Recherche du complément d'information

Cette étape est caractérisée par la recherche de l'information qui, après la phase de reprojection, reste encore inconnue dans l'Image II. Un premier algorithme estime cette

CHAPITRE III : Lancer de rayons

l'optimisation de cette recherche sont présentés, l'un utilisant la cohérence image (connexité), l'autre l'ombre des structures de la scène.

3.2.1. Approche globale

Après reprojection des points de l'Image I, l'Image II est balayée de manière classique.

Au départ de chaque pixel vierge de tout point reprojeté, un rayon est lancé vers la scène afin de visualiser l'information manquante.

3.2.2. Cohérence image-connexité de la scène

La cohérence des objets échantillonnés dans une matrice de voxels se traduit par la connexité des différents voxels qui décrivent ces objets.

Quelques définitions tirées de [Luo86] :

Connexité : "Deux voxels v et w sont dits connexes dans S (sous-ensemble de la scène formée par l'objet) s'il existe un chemin entre v et w composé entièrement de voxels appartenant à S. La connexité est une classe d'équivalence."

Surface : "La surface d'un objet S est composée par les faces des voxels qui séparent S de S^{c (}S^c complémentaire de S dans la scène)". La surface d'un objet connexe est elle-même connexe.

En extrapolant ces définitions, nous pouvons dire que la projection sur un plan d'un ensemble connexe est aussi connexe.

Anatomiquement, la surface des structures est fermée et continue. Après échantillonnage, les voxels décrivant une structure sont connexes entre-eux. De même, sur l'image 2D , la projection de ces voxels possède les mêmes propriétés.

Ainsi, après une faible rotation, l'image des régions inconnues est connexe à celle des régions connues. Nous allons utiliser cette propriété dans un premier temps lors de rotations autour d'axes remarquables. Puis nous l'étendrons par la suite à des rotations quelconques de l'organe.

3.2.2.1. Rotation autour d'axes remarquables

Lors d'une rotation de l'objet autour d'un axe, l'information perdue disparaît sur un bord de l'image de l'objet et l'information inconnue apparaît sur l'autre.

Si le balayage de l'écran est perpendiculaire à la projection de l'axe de rotation, et s'il est effectué du côté de l'information perdue vers le côté de l'information inconnue, plusieurs caractéristiques sont alors exploitables :

-le bord de l'objet, du côté où l'information a disparu, est forcément connu;

-la région inconnue se trouve, dans le sens du balayage, après la région trouvée par le prétraitement.

Le processus de synthèse d'une ligne de l'image se déroule de la manière suivante : -la ligne est balayée, sans lancer de rayons, jusqu'à ce qu'un pixel contenant de

l'information connue soit atteint,

-le balayage se poursuit en ombrant les pixels en fonction des informations reprojetées,

CHAPITRE III : Lancer de rayons

-dès qu'une région inconnue est atteinte, des rayons sont lancés,

-si cette région est dépassée (les rayons ne rencontrent plus d'objet 3D), le balayage se poursuit jusqu'à la fin de la ligne (d'autre régions peuvent apparaître).

Cette technique sera appelée CONNEX1 par la suite.

3.2.2.2. Rotation autour d'axes quelconques

Le balayage de l'écran n'est plus perpendiculaire à la projection de l'axe de rotation.

Trois solutions se présentent à nous :

-la décomposition du mouvement en deux rotations.

La synthèse d'images se fait alors en deux temps, une rotation dont l'axe est perpendiculaire aux lignes de l'écran suivit d'une autre perpendiculaire aux colonnes. Ce double balayage nous paraît incompatible avec la recherche maximale de l'accélération de la vitesse de construction d'une image.

-la projection de l'axe de rotation sur l'écran suivi d'un balayage perpendiculaire à cette projection.

Ce balayage ne présente plus une orientation privilégiée par rapport à la discrétisation de l'écran. Cette difficulté peut être contournée par une rotation de l'image (par interpolation bilinéaire ou bien des méthodes à deux passes [Fant90] par exemple) afin de ramener l'axe de rotation perpendiculaire aux lignes ou aux colonnes. L'image est ensuite retournée à son orientation de départ.

Cette solution n'a pas fait l'objet de tests.

-la synthèse d'images après une rotation quelconque.

