Isabel Nunes
Professora do 2.º Ciclo, Colégio Conciliar de Maria Imaculada João Pedro da Ponte
Professor Catedrático no Instituto de Educação, Universidade de Lisboa
resumo
No presente estudo procuramos saber de que modo, numa discussão matemática, as ações do professor podem contribuir para o desenvolvimento da capacidade de raciocínio matemático em alunos do 5.º ano. Numa abordagem qualitativa, com observação participante, a investigadora/ primeira autora é o instrumento principal de recolha de dados, nomeadamente de documentos escritos produzidos pelos alunos, registos áudio e vídeo das aulas e notas de campo. Participaram no estudo 25 alunos de uma turma do 5.º ano e a respetiva professora de Matemática/primeira autora. Os resultados sugerem que a prática de discussões coletivas, tendo por base tarefas de carácter exploratório, permite que os alunos desenvolvam a sua capacidade de raciocínio mate- mático, sendo capazes de elaborar justificações, baseados em conhecimentos matemáticos anterio- res e propriedades conhecidas, bem como de efetuar generalizações. Para tal é importante que a professora desenvolva ações de apoiar e guiar, promovendo a contínua participação dos alunos, conduzindo-os discreta ou explicitamente através de perguntas. Palavras-chave: Discussão coletiva, raciocínio matemático, ações do professor. AbstrAct In the present study we strive to know how, in a mathematical discussion, the actions of the tea- cher may contribute to the development of 2nd cycle students’ mathematical reasoning ability. In a qualitative approach, with participant observation, the researcher/first author is the main data collection instrument, supported by written documents produced by the students, audio and video records of lessons and field notes. Twenty-five students from a group of the 5th year of schooling participated in the study and the respective mathematics teacher/first author. The results suggests that the practice of collective discussions, based on exploratory tasks, allows students to develop their mathematical reasoning ability, being able to produce justifications, based on previous ma- thematical knowledge and known properties, as well as to make generalizations. It is important for the teacher to develop supporting and guiding actions, promoting the students’ continuous par- ticipation, leading them through subtle or explicit questions.
Keywords: collective discussion, mathematical reasoning, teacher actions. ——————
introdução
Procurar saber como os alunos pensam constitui um dos aspetos mais interessantes do trabalho do professor. Fazê-lo é essencial para planear o trabalho face aos objetivos definidos, bem como para planear a aplicação de tarefas, antecipar possíveis respostas e identificar participações que venham a enriquecer a discussão dentro da sala de aula. Um ensino efetivo exige um ambiente de apren- dizagem desafiante e apoiado (NCTM, 2007), que permita aos alunos aprender Matemática com compreensão e desenvolver o seu raciocínio. A prática de uma abordagem exploratória cria opor- tunidades para que os alunos pensem, questionem, resolvam problemas, discutam as suas ideias e soluções, exigindo que o professor orquestre toda esta dinâmica. Neste artigo a atenção está centrada no momento de discussão coletiva, momento essencial de uma aula de cunho exploratório. O nosso objetivo é saber de que modo, numa discussão matemática, as ações do professor podem contribuir para o desenvolvimento da capacidade de raciocínio matemático em alunos do 5.º ano, apresentan- do e justificando as suas estratégias de resolução e realizando generalizações.
83 82 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 QuAdro conceptuAL
O raciocínio matemático não se desenvolve pela mera memorização de conteúdos, ou pela realização de exercícios rotineiros em elevada quantidade, mas sim, como referem Ponte, Mata-Pereira e Hen- riques (2012), através do envolvimento dos alunos em tarefas que exijam e estimulem o raciocínio. Estes autores identificam o raciocínio como um conjunto de processos que envolvem a formulação de questões, a formulação e teste de conjeturas e a realização de justificações, e salientam a impor- tância das generalizações, justificações e representações como processos fundamentais de raciocínio, relacionando-os com os raciocínios indutivo e dedutivo. Salientam ainda que o raciocínio indutivo, desenvolvido do particular para o geral, está mais presente na fase de estabelecer conjeturas e ge- neralizações, e o raciocínio dedutivo, desenvolvido do geral para o particular, sendo mais formal, está mais relacionado com os processos de justificação, com as demonstrações e a lógica, sendo fun- damental na validação de conhecimento. Raciocinar matematicamente é assim usar a informação existente para chegar a novas conclusões, podendo para tal fazer inferências de natureza dedutiva ou indutiva (Mata-Pereira & Ponte, 2013).
