Surface implicite

Les techniques de modélisation suivent un schéma similaire : (1) extraction de points appartenant à la surface, (2) modélisation géométrique à partir de ce nuage de points.

2.3.1.1. Extraction de points

Nous avons vu précédemment qu'une certaine classe d'outils de segmentation est spécialisée dans la recherche des frontières des différentes structures d'une scène. Ces outils sont basés sur l'utilisation de seuils ou d'opérateurs différentiels.

Le simple seuillage détermine l'appartenance d'un voxel à une certaine classe plutôt qu'à une surface. Supposons que deux seuils a₁ et a₂ permettent de discriminer clairement une classe A, cette dernière correspond à tous les voxels (x, y, z) tels que a₁ ≤ f(x, y, z) < a₂. Par contre, un voxel frontière d'une classe possède une valeur inférieure à a₁ et n'est donc pas attribué à la classe. Seule la prise en compte, dans le choix des seuils, de l'effet de volume partiel permet de discriminer des autres objets tous les éléments qui sont sûrs de lui appartenir (même les voxels de surface).

Une surface est caractérisée par une variation rapide des valeurs des voxels. Les voxels de surfaces sont détectés par un extremum dans la dérivée première ou par un passage par zéro dans la dérivée seconde.

Ces outils différentiels et le seuillage ont permis l'extraction de voxels susceptibles d'appartenir à la frontière des différentes classes. Divers problèmes apparaissent dans le cas d'images médicales bruitées et difficilement segmentables : l'élimination des points de bruit détectés par erreur, la connexion entre plusieurs segments de surfaces (frontières),...

2.3.1.2. Modélisation des surfaces par approximation polygonale

Les premières représentations 3D en médecine suivaient le principe d'une modélisation des surfaces par des polygones, appelés facettes, à partir des contours des objets. Ce type de modélisation a été parfaitement justifié par les faits suivants. Les capacités de stockage étaient réduites, les coupes présentaient une forte distance entre elles. Il était facile de traiter le volume coupe par coupe, puis de modéliser la surface 3D à partir de l'information des coupes.

Chapitre I : Primitives et représentations en imagerie médicale

Cette modélisation se décompose en plusieurs phases : -extraction des contours de l'objet.

Les outils de segmentation 2D sont parfaitement adaptés à l'extraction des structures.

-discrétisation des contours.

Afin de diminuer le nombre des données, les contours sont discrétisés soit de façon régulière, soit en exploitant des critères géométriques (rayon de courbure de la ligne de contour,...).

-triangulation à partir des points de surfaces.

Nous pouvons distinguer la triangulation à partir de coupes parallèles et les méthodes globales de triangulation.

2.3.1.2.1. Méthodes de triangulation de contours parallèles

La surface est constituée du polyèdre élémentaire : le triangle (figure I-8).

Deux grandes classes de méthodes existent pour procéder à cette triangulation : -les méthodes heuristiques.

La reconstitution s'effectue facette par facette, chaque nouveau triangle étant choisi en fonction de critères locaux (distance euclidienne, distance euclidienne relative au périmètre du contour,...).

-les méthodes basées sur le parcours de graphes.

Ces méthodes essaient d'optimiser un critère global sur tous les arrangements possibles entre les points des deux contours. Ce critère peut être :

*la minimisation de l'aire des triangles composant la surface [Fuchs77],

*celle de la longueur totale des arètes des triangles,

*la maximisation du volume du polyèdre délimité par la surface comprise entre deux contours convexes [Keppel75].

Toutefois, certaines configurations anatomiques (fourches, organes fortement coudés,...) entraînent de grandes difficultés de description fidèle des formes.

figure I-8.

Principe de triangulation de contours parallèles

Chapitre I : Primitives et représentations en imagerie médicale

2.3.1.2.2. Méthodes globales de triangulation

La triangulation se fait sur un canevas de points quelconques extraits de l'enveloppe de l'objet. Parmi les différentes méthodes, l'une des plus utilisées en imagerie médicale est la triangulation de Delaunay [Boissonnat84]. Celle-ci est basée sur une relation d'adjacence entre les points qui partagent une arète dans le diagramme des polyèdres de Voronoï.

figure I-9

Diagramme de Voronoï et Triangulation de Delaunay, d'après [Boissonnat84]

Soit un ensemble P de m points P_i appartenant à un espace euclidien E.

Le polyèdre de Voronoï V_i associé au point P_i est défini par : V_i = { p∈E, V_j∈1...m, d(p, P_i) < d(p, P_j) } où :

d représente la distance euclidienne.

La triangulation de Delaunay en 3D forme un recouvrement de l'enveloppe convexe avec des tétraèdres. Il faut donc éliminer les faces des tétraèdres n'appartenant pas à la surface -si celle-ci est convexe- ou "creuser" les tétraèdres du bord pour inclure les points de l'intérieur -si la surface est concave. Malheureusement ces dernières manipulations sont lourdes en temps de calcul.

