Résolution des problèmes Direct et Inverse

L'objectif du problème Inverse est la détermination des sources internes à partir de la mesure des champs à la surface du corps. Il suppose au préalable que le problème Direct

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soit résolu. Ce dernier est caractérisé par certaines hypothèses concernant l'anatomie et les phénomènes électro-physiologiques . La formulation du problème direct dépend donc du choix de modèles qui définissent :

-la géométrie de la tête.

Les différents composants de l'anatomie céphalique peuvent être représentés sur des primitives géométriques simplifiées ou par des modèles plus réalistes.

-les propriétés physiques associées aux différents milieux.

Plusieurs choix de conductivités et d'anisotropies dans ces conductivités sont présentés dans la littérature. [Thévenet92] donne un aperçu des valeurs utilisées par certains auteurs.

-le type et le nombre de sources.

Les modèles dipolaires (dipôle ponctuel, feuillet dipolaire, distribution de sources) sont fréquemment cités.

Le sujet de notre thèse ne concerne pas directement la connaissance des méthodologies de résolution des problèmes Direct et Inverse. Les lecteurs intéressés pourront se référer à [Siregar92]. Chaque méthode est toutefois caractérisée par une modélisation géométrique qui représente le domaine de définition des fonctions d'estimation de la distribution interne des potentiels. Les techniques de représentation de cette distribution sont étroitement dépendantes du choix du modèle géométrique.

Trois grands types de description des milieux conducteurs de la tête sont utilisés pour former la base anatomique des techniques de résolution des problèmes Direct et Inverse [Thévenet92] :

-la modélisation géométrique (sphère, ellipsoïde) multi-couches ; -les modèles réalistes utilisés par les méthodes des éléments de surface ;

-les modèles réalistes volumiques issus des méthodes aux différences ou aux éléments finis.

Chaque modèle présente des avantages et des contraintes vis-à-vis des problèmes posés et de l'exploitation des résultats par les techniques de visualisation. La description qui suit tente de présenter les contraintes et les solutions envisageables pour la représentation.

L'étude menée au sein du laboratoire est basée sur une modélisation par trois sphères concentriques et par la résolution du problème inverse par déconvolution spatiale [Siregar89]. Certaines des solutions graphiques sont présentées à la suite de la description des trois types de modèle.

2.3.1. Modélisation géométrique multi-couches

Les modèles sphériques furent parmi les premières descriptions relativement réalistes de la tête. Les différents milieux sont représentés sous forme de couches (concentriques ou non). Un modèle sphérique à trois couches a déjà été proposé en 1968 [Rush69]. La couche extérieure représente la peau du crâne -le scalp-, la seconde l'os et la troisième (sphère interne) le tissu nerveux.

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Pour l'EEG, cette discrimination en différentes couches est relativement importante.

Chaque milieu possède une conductivité électrique propre. Les surfaces entre milieux représentent une rupture de conductivité et des sources secondaires de potentiels y sont localisées. Les techniques de résolution du problème direct en terme de source équivalente utilisent largement ce modèle sphérique [Siregar89]. Plus récemment, ce modèle a évolué vers des représentations qui proposent davantage de couches (4 ou 5 avec une dissociation cortex/Liquide Céphalo-Rachidien -LCR-, ou celle entre matière blanche et grise ; cf les références [9-14] dans [Stok87]).

Des propriétés physiques (conductivité anisotrope selon les directions radiales ou tangentielles) ont été intégrées dans ce type de modèle [DeMunk88].

Certains auteurs proposent des formes ellipsoïdales [Huerta83].

Il est à noter que pour l'étude du problème en MEG les sauts de perméabilité magnétique entre milieux sont faibles et la composante radiale du champ est uniquement liée à la source primaire. Le problème Direct pour la composante normale de champ peut être ramené à un modèle à une sphère de milieu homogène infini.