Lannin, Ellis e Eliott (2011), entendem que o raciocínio se desenvolve a partir da exploração de tare- fas que permitam ao aluno: (i) estabelecer conjeturas; (ii) identificar aspetos comuns entre casos e estender raciocínios (generalizar); (iii) clarificar significados de termos, símbolos e representações; (iv) apresentar argumentos lógicos baseados em ideias já entendidas; (v) demonstrar que uma de- terminada afirmação particular é falsa; e (vi) avaliar a validade dos argumentos. Os alunos, desde os primeiros anos de escolaridade, devem ser incentivados a apresentar explicações informais sobre as suas ideias matemáticas, a fazer observações indutivas, a justificar e, mais tarde, a apresentar deduções formais para os seus raciocínios, sendo para tal necessário que sejam aplicadas tarefas em sala de aula que permitam este tipo de experiências, aprendizagens e evoluções. Essas tarefas devem envolver os alunos nas atividades, permitindo a aprendizagem da Matemática com significado para o aluno. Reconhecendo que o raciocínio é o fundamento da competência matemática, cabe aos pro- fessores seguir abordagens que possam criar hábitos de raciocínio nos seus alunos (NCTM, 2010). Essas abordagens passam por: propor tarefas que envolvam os alunos na sua exploração e que lhes permitam descobrir as coisas por si mesmos e evoluir nos diferentes raciocínios; aplicar boas téc- nicas de questionamento, pedindo nomeadamente aos alunos para traduzir o problema pelas suas próprias palavras ou pressionando os alunos para que pensem; dar tempo de espera adequado aos alunos para que possam analisar o problema de forma intuitiva, explorar ainda mais o problema usando modelos; resistir à tentação de dizer aos alunos as respostas ou de as sugerir; e fazer per- guntas e esperar que os alunos comuniquem o seu raciocínio oralmente e por escrito. É necessário oferecer oportunidades para os alunos se envolverem na tarefa e acreditar que podem investigar e obter relações e conceitos matemáticos, estabelecendo um clima de sala de aula em que os alunos se sintam confortáveis compartilhando os seus argumentos matemáticos e criticando os argumentos dos outros.
Saber como orientar uma discussão coletiva, tornando-a produtiva, é assim uma tarefa essencial na prática letiva do professor, constituindo um interessante desafio profissional. Para auxiliar o profes- sor na sua prática há vários modelos que podem ser seguidos, sendo que estes não indicam o que o professor deve fazer, mas alertam para o que o professor pode fazer. Stein, Engle, Smith e Hughes (2008) sugerem cinco práticas a observar para a preparação e realização de discussões matemáticas: antecipar, monitorizar, selecionar, sequenciar e estabelecer conexões entre as respostas dos alunos, salientando a necessidade de o professor se preparar antecipadamente para a discussão, sendo capaz de, durante esta, equilibrar os conhecimentos e os processos matemáticos que vão surgindo durante a apresentação das ideias dos alunos.
Um modelo de análise das ações do professor utilizado por Ponte, Mata-Pereira e Quaresma (2013) apresenta quatro ações que podem surgir de diferentes formas na condução de discussões matemá- ticas: convidar, informar/sugerir, apoiar/guiar e desafiar (Figura 1). A ação de convidar pretende envolver o aluno na discussão, chamá-lo à participação. As ações de informar/sugerir implicam que seja o professor a ter “a voz principal” uma vez que é ele que introduz informação, proporciona argu- mentos e valida as respostas apresentadas. As ações de apoiar/guiar promovem a contínua partici- pação do aluno, conduzindo-o, mais discreta ou mais explicitamente, através de perguntas ou outras formas de intervenção. Na ação de desafiar o professor coloca o aluno no papel de ser ele a avançar com novas informações, apresentando argumentos que possam envolver representações, interpreta- ção de enunciados, estabelecimento de conexões, raciocinando e avaliando as estratégias.
figura 1 Um modelo de análise das ações do professor (Ponte, Mata-Pereira, & Quaresma, 2013, p. 59).
