equitativa
Beatriz Piedade
Escola Superior de Educação e Ciências Sociais Hélia Pinto
Escola Superior de Educação e Ciências Sociais do Instituto Politécnico de Leira
resumo
Neste artigo apresenta-se uma investigação que teve como objetivo analisar as representações dos alunos na resolução de uma tarefa de partilha equitativa, implementada antes de serem trabalha- dos os números racionais em sala de aula, com uma turma do 5.º ano do 2.º CEB. Estas resoluções foram organizadas em categorias de análise tendo em conta as representações dos alunos e por conseguinte os conhecimentos que evidenciam nas resoluções inseridas em cada uma das catego- rias. Deste modo, verificou-se a existência de dificuldades de representação, parecendo a maioria dos alunos não estar familiarizado com os números racionais, especialmente com a representação na forma de fração. Palavras-chave: números racionais, frações, resolução de problemas. ___________ introdução
O presente artigo emana de um estudo que surgiu com o intuito de analisar as representações uti- lizadas pelos alunos do 5.º ano do 2.º Ciclo do Ensino Básico numa tarefa de partilha equitativa. Dado que os números racionais têm tido uma presença fixa no currículo ao longo dos anos e o seu trabalho em sala de aula tem sido sujeito a alterações em consequência das alterações sofridas pelas orientações curriculares ao longo do tempo, é pertinente analisar os conhecimentos dos alunos a este nível no início de um novo ciclo do Ensino Básico, partindo da análise das representações por eles utilizadas.
Para esse efeito, foram analisadas resoluções de uma tarefa matemática resolvida pelos alunos em pequenos grupos através do estabelecimento de categorias com base nas representações utilizadas pelos mesmos. Para a contextualização dessa análise, apresenta-se uma breve referência ao lugar ocupado pelos números racionais no currículo de matemática, seguem-se as principais dificuldades dos alunos na aprendizagem dos números racionai e por último, as representações dos alunos na resolução de problemas. Posteriormente apresenta-se a metodologia adotada no estudo, a análise e discussão dos dados recolhidos e por fim, algumas considerações na sequência da referida análise.
os números rAcionAis no currÍcuLo de mAtemÁticA
O Programa de Matemática do Ensino Básico (PMEB) (ME, 2007) preconizava o início do trabalho com os números racionais não negativos, representados na forma de frações, nos primeiros anos de escolaridade. Assim, sugeria-se uma abordagem intuitiva, nos primeiros anos do 1.ºCEB, a partir “de situações de partilha equitativa e de divisão da unidade em partes iguais, recorrendo a modelos e à representação em forma de fracção nos casos mais simples” (p. 15). No final do 1.º CEB, reco- mendava um estudo mais aprofundado dos números racionais, passando-se à exploração da fração como operador, quociente e parte-todo. Enfatizava, ainda, as diferentes representações dos números racionais não negativos, bem como a reconstrução da unidade a partir das suas partes.
No 2.º CEB, o PMEB (ME, 2007) ditava a continuação deste trabalho numa complexificação cres- cente, surgindo a comparação e ordenação de números racionais representados de diferentes formas, a noção de fração equivalente e o trabalho das operações iniciadas no 1.º CEB, agora envolvendo números racionais representados de diferentes formas. Surgia também o uso dos números racionais como operador, quociente, relação parte-todo, medida e operador. Ao longo de todo o programa,
transparecia a importância do trabalho das capacidades de resolução de problemas, comunicação e raciocínio matemático dos alunos em correlação com o trabalho dos conteúdos programáticos, não sendo os números racionais uma exceção.
O Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico (MEC, 2013), atualmente em vigor, refere que o início do trabalho com os números racionais deve ter lugar no 2.º ano do 1.º CEB, com enfoque na divisão da unidade e na fração como medida. No 3.º ano surge a medição com fra- ções, a ordenação de frações com o mesmo denominador e com o mesmo numerador e a noção de fração equivalente. Dá-se enfoque às frações próprias e ao uso da reta numérica, a par de um traba- lho de adição e subtração de números racionais na forma de fração e a noção de fração decimal e sua transformação em numerais decimais. No 4.º ano, surge a simplificação de frações, a multiplicação e divisão de números racionais, bem como a sua representação na forma de dízimas. É no 5.º ano do 2.º CEB que recomenda o estudo dos numerais mistos e da fração irredutível e o retorno ao trabalho de todos os conteúdos e processos matemáticos trabalhados anteriormente, numa perspetiva de for- malização crescente da noção e operações com números racionais.
