La valeur en ces incréments est déterminée par le type d'interpolateurs. Les plus courants sont soit d'ordre 0 (voxel le plus proche), soit d'ordre 1 (interpolation trilinéaire à partir des voxels adjacents).
plan de projection coupes
rayon
figure II-6
Intersection rayon/coupes
plan de projection
volume le long du rayon voxel touché
par le volume
figure II-7
Contribution du voxel dans le volume du rayon
CHAPITRE II : Techniques de visualisation tri et multidimensionnelle
plan de projection
rayon
coupes
voxels le long du rayon
figure II-8 Rayons entiers
plan de projection coupes
rayon
figure II-9
Incréments le long du rayon
1.6. Processus de visualisation tridimensionnelle en imagerie médicale