Nas diferentes ações o professor faz uso de questões. Ao fazer perguntas aos alunos, pode verifi- car dificuldades ao nível da compreensão dos conceitos e dos processos matemáticos que os alunos possam evidenciar e assim ajudá-los a pensar, motivando-os para o contínuo trabalho na tarefa. É necessário colocar questões que ajudem o aluno a raciocinar, explicando o significado de concei- tos, estabelecendo conjeturas, propondo estratégias e soluções (Ponte, Boavida, Graça, & Abrantes, 1997) e que interajam uns com os outros e com o professor.
metodoLogiA
O presente artigo tem por base um estudo-piloto, que integra uma investigação realizada pela pri- meira autora no âmbito do mestrado em Didática da Matemática. A investigação segue uma abor- dagem qualitativa, de cunho interpretativo, com observação participante (Bogdan & Biklen, 1994), sendo a investigadora/primeira autora o instrumento principal de recolha de dados, apoiada por do- cumentos escritos produzidos pelos alunos, registos áudio e vídeo gravados das aulas e notas de cam- po. A metodologia é de investigação baseada em design (IBD) orientada por uma conjetura (Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer & Schaube, 2003), centrando-se no estudo dos processos de aprendizagem dos alunos, na atuação da professora, e na análise da forma de os promover em contextos naturais. A conjetura que orienta a investigação indica que os alunos desenvolvem melhor o seu raciocínio matemático se participarem em discussões coletivas no âmbito de tarefas de carácter exploratório e forem conduzidos pelo professor a formular questões, a formular e testar conjeturas, a justificar e a generalizar. A metodologia envolve ciclos de investigação, com fases de preparação, realização e análise retrospetiva da experiência.
Apresentamos diversos segmentos da discussão de uma tarefa cujo objetivo principal é levar os alunos do 5.º ano a comparar e ordenar números racionais representados por frações com o mesmo numerador ou com o mesmo denominador. Participaram no estu- do 25 alunos de uma turma do 5.º ano de um colégio de ensino particular e cooperativo e a respetiva professora de Matemática, que é também a investigadora. A aula foi registada em vídeo e em áudio, sendo as discussões coletivas integralmente transcritas. A análise de dados começou pela identifica- ção e seleção dos segmentos significativos na discussão da resolução da tarefa, procurando identifi- car raciocínios dos alunos (estratégias usadas, justificações e generalizações realizadas) e ações da professora, considerando o modelo apresentado na figura 1.
A tArefA
A tarefa “O todo e as partes”, de carácter exploratório, tinha como principal objetivo levar os alunos a comparar e ordenar números racionais representados por frações com o mesmo numerador ou com o mesmo denominador, generalizando regras para esse efeito. Para além deste objetivo pretendia- -se que os alunos, ainda que de forma simples, durante o trabalho de grupo, e durante a discussão coletiva: (i) clarificassem significados de termos, símbolos e representações; (ii) apresentassem ar- gumentos lógicos baseados em ideias já entendidas; (iii) estabelecessem conjeturas; (iv) avaliassem a validade dos argumentos; (v) identificassem aspetos comuns entre casos e estendessem raciocínios. A tarefa foi estruturada com 5 grupos de questões com grau crescente de desafio, pretendendo-se que guiassem o trabalho dos alunos, sendo a intervenção da professora menos explícita e o tra- balho autónomo dos alunos mais evidente. Foi proposto aos alunos que resolvessem a tarefa em
85 84 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 grupo, com momentos de trabalho individual devidamente assinalados. Cada aluno recebeu uma
ficha orientadora do seu trabalho e do trabalho de grupo. Os alunos conheciam os números racionais nas formas de números inteiros, frações e dízimas, sabiam representar graficamente frações (pintar numa representação a parte correspondente a uma determinada fração), adicionar e subtrair frações com o mesmo denominador, e pretendia-se que estendessem os seus conhecimentos à comparação e ordenação de números racionais representados por frações. Como recursos, para além de uma ficha de trabalho por aluno, foi distribuída uma folha dividida em doze partes iguais e um envelope com uma folha equivalente antecipadamente recortada em doze partes iguais (Figura 2).
figura 2 Um aspeto do material usado na tarefa.
