A equação da quantidade de movimento linear

Por analogia com a expressão fluxo de massa usada na Equação (3.28), a integral de superfície na Equação (3.37) é chamada de fluxo de quantidade de movimento. Re- presentamos a quantidade de movimento por M, então

M˙SC st

V (V n) dA (3.38)

Devido ao produto escalar, o resultado será negativo para fluxo de quantidade de mo- vimento de entrada e positivo para fluxo de quantidade de movimento de saída. Se a seção transversal for unidimensional, V e r são uniformes sobre a área, e o resultado da integração será

M˙sti Vi( iVniAi) m˙iVi (3.39)

para um fluxo de saída e para um fluxo de entrada. Logo, se o volume de controle tiver apenas entradas e saídas unidimensionais, a Equação (3.37) se reduz a

a F _dtd a

VC

V d b _{a (m˙}iVi)sai a (m˙iVi)ent (3.40)

Essa é uma aproximação comumente usada em análises de engenharia. É fundamental compreender que estamos tratando com somas vetoriais. A Equação (3.40) estabelece que o vetor da força resultante sobre um volume de controle fixo é igual à taxa de va- riação da quantidade de movimento no interior do volume de controle mais a soma vetorial dos fluxos de quantidade de movimento de saída menos a soma vetorial dos fluxos de entrada.

De maneira geral, as forças de superfície sobre um volume de controle são decor- rentes de (1) forças expostas pelos cortes através dos corpos sólidos que se prolongam pela superfície e (2) forças decorrentes de pressões e tensões viscosas do fluido circun- dante. O cálculo da força de pressão é relativamente simples, como mostra a Figura 3.6.

Fluxo de quantidade de movimento

unidimensional

Força de pressão resultante sobre uma superfície de controle fechada SC Fechada p_a n p_a p_a p_a p_man = p – pa SC Fechada _p man = 0 p_man p_man p_a (a) (b) n p_a

Figura 3.6 Cálculo da força de

pressão subtraindo uma distribui- ção uniforme: (a) pressão uniforme, F pa n dA 0; (b) pressão não uniforme,

Lembre-se, do Capítulo 2, que a força de pressão externa em uma superfície é normal à superfície, no sentido para dentro. Como o vetor unitário n é definido para fora, uma maneira de escrever a força de pressão é

Fpressão SC

p( n) dA

(3.41) Agora, se a pressão tiver um valor uniforme p_a ao longo de toda a superfície, como na Figura 3.7a, a força de pressão resultante será zero:

FPU pa( n) dA pa n dA 0 (3.42)

em que o subscrito PU significa pressão uniforme. Esse resultado é independente da forma da superfície8 _{desde que a superfície seja fechada e todos os nossos volumes de}

controle sejam fechados. Assim, um problema aparentemente complicado, envolvendo forças de pressão, pode ser simplificado subtraindo-se qualquer pressão uniforme conve- niente p_a e trabalhando-se apenas com as partes remanescentes da pressão manométrica, conforme ilustra a Figura 3.6b. Assim, a Equação (3.41) é inteiramente equivalente a

Fpressão SC

(p p_a)( n) dA

SC

p_man( n) dA Esse artifício pode significar grande economia nos cálculos.

EXEMPLO 3.6

Um volume de controle de uma seção de bocal tem pressão superficial absoluta de 276 kPa na seção 1 e pressão atmosférica de 103 kPa (absoluta) na seção 2 e sobre a superfície externa do bocal, como mostra a Figura E3.6a. Calcule a força de pressão resultante, sendo D1 5 75 mm

e D2 5 25 mm.

Solução

Esboço do sistema:

• O volume de controle é a parte externa do bocal mais as seções de corte (1) e (2). Haveria também tensões na parede em corte do bocal na seção 1, que estamos des- considerando aqui. As pressões que agem sobre o volume de controle estão na Figura E3.6a. A Figura E3.6b mostra as pressões depois de ter sido subtraído o valor de 103 kPa de todos os lados. Aqui calculamos somente a força de pressão resultante.