Compreende-se, portanto, que os números racionais têm tido uma presença constante e relevante no currículo nacional nos últimos anos, porém, a forma como é encarado o desenvolvimento do sentido de número racional tem sofrido manifestas alterações nas orientações curriculares. Na reali- dade, tanto o PMEB (ME, 2007) como o Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico (MEC, 2013) preconizam o início do estudo dos números racionais nos primeiros anos do 1.ºCEB, todavia as indicações presentes nestes documentos remetem para abordagens do número racional claramente distintas. Enquanto o PMEB (ME, 2007) vai ao encontro das orientações do National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) nos Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2008), ao recomendar a realização de uma primeira abordagem aos números racio- nais informal e de forma intuitiva no 2.º ano de escolaridade, o Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico (MEC, 2013) apresenta um trabalho mais formal dos números racio- nais. Aliás, o documento programático atualmente em vigor parece dar mais importância ao traba- lho formal da rede concetual dos números racionais, chegando a indicar a formalização das quatro operações essenciais (adição, subtração, multiplicação e divisão) com números racionais no 1.º CEB. No entanto, a ênfase dada ao trabalho com as diferentes representações dos números racionais nas orientações curriculares de 2007 não é visível nas orientações de 2013.
As principAis dificuLdAdes dos ALunos nA AprendizAgem dos números rAcionAis
A respeito das dificuldades dos alunos na aprendizagem dos números racionais, Post, Behr e Lesh (1986) chegam a afirmar que os conceitos associados ao desenvolvimento do sentido de número ra- cional são dos mais complexos do currículo escolar e das ideias matemáticas mais importantes com que as crianças se deparam nos primeiros anos de escolaridade. Como tal, os autores referem que muitos alunos têm dificuldades na aprendizagem dos números racionais.
Focando as representações dos números racionais, para além da compreensão das suas múltiplas representações, a representação na forma de fração origina dificuldades diversas nos alunos. A este respeito, Monteiro e Pinto (2005) referem que as dificuldades podem derivar do facto de as frações serem constituídas por dois números, surgindo, consequentemente, erros de cálculo com frações. Por sua vez, a representação na forma de numerais decimais pode suscitar, também, dificuldades. Por exemplo, “é vulgar encontrar alunos a referirem que 1, 345 é maior que 1, 7 dando como justi- ficação o facto do primeiro ter “mais números” que o segundo, ou então porque 345 é maior que 7” (idem, ibidem). Por outro lado, alguns alunos consideram que entre 0,1 e 0,2 não existem números racionais e que “um numeral decimal representa dois números inteiros separados por uma vírgula” (Monteiro & Pinto, 2007, p. 11).
Estas ideias dos alunos relacionam-se com a dificuldade na mudança concetual que se verifica na passagem dos números inteiros para os números fracionários (Monteiro & Pinto, 2005) e com a den- sidade dos números racionais (Monteiro & Pinto, 2007). Aliás, a investigação tem vindo a mostrar que os alunos manifestam grandes dificuldades na transição do conjunto dos números inteiros para o conjunto dos racionais, especialmente no conjunto dos números fracionários (Pinto, 2011), mobi- lizando os conhecimentos relativos aos números inteiros na interpretação e operação com números racionais.
375 374 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 racionais “prende-se com a conceptualização da unidade” (p. 94). As autoras referem que é comum
que crianças que não tenham desenvolvido o conceito de unidade comparem duas frações sem terem em conta a unidade de referência, dizendo, por exemplo, que 1/3 de 9 rebuçados representa uma quantidade menor do que 1/2 de 6 rebuçados.