No presente artigo a tarefa é apresentada de modo faseado, nos diferentes segmentos analisados. A professora apresentou a tarefa, esclarecendo que implicaria momentos de trabalho individual, se- guidos de momentos de trabalho de grupo, no qual todos os elementos deveriam partilhar a forma como pensaram e que, após este trabalho, haveria um momento de discussão coletiva, em que os grupos apresentariam as suas respostas e estratégias. Distribuiu uma ficha de trabalho a cada aluno e uma folha dividida em doze partes iguais e um envelope a cada grupo. Fez a leitura em voz alta da primeira questão, procurando certificar-se que os alunos compreendiam o que era pedido. Lembrou que deveriam ler com atenção as questões colocadas e apoiarem-se dentro de cada grupo. Durante a realização do trabalho individual e de grupo a professora circulou pela sala de aula, monitorizando o trabalho de cada um e esclarecendo dúvidas pontuais colocadas. Os alunos revelaram-se motivados e colaborantes na realização das tarefas propostas, tendo apresentado algumas dúvidas de inter- pretação dos procedimentos sugeridos na ficha e por essa razão chamavam a professora para obter esclarecimentos. Este trabalho decorreu durante cerca de 30 minutos, dando-se início à discussão coletiva. Tendo verificado uma uniformidade de respostas à primeira questão, a professora decidiu dar a palavra a um dos grupos que se tinha mostrado mais dinâmico durante o trabalho autónomo, procurando iniciar a discussão coletiva de uma forma ativa, promovendo a participação dos alunos.
segmento 1
Pretendia-se que os alunos identificassem que a folha se encontrava dividida em doze partes iguais e que cada uma dessas partes representava a fração
121 , reconhecendo que uma fração é uma parte de um todo e que o todo resulta da soma de frações iguais (Figura 3).
figura 3 Questão 1 da tarefa “O todo e as partes”
Uma aluna é convidada a partilhar com a turma a resposta do seu grupo:
Maria – Nós metemos que a folha se encontrava dividida em doze partes, as partes em que a folha foi dividida são iguais e a fração de cada uma das partes é um doze avos.
Professora (P) – Algum grupo chegou a uma resposta diferente…?… É importante que as partes sejam iguais?
Alunos (A) – Sim…
Rui – Porque se não, não poderia ser um doze avos… Tinha de ser equivalente, umas tinham de ser iguais às outras.
P – E uma fração é sempre uma representação…? Em que as partes são…? A – … Iguais.
(a professora apresenta uma situação de um chocolate que era dividido em quatro partes de diferentes tamanhos e analisa com os alunos que a distribuição dessas qua- tro partes por quatro pessoas não seria equitativa).
P- E porquê a fração um doze avos, Sofia?
Sofia – Porque representa uma parte das doze partes.
Após a apresentação da resposta do grupo de Maria a professora procura verificar se os restantes alunos aceitam a resposta apresentada e se compreendem essa mesma resposta, desafiando-os a comparar as suas respostas com a resposta apresentada e questionando os alunos a fim de perceber se todos reconheciam a fração como uma parte equitativa da unidade. Guiado pela questão, Rui apresenta uma justificação, e embora o seu discurso não seja muito claro, parece reconhecer que a unidade deve ser dividida em partes iguais para que a fração tenha um significado correto. Desafiada pela professora Sofia justifica claramente o significado da fração
121 .
segmento 2
Pretendia-se que os alunos escrevessem a fração correspondente ao número de cartões que cada um possuía, distribuídos na questão 2 (Figura 4), e que preenchessem uma tabela, orientadora das respostas.
87 86 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 Como os alunos já possuíam conhecimento dos conceitos de fração equivalente, fração irredutível e
máximo divisor comum, considerou-se pertinente explorar a escrita de frações na sua forma irredu- tível, verificando assim a consolidação de conteúdos lecionados anteriormente e contribuindo para a sua articulação.
Após o preenchimento da tabela com a participação de vários alunos, a turma é convidada a observar o seu conteúdo.
Professora - Ninguém mais pensou que poderia ser escrita outra fração? (vários de- dos no ar)
Joana– Simplificando a fração.