2

1

2

1 276 kPa abs 103 kPa abs

A pressão de saída do jato é a atmosférica 173 kPa man

103 kPa abs

(a) (b)

103 kPa abs

Escoamento Escoamento

0 kPa abs man

0 kPa abs man

0 kPa abs

Figura E3.6

8_{Você pode provar isso? É uma consequência do teorema de Gauss da análise vetorial.}

Hipóteses:

• Pressões conhecidas, como mostra a figura, em todas as superfícies do volume de controle.

Abordagem:

• Como três superfícies têm p 5 103 kPa, subtraia esse valor em todos os lugares de forma que esses três lados se reduzam à “pressão manométrica” zero, por conveniência. Isso é permitido devido à Equação (3.42).

Passos da solução:

• Para a distribuição de pressões modificada, Figura E3.6b, é necessária somente a seção 1:

Fpressão pman,1 ( n)1 A1 (173.000 Pa)3 ( i) c4 ₄ (0,075 m)2d 764,3 i N Resp.

Comentários:

• Esse artifício da “subtração uniforme”, que é inteiramente legal, simplifica muito o cálculo da força de pressão. Nota: Além da Fpressão, há outras forças envolvidas nes-

se escoamento, decorrentes de tensões na parede do bocal e o peso do fluido no interior do volume de controle.

A Figura E3.6 ilustra uma condição de contorno de pressão comumente utiliza- da em problemas de escoamento com jato de descarga. Quando um fluido deixa um duto interno confinado e descarrega para a “atmosfera” ambiente, sua superfície livre fica exposta a essa atmosfera. Nesse caso, o próprio jato estará submetido essencialmente a essa pressão atmosférica. Essa condição foi usada na seção 2 na Figura E3.6.

Somente dois efeitos poderiam manter uma diferença de pressão entre a atmos- fera e um jato livre. O primeiro é o efeito da tensão superficial, Equação (1.31), que usualmente é desprezível. O segundo efeito ocorre em um jato supersônico, que pode se separar da atmosfera com ondas de expansão ou compressão (Capítulo 9). Para a maioria das aplicações, portanto, vamos adotar a pressão na saída de um jato livre como atmosférica.

Condição de pressão na saída de um jato

EXEMPLO 3.7

Um volume de controle fixo de um tubo de corrente em regime permanente tem um esco- amento de entrada uniforme (r1, A1, V1) e um escoamento de saída uniforme (r2, A2, V2),

como mostra a Figura 3.7. Encontre uma expressão para a força resultante no volume de controle. u Volume de controle fixo m V2 �F = m (V₂ – V₁) (a) (b) 1 2 V • n = 0 _V 2 u V₁

.

m = constante m V₁

Figura 3.7 Força resultante sobre

um tubo de corrente unidimensio- nal em regime permanente: (a) tubo de corrente em regime permanente; (b) diagrama vetorial para calcular a força resultante.

Solução

Aplica-se a Equação (3.40) com uma entrada e uma saída:

a F m˙2V2 m˙1V1 ( 2A2V2)V2 ( 1A1V1)V1

O termo da integral do volume é nulo para regime permanente, mas pelo princípio da conser- vação da massa, no Exemplo 3.3, nós vimos que

m˙1 m˙2 m˙ const

Portanto, uma forma simples para o resultado desejado é

a F m˙(V2 V1) Resposta

Essa é uma relação vetorial, esquematizada na Figura 3.7b. O termo ∑ F representa a força resultante agindo sobre o volume de controle decorrente de todas as causas; ela é necessária para equilibrar a variação da quantidade de movimento do fluido à medida que ele deflete e desacelera na passagem através do volume de controle.

