Les modèles déterministes

Afin d’améliorer la qualité des prédictions de couverture radio, de nombreux auteurs ont travaillé au développement de méthodes dites déterministes, car basées directement sur les caractéristiques de l’environnement. Parce-que le temps de calcul est un facteur important pour rendre exploitable toute méthode de propagation Indoor dans le contexte de la planification des réseaux sans-fil, et parce-que, dès le départ, ces méthodes ont été considérées dans un contexte 3D, la plupart des approches proposées reposent sur une modélisation géométrique de la propagation [51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 66, 70, 71, 72, 68, 69, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80].

Notons que la bibliographie présentée ici, et probablement non exhaustive, se limite aux travaux directement liés à l’Indoor. En effet, de nombreux travaux depuis 10 ans ont été menés à propos du lancer de rayon et assimilés dans le contexte urbain. Introduites dans le contexte Indoor par plusieurs travaux fondateurs [51, 53, 54, 55], l’approche géométrique repose sur le calcul de la propagation des ondes selon un mode géométrique par un lancer de rayons. Dans sa version initiale [51], l’approche était relativement lente car basée sur le lancement de rayons depuis le récepteur (recherche des rayons illuminants). Plus tard, Seidel et al. ont introduit la prise en compte de la diffraction [54] dans le modèle de propagation en utilisant la théorie unifiée de la diffraction (UTD). Souvent repris par la suite, la diffraction a pour inconvénient d’alourdir fortement les temps de calcul.

Depuis ces articles fondateurs, l’ensemble des publications liées au domaine s’est focalisé sur 3 points durs :

– l’amélioration de la précision, – l’optimisation du temps de calcul, – la validation expérimentale.

Avant de détailler ces différents points, il convient de préciser qu’il existe 2 grandes approches pour le calcul de couverture à base de tracé de rayon :

1. la technique des images ou encore lancer de rayon point à point [58, 60, 81, 67, 79, 82]

qui consiste à calculer successivement des sources équivalentes,

2. la technique de lancer de rayons au sens classique, qui consiste à lancer les rayons depuis l’émetteur [51, 53, 54, 66], jusqu’à ce que le rayon sorte de la zone de simulation ou atteigne un niveau de puissance inférieur à un seuil.

Il faut enfin considérer 2 cas bien différents, suivant que l’on cherche à calculer une cou- verture radio (grand nombre de récepteurs) ou à calculer le signal reçu en quelques points

CHAPITRE 2. OUTILS ET MÉTHODES

mais avec une grande précision. Pour la planification, nous nous intéressons uniquement au premier cas.

La précision est fortement dépendante de deux grandes caractéristiques : – la résolution angulaire choisie,

– le nombre de réflexions ou diffractions prises en compte avant arrêt de chaque rayon [66, 70, 82].

Plus la précision est importante, plus le temps de calcul augmente exponentiellement.

La méthode de lancer de rayons est celle qui a la plus faible complexité [66, 65], en particulier lorsque le nombre de réflexions à prendre en compte diminue. Par contre, plusieurs artefacts de calcul sont générés du fait de la discrétisation angulaire de la source.

En effet, plus on s’éloigne de la source, plus la distance entre 2 raies augmente. Pour réduire ces artefacts, Fortune et al. [66] ont proposé le principe de séparation de rayon (ray-splitting) qui en contrepartie augmente considérablement le temps de calcul. L’autre possibilité consiste à lancer des faisceaux ou tubes [70] de façon à réduire l’effet de l’échan- tillonnage angulaire.

D’un autre côté, Suzuki and Mohan [73, 75] ont proposé la notion de Frustum. Il s’agit d’un polyèdre dont les faces sont limitées par les obstacles. Néanmoins, cette technique s’approche alors très exactement de la technique image. En effet le Frustrum correspon- dant à la zone d’illumination de l’onde réfléchie correspond exactement à la définition de la zone d’illumination de la source image. L’auteur ne donne pas suffisamment d’éléments d’implémentation pour évaluer les différences avec une approche image. Cette méthode s’assimile donc pleinement à la méthode des images, et sa complexité est identique. La différence tient dans le fait que cette approche est directement adaptée au calcul de cou- verture radio (l’ensemble des points illuminé par une source image est défini).