Il n'existe aucune méthode fiable -fidèle dans tous les cas aux organes à visualiser- de triangulation 3D à partir de points quelconques répartis dans l'espace. Ceci explique les rares applications en imagerie médicale.

Boissonnat [Boissonnat88] propose un amalgame de la triangulation de Delaunay 3D et de celle basée sur les contours parallèles. Il applique une triangulation de Delaunay

"2D^1/2" sur des points extraits des coupes tomographiques.

2.3.1.2.3. Géométrie des facettes

Une facette est représentée par les trois points des surfaces qui forment les sommets du triangle 3D. La surface est totalement définie par une liste de points et par une liste de facettes.

Les représentations par facettes permettent des visualisations rapides. Le volume de ces données est relativement faible et la plupart des processeurs graphiques comportent des

Chapitre I : Primitives et représentations en imagerie médicale

outils de représentation par facettes. Cette rapidité est faite au détriment de la qualité du résultat, la représentation par facettes n'est qu'une grossière approximation des données (non polyédriques en imagerie médicale).

Un autre problème se pose pour la visualisation. La facette est plane, les points de cette partie de surface possèdent la même normale. L'ensemble de la facette est représentée sous une couleur identique qui fait ressortir la discrétisation de la surface. Un lissage du rendu à partir des couleurs des sommets (interpolation de Gouraud [Foley82]) ou des normales aux sommets (interpolation de Phong [Bui75]) adoucit les surfaces visualisées.

2.3.1.3. Modélisation par des surfaces gauches

La surface entre les points extraits des contours est modélisée par une juxtaposition de carreaux de surfaces gauches (patches). Le plus souvent le patch est défini de manière paramétrique sur un maillage rectangulaire à l'aide d'un produit tensoriel de polynômes.

Pour des raisons de simplicité, les patches bicubiques sont les plus utilisés. Citons les courbes de Bézier, B-Splines, β-Splines [Barsky86],...

La modélisation de la surface sous cette forme paramétrique présente plusieurs avantages :

-une compression d'informations supérieure à celle des facettes.

-la modification interactive de la forme de la surface (sans tenir compte de son équation) par simple manipulation des points de contrôle associés à chaque patch.

-la construction d'une surface à partir des points constitue à elle seule une phase d'interpolation.

2.3.1.4. Ajustement de surfaces

La technique précédente repose sur une modélisation de surface à partir de points de la surface. Des techniques récentes basées sur des modèles déformables gèrent simultanément la segmentation et la modélisation.

Sequeira [Sequeira87-89] tente de modéliser des structures de conformation complexe à l'aide de solutions de type Conception Assistée par Ordinateur. Sa démarche consiste à prédéterminer des primitives géométriques 2D (dans les coupes) ou 3D dont le placement interactif approximatif sur l'objet est suivi de procédures d'optimisation, c'est-à-dire d'ajustements automatiques sur les objets. Ces primitives manipulées sont de forme libre (Bézier, B-Splines,...).

Une autre classe de méthodes utilise des modèles basés sur le principe des contours déformables (Snakes). Les méthodes utilisées en 2D pour l'extraction de contours [Kass87]

ou 3D pour la modélisation de surface à partir d'images projectives [Terzopoulos88]

commencent à être généralisées directement en 3D [Cohen91] [Leitner91]. Un modèle simple est superposé à l'image 3D. Des forces externes et internes déforment le modèle à partir de son état initial. Le processus est arrêté quand l'énergie atteint une valeur minimale (position d'équilibre). La fonction déformable est basée le plus souvent sur l'utilisation de B-Splines. L'objet est donc modélisé sous cette forme paramétrique.

Chapitre I : Primitives et représentations en imagerie médicale

2.3.1.5. Modélisation de surfaces à partir de modèles continus de volume

Ce paragraphe fait référence au travail de modélisation continue de volume effectué par Cinquin (cf § I-2-1-4). Le volume est modélisé par des fonctions splines tricubiques. La surface de l'objet que l'on cherche à extraire est la solution stable d'un système d'équations différentielles [Marque90]. Les avantages de cette méthode résident dans le fait que la détection et la connexion des points frontières sont réalisées simultanément. Le résultat est présenté directement sous une forme paramétrique.

2.3.1.6. Modélisation symbolique de surfaces

La description de surfaces par la concaténation de primitives simples est une forme puissante de compression et de compréhension d'une scène. Les structures anatomiques se prêtent difficilement à ce type de modélisation. Citons toutefois les travaux de Burdin [Burdin91] sur la représentation 3D de cubitus à partir de descriptions de formes (des descripteurs de Fourier dans ce cas). Les contours de chaque coupe transversale de l'os sont ainsi modélisés. La primitive entière est définie par la concaténation des descripteurs de coupes. Le passage d'une primitive à une autre correspond à l'apparition ou à la disparition de descripteurs dans la séquence qui décrit le contour.