EXEMPLO 3.8

Como mostra a Figura 3.8a, uma pá fixa deflete um jato de água de área A, segundo o ângulo

u, sem variar o valor da velocidade. O escoamento é permanente, a pressão é p_a em todos os

pontos e o atrito na pá é desprezível. (a) Encontre os componentes Fx e Fy da força aplicada

pela pá. (b) Encontre as expressões para a intensidade da força F e para o ângulo f entre F e a horizontal; faça um gráfico das forças em função de u.

y x V V 1 2 p_a u VC F F u Fy Fx mV mV � (a) (b) Solução

O volume de controle selecionado na Figura 3.8a corta a entrada e a saída do jato e o suporte da pá, expondo a força F da pá. Como não há nenhum corte ao longo da interface pá-jato, o atrito na pá cancela-se internamente. A força de pressão da atmosfera uniforme é zero. Vamos despre- zar os pesos do fluido e da pá dentro do volume de controle. Logo, a Equação (3.40) reduz-se a

Fpá m˙2V2 m˙1V1

Parte (a)

Figura 3.8 Força resultante aplicada

em uma pá defletora fixa de um jato: (a) geometria da pá defletindo o jato de água; (b) diagrama vetorial para a força resultante.

Mas a intensidade V1 5 V2 5 V é conhecida e a conservação da massa no tubo de corrente re-

quer que m˙1 m˙2 m˙ AV. O diagrama vetorial para a força e os fluxos de quantidade de movimento torna-se um triângulo isósceles com os lados m: V e base F, como mostra a Figura 3.8b. Podemos facilmente encontrar os componentes da força por meio desse diagrama:

Fx m˙V(cos 1) Fy m˙V sen Resposta (a) em que, nesse caso, V_m˙ AV2_{. Este é o resultado desejado.}

A intensidade da força é obtida da parte (a):

F m V F m V � � 0 45� 90� 135� 180� 180� 1,0 2,0 � 90� Figura E3.8 F (F2

x F2y)1/2 m˙V3sen2 (cos 1)241/2 2m˙V sen ₂ Resposta (b) Da geometria da Figura 3.8b obtemos

180 tan 1Fy

Fx 90

2 Resposta (b)

Podemos fazer um gráfico desses resultados em função de u como mostra a Figura E3.8. Há dois casos especiais de interesse. Primeiro, a força máxima ocorre em u 5 180°, isto é, quando o jato é forçado a dar meia-volta e retornar na direção oposta, com sua quantidade de movimen- to completamente revertida. Essa força é 2m: V e age para a esquerda; isto é f 5 180°. Segundo, com ângulos de deflexão muito pequenos (u < 10°), obtemos aproximadamente

F m˙V ₉₀

A força é linearmente proporcional ao ângulo de deflexão e age aproximadamente normal ao jato. Esse é o princípio da pá portante (de sustentação), ou aerofólio, que causa uma pequena alteração na direção do escoamento e cria uma força de sustentação normal ao escoamento básico. Parte (b)

EXEMPLO 3.9

Um jato de água com velocidade Vj incide normal a uma placa plana que se move para a direi-

ta à velocidade Vc, como mostra a Figura 3.9a. Encontre a força necessária para manter a placa

movendo-se a uma velocidade constante, se a massa específica do jato é 1.000 kg/m3_{, a área do}

jato tem 3 cm2_{, e V}

j e Vc são 20 e 15 m/s, respectivamente. Despreze o peso do jato e da placa,

e admita o escoamento permanente em relação à placa móvel, com o jato se dividindo igual- mente para cima e para baixo.