Notons que le premier facteur limitant de cette approche est l’augmentation exponen- tielle de sa complexité avec le nombre de réflexions à prendre en compte. Pour limiter les temps de calcul, Rajkumar et al. [58] proposent de construire un arbre de partitionnement de l’espace tenant compte des objets réduisant ainsi la complexité des algorithmes de test d’intersection. De façon similaire Zhong [77] ou Imai [76] proposent de partitionner l’espace en blocs équivalents à des pièces pour le premier, et simplement à des zones régulières de l’espace pour le deuxième. Ceci permet d’accélerer la recherche d’intersections entre les murs et le rayon incident.

La méthode des images quant à elle ne génère que peu d’artefacts [66, 67, 79, 82], mais nécessite en contrepartie un temps de calcul qui augmente exponentiellement avec le nombre de réflexions que l’on veut considérer. Les travaux les plus récents ont été surtout dédiés à la réduction du temps de calcul, et en particulier sur la réduction du temps de calcul dédié à la recherche des chemins [79, 83, 84].

Agelet et al.[79] proposent de découper l’environnement en boites (bounding boxes) contenant chacune le même nombre d’obstacles, ou un nombre d’obstacles limité. D’autre part, ils séparent le traitement en 2 parties : la première consistant à calculer un arbre de visibilité (visibility tree), et la deuxième à l’utiliser pour calculer les résultats souhaités.

Sans donner beaucoup de détails, Athanasiadou et al. [82]font de même, tout en réduisant encore le temps de calcul en utilisant une approche multi-plans 2D plutôt qu’une vraie approche 3D.

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Les approches les plus récentes cherchent à réduire le temps de calcul sans perdre en précision pour les microcellules en environnement urbain [84, 78, 85]. Après une première illumination, Pousset et al. [84] proposent de classer les points de réception en zones à effet majoritaire : la zone en LOS, la zone de réflexion, les zones de diffraction. Ceci permet de négliger les effets secondaires dans les zones déjà illuminées. Chen et al. [78] proposent la mise en oeuvre d’approches progressives en sélectionnant de façon intelligente les rayons à lancer prioritairement et dans [85] en exploitant une architecture parallèle sur réseau d’ordinateurs.

Wolfe et al. ont proposé le concept de chemin dominant [71]. Leur approche repose tout d’abord sur la définition de pièces et d’arêtes séparant les pièces. Chaque pièce est bordée par un ensemble d’arête, et les pièces sont toujours connectées par une arête. Ils construisent ensuite un arbre de connectivité en partant de la pièce contenant la source.

Le premier niveau de l’arbre est constitué des arêtes associées à cette pièce, puis le niveau suivant des pièces voisines, etc... Le processus est réitéré, sauf que chaque branche est arrêtée si une arête a déjà été utilisée. Puis finalement leurs travaux ultérieurs reposent sur l’idée de ne garder que le chemin le plus fort [72, 68, 69].

Enfin, Hassan-Ali et al. [65] proposent également une approche originale que les auteurs qualifient d’approche statistique, mais qui se classe finalement plus dans les approches dé- terministes qu’empiriques. Ils définissent une zone elliptique d’influence entre l’émetteur et le récepteur qui n’est pas sans rappeler l’ellipsoïde de Fresnel. L’environnement est dé- coupé lui en zones rectangulaires, ou pièces. Un ensemble de paramètres de propagation est associé à chaque mur et à chaque pièce. Enfin, l’atténuation moyenne par chemin est calculée à partir de l’intersection entre l’ellipsoïde et les différentes pièces. La complexité de calcul d’une telle approche repose sur le calcul de l’ellipsoïde et de l’intersection avec les pièces pour chaque couple émetteur - récepteur. Bien que supérieur, elle évolue linéaire- ment en fonction du nombre de récepteurs, comme dans les approches empiriques, tout en ayant tenu compte statistiquement de la propagation dans les blocs de l’ellipsoïde. Cette approche et celle de Wolfe sont toutes les deux à l’interface entre les approches empiriques et déterministes.