A relação entre a representação de números racionais na forma de fração e na forma de numeral decimal e a noção de número racional enquanto número em si mostra não estar compreendida pelos alunos quando estes referem que, por exemplo, 1/5=1,5 (Monteiro & Pinto, 2005; Monteiro & Pinto, 2007). A respeito da origem destas dificuldades, a investigação identifica diversas causas, entre as quais: (i) a existência de períodos de tempo maiores para o treino de procedimentos do que para o desenvolvimento de conceitos; (ii.) a desvalorização das representações informais das crianças na resolução de problemas; (iii.) não ser dada ênfase à diferenciação na representação de números ra- cionais inteiros e não inteiros e (iv.) as orientações curriculares apresentarem os números racionais “como algo que pode ser dado por definição” (Moss & Case, 1999, citado por Monteiro e Pinto, (2005,
p. 90)).
Por conseguinte, as dificuldades dos alunos, que podem advir das causas anteriormente enunciadas, não lhes permitem desenvolver o sentido de número racional, o que de acordo com Monteiro e Pinto (2005) os leva a operar com símbolos cujo significado não compreendem.
representAções dos ALunos nA resoLução de probLemAs
Boavida et al. (2008) consideram que resolver um problema implica que o aluno o compreenda e traduza essa informação sob a forma de linguagem matemática para que, depois, possa “efectuar os procedimentos necessários e verificar se a resposta obtida é plausível” (p. 22). Por sua vez, Ponte, Quaresma, Mata-Pereira e Batista (2015) referem que as representações e estratégias utilizadas pe- los alunos na resolução de problemas são as formas através das quais o professor pode tomar conhe- cimento da sua forma de pensar e, portanto, percecionar as suas dificuldades.
Para a compreensão do pensamento dos alunos associado às estratégias por estes mobilizadas, im- porta ter em conta as representações por eles utilizadas. A este nível podemos agrupar os diferentes tipos de representações matemáticas em representações ativas, representações icónicas e represen- tações simbólicas (Bruner, 1962, citado por Boavida et al., (2008)). As primeiras, representações ati- vas, são aquelas que estão associadas a uma ação, o que implica, portanto, a manipulação de objetos. As segundas, as representações icónicas, baseiam-se em representações visuais, como o recurso a esquemas, figuras, desenhos ou diagramas para a representação de conceitos ou procedimentos. Por fim, as representações simbólicas, consistem no recurso a linguagem simbólica, que pode correspon- der a símbolos matemáticos ou a outras formas de linguagem “que envolvem um conjunto de regras fundamentais” (Boavida et al., 2008, p. 71).
Neste contexto é crucial ter em conta a diversidade de tipos de tarefas que podem ser realizadas em sala de aula. De salientar, a importância das tarefas exploratórias na introdução de conceitos, uma vez que para a sua resolução “os alunos têm que mobilizar os seus conhecimentos intuitivos” (Ponte, 2005, p. 9), em vez de trabalharem formalmente mecanismos. Importa, ainda, que apresentem um contexto real, significativo para os alunos, já que, conforme salienta Ponte (2005), este confere à tarefa potencial para a sua modelação.
metodoLogiA de inVestigAção
Este estudo insere-se no paradigma interpretativo e segue uma abordagem essencialmente qualita- tiva, dado que se pretendeu compreender fenómenos e significados na perspetiva dos sujeitos inves- tigados (Coutinho, 2011). Realizou-se com uma turma de 27 alunos do 5.º ano do 2.º CEB de uma escola do centro do país, no âmbito da Unidade Curricular Prática Pedagógica de Matemática e das Ciências Naturais no 2.º CEB I.
Para atingir o objetivo do estudo, analisaram-se as produções dos alunos na exploração de uma tare- fa na aula em que se iniciou o trabalho dos números racionais não negativos no referido ano de esco- laridade. A tarefa foi resolvida em díades, tendo existido uma tríade, e posteriormente foi explorada em grande grupo, num contexto de ensino exploratório da matemática. Antes da implementação da tarefa não houve qualquer referência ou trabalho com os números racionais em sala de aula. A aula em que esta tarefa foi implementada foi planeada e lecionada pela primeira autora deste artigo, que adaptou a tarefa das propostas por Monteiro e Pinto (2007) na brochura Desenvolvendo o sentido
do número racional.