Solução

O volume de controle sugerido na Figura 3.9a corta o suporte da placa expondo as forças desejadas Rx e Ry. Esse volume de controle move-se a uma velocidade Vc e, portanto, está

fixo em relação à placa, como mostra a Figura 3.9b. Devemos satisfazer à conservação da massa e da quantidade de movimento para o padrão de escoamento permanente conside- rado na Figura 3.9b. Há duas saídas e uma entrada, e a Equação (3.30) é aplicada para a conservação da massa:

ou 1A1V1 2A2V2 jAj(Vj Vc)

m˙sai m˙ent

(1)

Supomos que a água é incompressível com r1 5 r2 5 rj, e sabemos que A1 A2 12Aj. Portan- to, a Equação (1) se reduz a

V1 1 V2 5 2 (Vj 2 Vc) (2)

Resumindo, isso é tudo o que o princípio da conservação da massa nos informa. No entanto, pela simetria da deflexão do jato, e desprezando o peso do fluido, concluímos que as duas ve- locidades V1 e V2 devem ser iguais, e portanto a Equação (2) torna-se

V1 5 V2 5 Vj 2 Vc (3)

Essa igualdade também pode ser prevista pela equação de Bernoulli na Seção 3.7. Para os va- lores numéricos dados, temos

V1 5 V2 5 20 – 15 5 5 m/s

Agora, podemos calcular Rx e Ry com base nos dois componentes da conservação da quantida-

de de movimento. A Equação (3.40) aplica-se com o termo não permanente nulo:

a Fx Rx m˙1u1 m˙2u2 m˙juj (4) em que, por meio da conservação da massa, m˙1 m˙2 12m˙j 2 j1 Aj(Vj Vc). Considere agora as direções do escoamento em cada seção: u1 5 u2 5 0 e uj 5 Vj 2 Vc 5 5 m/s. Assim, a Equa-

ção (4) torna-se Rx m˙juj 3 jAj(Vj Vc)4(Vj Vc) (5) Bocal V_j p = p_a V_c SC Vc Vj – Vc Aj j SC 1 Ry Rx A1 = A1₂ j 2 A2 = A1₂ j (a) (b)

Figura 3.9 Força sobre uma placa

movendo-se a velocidade constante: (a) jato atingindo uma placa móvel na direção normal; (b) volume de controle fixo em relação à placa.

Para os valores numéricos dados, temos

Rx 5 2(1.000 kg/m3)(0,0003 m2)(5 m/s)2 5 27,5 (kg  m)/s2 5 27,5 N Resposta

Essa força age para a esquerda; isto é, há necessidade de uma força de contenção para impedir que a placa comece a acelerar para a direita devido ao impacto contínuo do jato. A força verti- cal é

Fy Ry m˙1 1 m˙2 2 m˙j j

Considere as direções novamente: y1 5 V1, y2 5 2V2, yj 5 0. Portanto,

Ry m˙1(V1) m˙2( V2) 12 m˙j(V1 V2) (6) Porém, como já havíamos encontrado que V1 5 V2, resulta que Ry 5 0, como poderíamos es-

perar da simetria da deflexão do jato9_{. Há outros dois resultados que nos interessam. Primeiro,}

a velocidade relativa na seção 1 era, como vimos, 5 m/s para cima, da Equação (3). Se deter- minamos o movimento absoluto correspondente, adicionando a velocidade do volume de con- trole, Vc 5 15 m/s, para a direita, encontraremos a velocidade absoluta V1 5 15i 1 5j m/s, ou

15,8 m/s com um ângulo de 18,4° para cima, conforme indicado na Figura 3.9a. Assim, a ve- locidade absoluta do jato se altera após o impacto com a placa. Segundo, a força Rx calculada

não se altera se assumirmos que o jato se deflete em todas as direções radiais ao longo da su- perfície da placa em vez de apenas para cima e para baixo. Como a placa é normal ao eixo x, o fluxo de quantidade de movimento x na saída ainda seria zero, quando a Equação (4) fosse re- escrita para uma condição de deflexão radial.

EXEMPLO 3.10

A comporta na Figura E3.10a controla o escoamento em canais abertos. Nas seções 1 e 2, o escoamento é uniforme e a pressão é hidrostática. Desprezando o atrito no fundo e a pressão atmosférica, deduza uma fórmula para a força horizontal F necessária para segurar a comporta. Expresse a sua fórmula final em termos da velocidade de entrada V1, eliminando V2.

