de espessura h W V Área A de contato do bloco u
P1.46 Um modelo simples e popular para os dois fluidos não
newtonianos da Figura 1.9a é a lei de potência:
tC duÊËÁdyˆ¯˜n
em que C e n são constantes ajustadas ao fluido [16].
Da Figura 1.9a, deduza os valores do expoente n para os quais o fluido é (a) newtoniano, (b) dilatante e (c)
pseudoplástico. Considere a constante específica de modelo C 5 0,4 N · sn/m2, com o fluido sofrendo cisa-
lhamento entre duas placas paralelas como na Figura 1.8. Se a tensão de cisalhamento no fluido é 1.200 Pa, calcule a velocidade V da placa superior para os casos (d) n 5 1,0, (e) n 5 1,2 e (f) n 5 0,8.
P1.47 Um eixo com 6,00 cm de diâmetro está sendo empur-
rado axialmente para o interior de um mancal com 6,02 cm de diâmetro e 40 cm de comprimento. A folga, con- siderada uniforme, é preenchida com óleo cujas pro- priedades são ν 5 0,003 m2/s e d 5 0,88. Calcule a
força necessária para puxar o eixo a uma velocidade constante de 0,4 m/s.
P1.48 Uma placa fina está separada de duas placas fixas por
líquidos muito viscosos com m1 e m2, respectivamente,
como mostra a Figura P1.48. Os espaçamentos h1 e h2
entre as placas não são iguais, como mostra a figura. A área de contato é A entre a placa central e cada fluido. (a) Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, deduza a força F necessária para puxar a placa à velocidade V. (b) Existe necessariamente uma
relação entre as duas viscosidades, m1 e m2?
h1 h2 m1 m2 F, V P1.48
P1.49 Foram desenvolvidos muitos equipamentos comerciais e
de laboratório para medir viscosidade, como descrevem as Referências 29 e 49. Considere um eixo concêntrico, como no Problema 1.47, mas agora fixado axialmente e girando no interior do mancal. Sejam os raios interno e externo dos cilindros ri e ro, respectivamente, tendo o
mancal um comprimento total L. Seja a velocidade an- gular (rad/s) e seja M o torque aplicado. Usando esses parâmetros, deduza uma relação teórica para a viscosida- de m do fluido na folga entre os cilindros.
P1.50 Um viscosímetro simples mede o tempo t para que
uma esfera sólida caia uma distância L no interior de um fluido de teste, de massa específica r. A viscosida- de m do fluido é dada então por
m p r m P t DL t DL líq se 3 2
em que D é o diâmetro da esfera e Plíq é o peso líquido
da esfera no fluido. (a) Prove que ambas as fórmulas são dimensionalmente homogêneas. (b) Considere uma esfera de alumínio com diâmetro de 2,5 mm (mas-
sa específica 2.700 kg/m3) caindo em um óleo de mas-
sa específica 875 kg/m3. Se o tempo para cair 50 cm é
32 s, calcule a viscosidade do óleo e verifique se a ine- quação é válida.
P1.51 Uma aproximação para a forma da camada-limite nas
Figuras 1.6b e P1.51 é a fórmula u y( )Usen py , y d d 2 0 Ê ËÁ ˆ¯˜
em que U é a velocidade da corrente longe da parede e
d é a espessura da camada-limite, como na Figura P1.51. Se o fluido for o hélio a 20 °C e 1 atm, e se U 5 10,8 m/s e d 5 3 cm, use a fórmula para (a) calcular a tensão de cisalhamento τp na parede em Pa e (b) encontre a
posição na camada-limite em que τ é metade de τp.
P1.51 U y 0 u(y) y 5 d
P1.52 A correia na Figura P1.52 move-se a uma velocidade
constante V e desliza na parte superior de um tanque de óleo de viscosidade m, como mostra a figura. Conside- rando um perfil linear de velocidade no óleo, desenvol- va uma fórmula simples para a potência P necessária para o acionamento da correia em função de (h, L, V, b,
m). Qual é a potência P necessária para o acionamento
da correia se ela se move a 2,5 m/s em óleo SAE 30W a 20 °C, com L 5 2 m, b 5 60 cm e h 5 3 cm?