L’approche par tracé de rayon (lancé ou images) est donc probablement la plus po- pulaire parmi les méthodes déterministes. En résumé, la complexité de la technique des images peut être approchée par N_r·n^r_w [66, 75, 65] où n_w est le nombre d’objets et r le nombre de réflexions (ou diffractions) successives autorisée. Ce résultat correspond en fait à une approche de force brute, où le processus de calcul est lancé successivement pour chaque point de réception possible. Lorsque l’on calcule une couverture complète, on peut considérer que la puissance reçue est calculée pour tous les points illuminés par une source.

Fortune et al [66] estiment à √

N_r le nombre de points de réception moyen par zone illu- minée. Enfin, avec une bonne organisation des données et la mise en oeuvre d’un arbre de visibilité approprié, le nombre total de mursnw peut être remplacé par mw correspondant au nombre moyens d’objets illuminés par une source image. Fortune et al. [66] estiment empiriquement cette valeur à m_w =√n_w. Finalement la complexité, après optimisation, peut être donnée par :p

Nr·n^r_w. Concernant l’approche de lancé de rayons, la complexité dépend en premier lieu du nombre de rayons lancés k_r. A chaque réflexion, un rayon est divisé en 2 : le rayon réfléchi, et le rayon transmis. Cela conduit à un nombre total de rayons [65] K_r = k_r·2^r+1−1. Pour chaque rayon, 2 types de calcul sont à effectuer : la recherche des intersections entre 1 rayon et les objets de l’environnement, et le calcul de l’atténuation pour chaque point de réception situé sur la trajectoire. Tous les auteurs pré- sentant cette méthode négligent cette seconde charge de calcul car il s’avère que la charge principale de calcul est plutôt liée à la recherche d’intersection. Pour une approche non

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optimisée, on trouve une complexité de l’ordre de : Kr·(nw+nr),nr étant le nombre de récepteurs moyen par rayon. Si l’on optimise la structure des données encore une fois par blocs, on peut réduire considérablement le nombre d’objet à tester. Approximons encore une fois le nombre d’objets moyen testé par m_w = √n_w, et on obtient une complexité donnée par :k_r·(2^r+1−1)·√n_r+n_r·C_{P L}, oùC_{P L}est la complexité de calcul du pathloss.

Si l’on veut tenir compte de l’angle d’incidence sur chaque mur, d’effets de diffraction, et de l’affaiblissement logarithmique, le nombre d’opérations élémentaires est de l’ordre de la dizaine. Pour limiter les artefacts géométriques, le splitting des rayons ne modifie pas fondamentalement cette estimation. En effet, en 2D, le splitting revient aussi à séparer une raie en 2. Il faut simplement remplacer r dans l’expression ci-dessus par le nombre r^′ contenant le nombre de splitting et le nombre de réflexions autorisés.

Application des méthodes déterministes à la planification. Stamatelos and Ephre- mides [24], Cheung et Murch [26], Sherali et al. [25] et Anderson et McGeehan [33] ex- ploitent un moteur de lancer de rayon en deux dimensions. Stamatelos et Ephremides utilisent soit des antennes omnidirectionnelles, soit des antennes directives dans leur pré- sentation du problème de planification. Ils considèrent que les prédictions d’un modèle empirique pour la prédiction de couverture d’antennes omnidirectionnelles sont suffisantes, par contre ils ont besoin d’un moteur de ray tracing 2D pour calculer la couverture des antennes directives.

Pour réduire la complexité du problème, Frühwirt et al. [34] etFortune et al. [23] ont choisi de limiter le nombre de rayons pour obtenir des cartes de couverture en 3 dimensions.

Les travaux récents de Kamenetsky et Unbehaun [27], He et al. [28] et Wertz et al.

[42] ont pu accéder à une capacité de calcul leur permettant d’exploiter des moteurs de lancer de rayons en 3 dimensions performants. He et al.[28] et Wertz et al.[42] exploitent leurs propres modèles de prédiction décrits respectivement dans [28] et [86]. Ces modèles font appel à des techniques de beam tracing, où ce ne sont plus des rayons mais des fais- ceaux coniques qui sont lancés. Pour pouvoir réaliser toutes les simulations de couverture nécessaires à la planification de réseau, ils ont dû utiliser une grappe de calculateurs en parallèle.