P- … Mas isso é o quê, simplificar a fração? Joana – É dividi-la.
P- Dividi-la como? Explica lá melhor.
Joana – Por exemplo, quatro doze avos, podemos dividir o quatro por dois e o doze por dois que vai dar dois sextos, que é equivalente a quatro doze avos.
Carlos – Dá por quatro… Porque quatro a dividir por quatro dá um e doze a dividir por quatro dá 3.
P- Nesse caso o quatro é o… O que é que o quatro é em relação ao quatro e ao doze? Maria- O máximo divisor comum.
P – … Vamos pegar no quatro doze avos e dividir pelo máximo divisor comum… Alunos- Um terço.
Luís – Porque quatro vezes três é igual a doze, não dá para simplificar mais.
Carlos – Ela é irredutível porque só dá para dividir por um e não se pode dividir por um.
Maria – Porque o um e o três são primos entre si.
Neste segmento da discussão é possível observar que os alunos apresentam argumentos válidos ba- seados em ideias já entendidas, enunciando procedimentos, como acontece com Joana que sugere a simplificação da fração “quatro doze avos” por 2, ou com o Carlos que sugere a divisão por 4, jus- tificando. Guiados pelas questões colocadas pela professora também outros alunos realizam várias justificações, como acontece com Luís, Carlos e Maria, verificando-se que as justificações acontecem de forma encadeada durante a discussão coletiva. Luís justifica a simplificação da fração “quatro doze avos” por quatro e conclui implicitamente que a fração é irredutível. Carlos avalia o argumento apresentado por Luís, apresentando também uma justificação. Maria implicitamente avalia e valida a resposta de Carlos e apresenta também uma justificação.
segmento 3
Após o preenchimento da tabela e após a escrita das frações na sua forma irredutível (Figura 5), os alunos são convidados a observar o que há de comum nos dois conjuntos de frações e a identificar a fração que representa o número maior e a fração que representa o número menor (Figura 6).
figura 5 Registo de Pedro, à questão 2.3.
figura 6 Questão 3 da tarefa “O todo e as partes”
P - Inês, o que é que vocês concluíram no vosso grupo?
Inês - Que o denominador era o que tinham em comum todas as frações. P- Ou seja, as frações têm o mesmo?
Alunos – … Denominador.
P- … O que é que estas têm em comum, Sofia? Sofia - É com o mesmo…
A- Numerador.
P- Qual das frações registadas na tabela representa o número maior?
Lara – Quatro doze avos … Chegámos a esta conclusão porque… (a aluna hesita e não responde).
P- Sabes, mas não consegues explicar?… Este menino tinha 4 cartões, este tinha três, este tinha dois… Este era quatro de doze, três de doze, um de doze, dois de doze (apontando na tabela). Então qual é que tem mais cartões?
A- O que tem quatro.
P-... E se tivéssemos desta forma? (apontando para o segundo conjunto de frações). Paulo – Um terço… Fica como… Se o bolo está dividido em três partes a maior parte é uma. O bolo está dividido em três. Se o dividimos e tirarmos uma, as partes são maiores do que as outras.
Os alunos identificam a fração que representa o número maior em cada um dos conjuntos de frações, no entanto têm dificuldade em justificar a sua resposta. Ao verificar que Lara não consegue explicar como o seu grupo pensou, e uma vez que nenhum aluno tomou a iniciativa de completar o raciocínio da colega, a professora entende haver alguma dificuldade e decide clarificar o conceito de fração parte/todo (…quatro de doze, três de doze, um de doze, dois de doze…). A intervenção da professora engloba várias ações, informando e guiando os alunos, que acabam por reconhecer que a fração “quatro doze avos” representa o maior número.
Relativamente ao segundo conjunto de frações, Paulo apresenta uma justificação pouco clara. Re- corre a uma representação de fração que compreende (“Um terço… Se o bolo está dividido em três partes a maior parte é uma”) e compara com as restantes frações . Quando justifi- ca e refere “Se o dividimos e tirarmos uma, as partes são maiores do que as outras” implici- tamente o aluno pretende dizer que uma de três partes é maior que uma de seis, de quatro ou de doze