L V
Óleo, profundidade h
Correia móvel, largura b
P1.52
P1.53 Um cone sólido de ângulo 2u, base r0 e massa específica
rc está girando com velocidade angular ω0 em um assen-
to cônico, como mostra a Figura P1.53. A folga h é preen- chida com óleo de viscosidade m. Desprezando o arrasto do ar, deduza uma expressão analítica para a velocidade angular ω(t) do cone se não há torque aplicado.
Óleo h Raio da base r0 w (t) 2q P1.53
P1.54 Um disco de raio R gira a uma velocidade angular
no interior de um reservatório em forma de disco cheio com óleo de viscosidade m, como mostra a Figura P1.54. Considerando um perfil linear de velocidade e desprezando a tensão de cisalhamento nas bordas ex- ternas do disco, deduza uma fórmula para o torque vis- coso no disco. R R Folga h Óleo W P1.54
P1.55 Um bloco de peso P está sendo puxado sobre uma
mesa por um outro peso P0, como mostra a Figura
P1.55. Encontre uma fórmula algébrica para a veloci- dade constante U do bloco se ele desliza sobre um fil- me de óleo de espessura h e viscosidade m. A área A inferior do bloco está em contato com o óleo. Despreze o peso da corda e o atrito na polia. Considere um perfil linear de velocidade no filme de óleo.
U
P
Po
h
P1.55
P1.56 O dispositivo na Figura P1.56 é chamado de viscosí-
metro cone-placa [29]. O ângulo do cone é muito pe-
queno, de forma que sen u < u, e a folga é preenchida com o líquido de teste. O torque M necessário para gi-
*
*
*
rar o cone a uma velocidade angular Ω é medido. Con- siderando um perfil linear de velocidade no filme de fluido, deduza uma expressão para a viscosidade m do fluido em função de (M, R, , u).
W
Fluido R
q q
P1.56
P1.57 Para a geometria do Problema P1.55, (a) resolva o pro-
blema transitório U(t), em que o movimento do bloco começa a partir do repouso e acelera até a velocidade constante final U0 do Problema P1.55. (b) Consideran-
do como um outro problema, se a mesa fosse inclinada com um ângulo u em direção à polia, estabeleça o cri- tério para determinar se o bloco se move para cima ou para baixo na mesa.
P1.58 O exemplo do escoamento laminar em tubo do Proble-
ma 1.12 pode ser usado para projetar um viscosímetro
capilar [29]. Se Q é a vazão em volume, L é o compri-
mento do tubo e Dp é a queda de pressão da entrada até a saída, a teoria do Capítulo 6 fornece uma fórmula para a viscosidade: m= pr p LQ 04 8 D
Os efeitos devidos às extremidades do tubo são despre-
zados [29]. Considere que nosso tubo capilar tenha r0 5
2 mm e L 5 25 cm. Para um certo fluido, foram obtidos os dados a seguir, de vazão e queda de pressão:
Q, m3/h 0,36 0,72 1,08 1,44 1,80 Dp, kPa 159 318 477 1.274 1.851
Qual é a viscosidade do fluido? Nota: somente os três
primeiros pontos fornecem a viscosidade correta. Qual é a peculiaridade dos últimos dois pontos, que foram medidos com precisão?
P1.59 Um cilindro sólido de diâmetro D, comprimento L e
massa específica rs cai pelo efeito da gravidade no in-
terior de um tubo de diâmetro D0. A folga, D0 2 D << D,
é preenchida com um fluido de massa específica r e viscosidade m. Despreze os efeitos do ar acima e abai- xo do cilindro. Deduza uma fórmula para a velocidade terminal de queda do cilindro. Aplique a sua fórmula ao caso de um cilindro de aço com D 5 2 cm, D0 5
2,04 cm, L 5 15cm, com um filme de óleo SAE 30 a 20 °C.