V1 h₁ F A h₂ Comporta, com largura b V2 Figura E3.10a Solução

Escolha um volume de controle, Figura E3.10b, que corte regiões conhecidas (seção 1 e seção 2, o fundo e a atmosfera) e que corte ao longo de regiões das quais se deseja obter as informa- ções desconhecidas (a comporta, com sua força F).

9_{A simetria pode ser uma ferramenta poderosa se usada corretamente. Tente aprender mais sobre os usos} certo e errado das condições de simetria.

�gh2 �gh1 F VC �= 0 pressão manométrica Figura E3.10b

Considere escoamento permanente incompressível sem variação ao longo da largura b. O ba- lanço de fluxo de massa na entrada e na saída:

m˙ V1h1b V2h2b ou V2 V1(h1 h2)

Podemos usar pressões manométricas por conveniência porque uma pressão atmosférica uni- forme não causa nenhuma força, como foi mostrado anteriormente na Figura 3.6. Com x posi- tivo para a direita, igualamos a força resultante horizontal com a variação de quantidade de movimento na direção x:

m˙ h1bV1

Fx Fcomp ₂gh1(h1b) ₂gh2(h2b) m˙ (V2 V1)

Resolvemos para Fcomp e eliminamos V2 usando a relação de fluxo de massa. O resultado dese-

jado é: Fcomp ₂gbh21c 1 a h2 h1b 2 d h1bV21a h1 h2 1b Resposta

Esse é um resultado poderoso de uma análise relativamente simples. Mais tarde, na Seção 10.4, pode- remos calcular a vazão real conhecendo as profundidades da água e a altura de abertura da comporta.

EXEMPLO 3.11

O Exemplo 3.9 tratou o caso de uma placa normal a um escoamento de aproximação. Na Figu- ra 3.10, a placa está paralela ao escoamento, que não corresponde mais a um jato, mas a um grande rio, ou corrente livre, de velocidade uniforme V 5 U0i. A pressão é admitida uniforme

e, assim, ela não exerce força resultante sobre a placa. A placa não bloqueia o escoamento, como na Figura 3.9, logo o único efeito é devido ao cisalhamento na fronteira, que foi despre- zado no exemplo anterior. A condição de aderência provoca uma desaceleração brusca das partículas de fluido nas proximidades da parede, e essas retardam as partículas vizinhas acima, tal que, no final da placa, haverá uma significativa camada cisalhante, ou camada-limite, de espessura y 5 d. As tensões viscosas ao longo da parede podem se integradas, resultando uma força de arrasto finita sobre a placa. Esses efeitos estão ilustrados na Figura 3.10. O problema é fazer uma análise integral e encontrar a força de arrasto FA em termos das propriedades do

escoamento, r, U0 e d e das dimensões L e b da placa.10

Solução

Como na maioria dos casos práticos, esse problema requer um balanço combinado de massa e quantidade de movimento. Uma escolha adequada do volume de controle é essencial, e nós

10_{A análise geral de problemas de cisalhamento de parede, chamada de teoria da camada-limite, é tratada} na Seção 7.3.

y U₀ Escoamento de aproximação paralelo à placa 0 1 y = h Linha de corrente fora da região da camada

sob cisalhamento 2 Placa de largura b 4 Camada-limite onde a tensão de cisalhamento é significativa p = p_a y = d 3 U₀ u(y) x L

selecionamos a região formada pelos quatro lados de 0 a h a d a L e de volta à origem 0, como mostra a Figura 3.10. Se tivéssemos escolhido um lado horizontal da esquerda para a direita, ao longo da altura y 5 h, cortaríamos a camada sob cisalhamento, expondo ten- sões de cisalhamento desconhecidas. Em vez disso, seguimos a linha de corrente que passa por (x, y) 5 (0, h) fora da camada sob cisalhamento e que, além do mais, não apresenta fluxo de massa transversal. Os quatro lados do volume de controle são, portanto

No documento Mecânica Dos Fluidos - 6ª Ed (páginas 165-174)