Les avantages des modèles sphériques sont de plusieurs ordres. Ces modèles sont simples à mettre en oeuvre. Les dipôles internes sont calculés analytiquement quelle que soit leur localisation.

Ce modèle paraît être un bon compromis entre une trop grande simplicité et la lourdeur de calcul qu'implique un modèle plus élaboré.

Cette simplicité est exploitée pour la résolution du problème inverse. Les deux grandes approches concernent :

-la déconvolution spatiale [Siregar89] ;

-les sources "mobiles" ([Stok87] [Uebler91]). La distribution de potentiel de surface est calculée à partir d'une source interne. Cette distribution est comparée à celle acquise sur le patient. Un critère d'erreur entre ces deux distributions (différences quadratiques entre modèle et mesures par exemple) est minimisé par la variation itérative des paramètres de la source. Le minimum est obtenu pour la source qui, par sa localisation, son orientation et son amplitude, explique au mieux les mesures.

Son inconvénient demeure sa trop grande simplicité. La sphère (ou l'ellipsoïde) est relativement éloignée de la forme réelle d'une tête. Les milieux et les épaisseurs sont supposés constants (ceci n'est pas vérifié sur l'anatomie). [Thévenet92] montre également les imperfections du calcul de la distribution sur une sphère fermée alors que la morphologie présente des ouvertures entre milieux (yeux, cou). Parallèlement, il cite une étude menée par Cuffin et al. [Cuffin91] qui estiment l'erreur moyenne de la localisation de la source à 1,1 cm dans le cas d'un modèle à 4 couches et 32 électrodes.

La corrélation entre modèle et anatomie nécessite une phase d'ajustement. Le recalage modèle/morphologie et les techniques de visualisation mises en oeuvre seront présentés ultérieurement (paragraphe V-2-2-3-4-1).

2.3.2. Modèles d'éléments de surface

Cette approche, appelée également méthode de résolution à partir d'équations

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de densité volumique de courant ou de potentiel source [Barnard67]. Ce modèle considère l'anatomie comme constituée de structures homogènes séparées par des surfaces notées S₁,...S_N. Le potentiel Vⁱ du point r de la surface S_i est donné par [Barnard67] :

( σ i - + σ i + ) ⋅ V i ( r ) = 2 ⋅ V0(r) + 1

2Π ⋅ (σ j- + σ j+)⋅ Vj(r')⋅ d Ω r ( r ')

Sj

Σ

(A) où V₀(r) est le potentiel créé par un dipôle dans un milieu homogène infini de

conductivité σ = 1. Les conductivités normalisées de part et d'autre de la surface S_j sont notées σ_j+ et σ_j-. dΩ_r(r'), l'angle solide sous-tendu en r par l'élément de surface dS vu de r' (position de la source dipolaire) s'écrit :

dΩ_r(r') = r' - r r' - r³

⋅ dS_j(r')

L'équation A peut être résolue numériquement après échantillonnage des surfaces par un maillage formé de facettes. Le problème peut ainsi se mettre sous la forme d'un système linéaire. Les potentiels aux noeuds du maillage sont calculés par inversion matricielle.

Cette méthode s'applique à des modèles plus réalistes des surfaces anatomiques. Ces dernières sont extraites de la base de données morphologiques puis modélisées par facettes planes (voir chapitre I sur les techniques de triangulation). Cette modélisation présente un double intérêt : d'une part, elle permet l'estimation des potentiels sur les différentes surfaces, d'autre part elle fournit une base idéale pour la visualisation des potentiels.

Le schéma suivant de représentation est envisageable :

-le modèle anatomique est extrait de la base de données et triangulé. L'estimation de sources en EEG nécessite la décomposition en 3 ou 4 couches.

-la source interne est localisée en suivant le schéma itératif des "sources mobiles" déjà décrit précédemment pour les méthodes utilisant les modèles sphériques [Oostendorp89].