Os grupos de alunos resolveram a tarefa numa folha comum ao grupo, que após a discussão das dife- rentes resoluções apresentadas pelos diferentes grupos em sala de aula, foi recolhida pela professora investigadora. Deste modo, a recolha de dados teve por base as referidas produções dos diferentes grupos. Posteriormente recorreu-se à análise de conteúdo para analisar as produções dos alunos tendo em conta as seguintes categorias de análise: (i) resoluções com recurso a representações sim- bólicas e (ii) resoluções com recurso a representações simbólicas e icónicas, que emergiram dos dados recolhidos. Por esta via, procurou-se analisar as representações utilizadas pelos alunos na resolução de uma tarefa de partilha equitativa, tendo-se cruzado estes dados com as notas de campo da professora.
tArefA “pArtiLhAndo doces”
A tarefa resolvida pelos alunos foi a tarefa “Partilhando doces”, constituída por 2 questões (Figura 1). Na primeira, os alunos teriam que determinar que quantidade de chocolate seria atribuída a cada sobrinho num contexto de partilha equitativa, enquanto na questão seguinte eram solicitados a com- pararem a porção de chocolate atribuída a cada sobrinho com a unidade de referência.
figura 1. Enunciado da tarefa “Partilhando doces”
As resoLuções dos ALunos
Ao analisar as produções dos alunos para a resolução da tarefa, verificou-se que 5 dos 13 grupos de alunos recorreram apenas a representações simbólicas para a resolução da primeira questão da tare- fa. Desses, 4 recorreram aos numerais decimais para representar a quantidade de chocolate entregue a cada sobrinho (Figura 2), tendo recorrido ao algoritmo da divisão como estratégia de resolução do problema em questão.
figura 2. Produção dos alunos com recurso à divisão e representação decimal
Todavia, na sua resposta, um destes grupos de alunos referiu que cada sobrinho receberia “1,2 parte de um chocolate” parecendo não terem o entendimento de que 1,2 representa, impreterivelmente, mais do que um chocolate (Figura 3).
377 376 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017
figura 3. Produção dos alunos com recurso à divisão e representação decimal, mas com erro na referência à unidade
O outro grupo de alunos que recorreu a representações simbólicas para representar a quantidade de chocolate entregue a cada sobrinho, apresentou o seu raciocínio através de um texto no qual referiu que dividiu todos os chocolates em 5 pedaços iguais e, depois, dividiu o total de pedaços, 30, por 5, o número de sobrinhos, concluindo que cada sobrinho recebeu 6 pedaços de chocolate, mas não refe- rindo que se tratava de 6 pedaços de 1/5 (Figura 4).
figura 4. Produção dos alunos com recurso à divisão, mas sem explicitação da quantidade envolvida
Na resolução da segunda questão da tarefa, em que se pedia aos alunos que averiguassem se cada sobrinho recebeu mais ou menos do que um chocolate, estes 5 grupos apresentaram uma resposta correta. Assim, os 4 grupos que usaram a representação em numeral decimal, responderam que cada sobrinho recebeu mais do que um chocolate, referindo que cada sobrinho recebeu 1 chocolate mais 0,2, pelo que parecem compreender que 0,2 corresponde a uma parte de outro chocolate. Assim sendo, mesmo o grupo que na questão anterior parecia não percecionar que 1,2 representaria mais do que um chocolate, apresentou uma resposta correta a esta questão que envolvia a comparação da porção de chocolate com a unidade.
Também o grupo de alunos que apenas operou com pedaços na primeira questão da tarefa apresen- tou uma resposta correta à segunda questão, afirmando que cada sobrinho recebeu mais do que um chocolate, apesar de continuarem a referir-se a pedaços (Figura 5).
figura 5. Produção dos alunos que responderam com recurso à linguagem “pedaços”
No entanto, esses alunos referem-se a 1 pedaço de 5 iguais, evidenciando conhecimento intuitivo, que pode ter sido promovido pelo contexto real da tarefa, mas verifica-se uma desconexão com a representação simbólica, ao referirem que “a isto chama-se 30/6”, que de acordo com dados da in- vestigação (e.g. Moss & Case, 1999, citado por Monteiro e Pinto, (2005)) pode ser consequência de um entendimento dos números racionais como algo que pode ser dado por definição.
