2.2 Algorithmes d’optimisation pour le problème wLP
2.2.1 La difficulté du problème wLP
Quand on cherche à résoudre un problème d’optimisation, il est nécessaire de prendre en compte le contexte dans lequel va se faire la résolution. Pour cela, il faut connaître les contraintes qui s’appliquent au problème en terme de moyens et de temps en répondant aux deux questions suivantes :
1. En combien de temps devra-t-on résoudre le problème ? 2. De quelle puissance de calcul dispose-t-on ?
Ces deux questions permettent de quantifier lenombre d’opérations moyen ou maximal que l’on peut exécuter pour trouver la solution du problème d’optimisation. En effet, la première réponse donne un temps moyen de résolution et la seconde le nombre d’opérations à la seconde que l’on peut effectuer. Typiquement, pour le problème wLP, il est bon de trouver une solution au bout d’une demi-heure, voire une heure de recherche avec un ordinateur standard.
La planification d’un réseau sans-fil est réalisée par des intégrateurs de solutions réseau qui sont des entreprises de taille moyenne, voire petite. Contrairement à un opérateur de télécommunications, ils ne peuvent se permettre d’acheter une grappe de machines parallèles ou des stations de traitement spécialisées pour cela.
De plus, du point de vue économique, ces intégrateurs réseau ne peuvent se permettre de facturer un temps de conception trop important au client. En effet, le prix du matériel vendu au client n’est pas très élevé et le surcoût de conception peut s’avérer prohibitif à l’achat. Ainsi, la mise en place d’un outil de planification automatique doit proposer une solution en un temps limité pour limiter le coût de conception du réseau wLAN avec des ressources de calcul standard.
Optimisation et difficulté
La résolution d’un problème d’optimisation peut-être également présentée sous la forme d’un problème d’optimisation sous contrainte. Je définis ici larésolution du problème d’op-
CHAPITRE 2. OUTILS ET MÉTHODES
timisation comme étant la recherche d’un algorithme Ξappartenant à l’ensemble des al- gorithmes possibles A qui permettent de résoudre un problème d’optimisationP avec un nombre d’opérations élémentaires Nop(Ξ, P inférieur ou égal au nombre maximal d’opéra- tions possibleNmaxop ). Ce nombre maximal d’opérations est issu des contraintes décrites au paragraphe précédent.
On définit communément lacomplexité d’un algorithme C(Ξ)comme le nombre d’opé- rations élémentaires effectuées par l’algorithme pour trouver la solution S d’un problème de tailleN, où N caractérise la taille de l’espace de recherche.
La complexité d’un problème P est la complexité du meilleur algorithme que l’on ait trouvé pour le résoudre.
Les caractéristiques d’un problème P qui vont rendre sa résolution plus ou moins aisée sont les suivantes :
– N : la taille de l’espace de recherche,
– Cf : le nombre d’opérations élémentaires nécessaires à l’évaluation d’une solution, – la nature de la fonction d’évaluation.
Le seul algorithme qui assure dans tous les cas l’obtention de l’optimum est l’algorithme exhaustif qui teste toutes les solutions. Sa complexité vautN ×Cf.
Plus l’espace de recherche est grand, plus l’énumération des solutions est longue et plus la complexité d’un algorithme de recherche exhaustive est grande. De même, plus il faut d’opérations élémentaires pour évaluer une solution, plus il est difficile de trouver une solution en respectant une contrainte de complexité maximale.
S’il n’est pas possible de résoudre P avec un algorithme exhaustif en respectant la contrainte de complexité maximale, il faut trouver un algorithme Ξ qui nécessite moins d’évaluations de solutions (Nsol< N). En effet, la complexité d’une évaluation dépend du problème et n’est pas modifiable par l’algorithme.
Cet algorithme Ξva explorer l’espace des solutions de façon intelligente. Pour cela, il pourra tenir compte de la forme de la fonction d’évaluation pour guider sa recherche vers des parties de l’espace des solutions qui présentent des solutions proches de l’optimal.
Si la fonction d’évaluation est une fonction convexe sur tout son espace de définition, la recherche de l’optimum est simple. En effet, comme on sait qu’il n’y a qu’un seul optimum, un algorithme de recherche locale qui n’accepte à chaque itération qu’une solution meilleure de l’optimum actuel pourra converger vers l’optimum global. Si la fonction d’évaluation n’est pas convexe, il peut exister plusieurs optimums locaux. De ce fait, une stratégie de recherche locale converge vers l’optimum le plus proche du point de départ. L’optimum trouvé n’est pas forcément l’optimum global. Plus la forme de la fonction d’évaluation est rugueuse, plus il est difficile d’exploiter la connaissance a priori sur sa forme pour l’optimiser.
Le problème de planification est un problème d’optimisation difficile. D’une part, les contraintes de temps de traitement et de puissance de calcul sont fortes vis à vis de la combinatoire du problème décrite dans la partie 1.4.1. Il est nécessaire de produire une solution en un temps de calcul faible (1 heure) et avec une puissance de traitement restreinte. Si l’on cherche à planifier un environnement comprenantM positions candidates, le nombre de solutions possibles est de kM,kétant le nombre d’états possibles d’un AP.
De plus, le calcul d’une seule fonction de coût fait intervenir l’estimation de la couver- ture radio desN points d’accès de la solution. Si l’approche du problème est combinatoire, il est possible d’estimer la couverture des points d’accès candidats au début du processus
CHAPITRE 2. OUTILS ET MÉTHODES
d’optimisation et ainsi de minimiser le temps de calcul des prédictions de couverture radio.
Par contre, si l’on choisit d’exploiter une approche continue, il sera nécessaire d’estimer la carte de couverture de chaque point d’accès à chaque évaluation.
Le problème de planification wLAN est également difficile car la fonction d’évaluation n’est ni convexe, ni monomodale. Déplacer un point d’accès d’une pièce à l’autre d’un bâtiment créé une discontinuité dans la fonction d’évaluation.
Le problème wLP peut être réduit au problème d’optimisation combinatoireMinimum Set Covering Problem. Ce problème recherche un sous-ensemble des points d’accès de taille minimale qui couvre l’ensemble du bâtiment. Pour l’instant, il n’existe pas d’heuristique qui permette de résoudre ce problème en temps polynomial car ce problème appartient à la classe des problèmes NP-complets.
Le problème wLP est un problème d’optimisation difficile. Différentes heuristiques de résolution ont été présentées dans la littérature. La suite de ce chapitre présente les grandes lignes des algorithmes employés et l’application qui en a été faite.
CHAPITRE 2. OUTILS ET MÉTHODES