-la visualisation des potentiels de surface est relativement aisée. Les potentiels aux différents noeuds sont convertis en couleur. La visualisation réaliste est obtenue par la modification de ces couleurs en fonction des paramètres de vision et d'éclairage, suivie par un remplissage de facettes par interpolation de Gouraud ou de Phong.

-la représentation de la source interne nécessite une première étape de modélisation visuelle du dipôle (flèche, sphère bicolore,...) [Soufflet91]. Ce modèle localisé et orienté dans la base de données est ensuite visualisé par semi-transparence à travers les éléments de surface.

La méthode aux éléments de surface présente de nombreux avantages de par son plus grand réalisme et la prise en compte des formes morphologiques (les erreurs entre modèles sphériques et modèles plus proches de l'anatomie sont présentées dans [Cuffin90] et [Thévenet92]). Ainsi, l'inhomogénéité de l'épaisseur de l'os, la discontinuité due au cou,...

sont intégrées dans ce modèle. La limitation de cette méthode concerne l'hypothèse sur la

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conductivité constante au sein d'une même structure. Par exemple, l'anisotropie des conductivités est impossible à prendre en considération.

2.3.3. Modèles aux éléments finis

Ces méthodes sont fréquemment utilisées dans le domaine industriel pour des problèmes mécaniques ou thermiques par exemple. Elles ont été naturellement appliquées dans le milieu médical pour la planification des traitements en thermothérapie anti- cancéreuse [Frey91] [Piket-May92] [James92].

En cardiologie, [Yamashita84] et [Pilkington85] ont adapté le principe des éléments finis à l'étude de la distribution de potentiels à l'intérieur du torse à partir des générateurs cardiaques, ainsi qu'à la résolution du problème Inverse afin d'estimer les potentiels épicardiaux.

Thévenet [Thévenet92] propose la modélisation de l'activité cérébrale par la méthode aux éléments finis.

Les volumes conducteurs sont alors approchés par un ensemble d'éléments de volumes contigus et de formes géométriques simples (tétraèdre ou prisme droit,...). Ce maillage tridimensionnel met en oeuvre des algorithmes de décomposition en grilles, en polyèdres de Voronoï ou en tétraèdres associés de Delaunay [Boissonat84]. La fonction inconnue (la distribution de potentiels dans notre cas) est discrétisée dans le domaine en appliquant des transformations qui donnent lieu à des formes intégrales dites "faibles" et "discrétisées".

Ces transformations permettent de passer des équations aux dérivées partielles à des équations algébriques (en présentation matricielle) qui pourront être résolues par des techniques numériques [Thévenet92].

Cette formulation dépend du phénomène physique en lui-même et des propriétés des différents milieux. Les anisotropies de conductivité, les inhomogénéités des structures et les frontières de forme irrégulière peuvent être prises en compte en assignant des conductivités distinctes selon les axes des éléments et en utilisant des éléments de volume de formes différentes.

Ce modèle conditionne également la visualisation. Les surfaces sont définies par la face extérieure des polyèdres situés à la frontière de la surface. L'extraction de ces facettes revient à effectuer une triangulation de Delaunay. Certains auteurs, lors du maillage 3D, traitent explicitement les zones frontières par une extraction de surfaces de type Marching- Cubes [Frey91]. Les valeurs des potentiels sur les faces des triangles -les couleurs qui y sont attribuées- sont estimées par interpolation. Les algorithmes de synthèse d'images d'objets composés de facettes planes sont parfaitement adaptés à la visualisation de la distribution de potentiels de surface.

La représentation de la distribution interne nécessite des techniques volumiques. Deux solutions sont envisageables : soit l'attribution d'une couleur et d'une transparence aux faces des éléments volumiques, soit un ré-échantillonnage des potentiels (couleurs et opacité) dans une grille régulière.

2.3.4. Modélisation et représentation liées à la méthode des trois sphères concentriques

Parmi les différentes options possibles pour la résolution du problème inverse, le choix de l'étude menée au sein du laboratoire s'est fixé à une modélisation par trois sphères