Deste modo, verifica-se que, de entre os grupos de alunos que recorreram apenas a representações simbólicas para a resolução da primeira questão da tarefa, nenhum recorreu às frações para repre- sentarem as quantidades envolvidas, o que sugere que não estavam familiarizados com as frações. Dos 13 grupos de alunos, os restantes 8 grupos recorreram a representações icónicas e simbólicas nas suas produções para responderem à primeira questão da tarefa. Ao analisar essas produções
verifica-se que 7 desses grupos optaram por atribuir um chocolate a cada sobrinho e dividir o restan- te em 5 partes iguais. No entanto, apenas 4 destes grupos recorreram às frações para representarem as quantidades envolvidas, sendo que apenas um grupo recorreu à fração imprópria 6/5 (Figura 6). Os outros 3 grupos referiram que “cada sobrinho fica com uma tablete de chocolate e mais 1/5 de uma tablete”.
figura 6. Produção com recurso às frações para representar as quantidades envolvidas
Ainda dos 7 grupos referidos, 3 grupos recorreram à representação em numeral decimal para repre- sentarem as quantidades envolvidas. Todavia, 2 destes grupos atribuíram a cada sobrinho um cho- colate inteiro e, depois, dividiram o chocolate restante em 5 partes iguais, recorrendo à divisão para determinarem a quantidade exata de 1 chocolate por 5 sobrinhos e concluírem que cada sobrinho comeu 1 chocolate e 0,2 de outro. (Figura 7).
figura 7. Produção com recurso aos numerais decimais para representar as quantidades envolvidas
O outro grupo, apesar de ter usado a mesma estratégia que os dois grupos anteriores, apresentou um numeral decimal que não corresponde à quantidade de chocolate entregue a cada sobrinho, ou seja, 1,5 (Figura 8).
figura 8. Produção com mal-entendido entre 1/5 e 1,5
A produção sugere que os alunos consideraram que a divisão de um chocolate em cinco partes iguais corresponderia a 0,5 desse chocolate. Por outro lado, a modelação que fazem da tarefa sugere a di- visão de um chocolate em cinco partes iguais e a atribuição de 1,5 desse chocolate a cada sobrinho, parecendo haver o mal-entendido de que 1/5 = 1,5. De acordo com Monteiro e Pinto (2007) este mal-entendido mostra que a noção de número racional não está compreendida, sendo que estes
379 378 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2017 alunos não parecem sequer familiarizados com as diferentes formas de representação dos números
racionais.
Por fim, dos 8 grupos que recorreram a representações simbólicas e icónicas na resolução da tarefa, um grupo dividiu todos os chocolates em 10 partes iguais e afirmou considerar que os restantes se encontravam divididos da mesma forma, referindo que seria atribuído a cada sobrinho 2 filas de 10 (Figura 9).
figura 9. Produção dos alunos com recurso aos números inteiros para representar as quantidades envolvidas
Assim, este grupo não conseguiu identificar a quantidade envolvida, sendo que mesmo atendendo à modelação apresentada, a resposta não está correta, já que cada sobrinho teria de receber 2 filas de cada 5 chocolates e não de 10. Deste modo, esta resolução denota sérias dificuldades destes alunos com os números racionais, nomeadamente com os fracionários, independentemente da sua forma de representação.
Passando à análise das resoluções da segunda questão da tarefa, onde os alunos eram solicitados a compararem a quantidade de chocolate que tinha sido atribuída a cada sobrinho com a unidade, verifica-se que destes 8 grupos, 6 recorreram à representação simbólica que apresentaram na ques- tão anterior e concluíram corretamente que cada sobrinho receberia mais do que um chocolate. Por outro lado, um grupo de alunos que referir na questão anterior que cada sobrinho receberia 1/5 de chocolate, referiu na segunda questão da tarefa que cada sobrinho recebia mais do que um chocolate por receber 1,5 chocolates (Figura 10).
figura 10. Produção de alunos que na questão anterior recorreu a 1/5 para representar as quantidades en- volvidas
Desta forma, apesar de concluírem corretamente que cada sobrinho receberia mais do que um cho-