Lors d'une rotation quelconque, la caractéristiques énoncée au paragraphe précédent (la région inconnue se trouve, dans le sens du balayage, après la région trouvée par le prétraitement) n'est plus de mise. Si nous conservons le balayage selon les lignes ou les colonnes, à un moment le pointeur traversera une zone inconnue avant de toucher la zone issue de la reprojection (voir figure III-17).

information inconnue information

reprojetée balayage de l'écran

Image II

limite de la méthode

figure III-17

Limites de la technique présentée § 3-2-2-1

La connexité de l'objet nous fournit à nouveau une solution : la surface de l'objet étant fermée, les bords de la projection sont continus. Si pour une ligne x_i de l'image, le bord de l'image a pour coordonnées y_i, pour une ligne x_i+1 , le bord a pour coordonnées y_i+Δ_y. Si nous suivons l'hypothèse de connexité, Δ sera petit.

CHAPITRE III : Lancer de rayons

L'algorithme précédent peut être modifié comme suit :

Fixons-nous un intervalle de voisinage Δ_y, connaissant les coordonnées du bord de l'objet pour la ligne précédente (x_i,y_i), les coordonnées du bord pour la nouvelle ligne seront comprises entre (x_i+1,y_i-Δ_y) et (x_i+1,y_i+Δ_y). Des rayons seront lancés à partir de (x_i+1,y_i-Δ_y). Si un rayon atteint l'objet dans cette plage, l'algorithme se poursuivra de manière classique. Si aucun rayon ne rencontre d'objet jusqu'à (x_i+1,y_i+Δ_y), nous considérerons que l'ultime bord de la scène sera atteint.

Cette technique sera appelée CONNEX2 par la suite.

3.2.3. Ombre

En morphologie mathématique [Serra82], l'Umbra U d'une structure Y est définie ainsi : U Y ⁼ Y + 0, -∞ = x, t

'

t

x

Y f(Y)

U(Y)

figure III-18

Exemple de l'Umbra [Serra82]

Si Q(S) est la surface visible de l'objet S, l'ombre de Q(S) selon la direction perpendiculaire à l'écran (dans le référentiel écran) est :

U Q S = x, y, z : x, y, z' ∈ Q S ; z≤z'

L'Umbra correspond à l'ombre projetée par l'organe. Une particularité peut en être déduite :

x, y, z ∈ S ⇒ x, y, z ∈ U Q S . Toutes les parties non visibles se trouvent dans cette ombre.

Dans notre cas, l'information inconnue après reprojection appartient à l'ombre de l'image précédente. S'il était possible de faire apparaître cette ombre dans la nouvelle image, l'information inconnue y serait localisée. Il suffirait donc de lancer des rayons dans cette ombre pour parachever notre synthèse

La matérialisation du principe est impossible sous son aspect formel, l'ombre s'étend jusqu'à -∞.

CHAPITRE III : Lancer de rayons

La connexité de l'organe nous fournit une réponse : la surface de l'objet étant fermée, il est possible de placer derrière lui un plan qui délimite l'ombre. Si ce plan a pour équation z=A=constante, l'Umbra s'écrit :

U' Q S = x, y, z : x, y, z' ∈ Q S ; A≤z≤z'

En fait, le traitement du volume de l'ombre serait trop long (traitement 3D). Un traitement bidimensionnel est plus rapide. Si

(X) est la projection de X sur l'Image II, et Rc la région cachée dans l'Image I et visible dans l'Image II, alors :

Rc ∈ U' Q S ⇒ pr Rc ∈ pr U' Q S .

L'image que nous cherchons (pr(Rc)) est incluse dans la projection de l'ombre. Il suffit de faire apparaître cette dernière pour délimiter la zone prévisible de l'information cachée (voir figure III-19).

Image I

Image II

plan d'arrêt de l'ombre

reprojection de l'ombre

ombre

figure III-19 Umbra

Le processus de synthèse de l'image se déroule comme suit :

dans l'Image I, un plan est placé derrière l'organe. Celui-ci recueille la projection de l'ombre. Durant le prétraitement, cette projection subit les mêmes transformations géométriques que l'Image I. Ainsi, sur l'image intermédiaire apparaît la projection de cette ombre sur laquelle se superpose celle de l'organe. Pour compléter l'Image II, les rayons sont lancés à partir de la projection de l'ombre.

CHAPITRE III : Lancer de rayons