P1.60 Os dutos são limpos passando-se por dentro deles um
cilindro de diâmetro justo chamado de pig. O nome pig (porco, em inglês) vem do ruído agudo que ele faz quando percorre o interior do duto. A Referência 50 des- creve um novo pig, não tóxico, conduzido por ar com- primido, para limpar dutos industriais de cosméticos e bebidas. Considere que o diâmetro do pig seja 15,08 cm e seu comprimento seja 66 cm. Ele limpa um tubo de 15, 24 cm (6 pol) de diâmetro à velocidade de 1,2 m/s. Se a folga for preenchida com glicerina a 20 °C, qual a di- ferença de pressão, em pascals, que será necessária para movimentar o pig? Suponha um perfil de velocidade li- near no óleo e despreze o arrasto do ar.
P1.61 Um disco de hóquei de mesa tem uma massa de 50 g e
diâmetro de 9 cm. Quando colocado sobre a mesa de ar, um filme de ar a 20 °C de 0,12 mm de espessura se forma sob o disco. O disco é lançado a uma velocidade inicial de 10 m/s. Considerando uma distribuição line- ar de velocidade no filme de ar, quanto tempo levará para o disco (a) atingir a velocidade de 1 m/s e (b) pa- rar completamente? Além disso, (c) que distância, ao longo dessa mesa extremamente longa, o disco terá percorrido para a condição (a)?
P1.62 As bolhas de hidrogênio que produziram os perfis de
velocidade na Figura 1.15 são muito pequenas, D < 0,01 mm. Se a interface hidrogênio-água é comparável à interface ar-água e a temperatura da água é 30 °C, calcule o excesso de pressão dentro da bolha.
P1.63 Deduza a Equação (1.34) fazendo um balanço de for-
ças na interface do fluido na Figura 1.11c.
P1.64 Uma ducha emite um jato cilíndrico de água limpa a
20 °C no ar. A pressão no interior do jato é aproxima- damente 200 Pa maior do que a pressão do ar. Calcule o diâmetro do jato em mm.
P1.65 O sistema na Figura P1.65 é usado para calcular a pres-
são em p1 no tanque medindo-se a altura de líquido de
15 cm no tubo de 1 mm de diâmetro. O fluido está a 60 °C. Calcule a verdadeira altura do fluido no tubo e o erro percentual devido à capilaridade se o fluido é (a) água ou (b) mercúrio.
P1.65
15 cm
p1
P1.66 Um anel de arame fino, com 3 cm de diâmetro, é erguido
da superfície da água a 20 °C. Desprezando o peso do arame, qual é a força necessária para erguer o anel? Seria essa uma boa maneira de medir a tensão superficial? O arame deveria ser feito de algum material em particular?
*
*
P1.67 Um anular concêntrico vertical, com raio externo r0 e raio interno ri, é introduzido em um fluido com tensão
superficial Y e ângulo de contato u < 90°. Deduza uma expressão para a elevação h da capilaridade na folga anular se a folga for muito pequena.
P1.68 Faça uma análise da forma (x) da interface água-ar
próxima de uma parede plana, como na Figura P1.68, considerando que a inclinação seja pequena,
R –1 < d 2/dx2. Considere também que a diferença de
pressão através da interface seja equilibrada pelo peso específico e pela altura da interface, Dp < rg. As condições de contorno são um ângulo de contato mo- lhado u em x 5 0 e uma superfície horizontal 5 0 quando x . Qual é a altura máxima h na parede?
P1.68 (x) q x = 0 y = h y x h
P1.69 Uma agulha cilíndrica sólida de diâmetro d, compri-
mento L e massa específica ra pode flutuar em um lí-
quido de tensão superficial Y. Despreze o empuxo e considere um ângulo de contato de 0°. Deduza uma fórmula para o diâmetro máximo dmáx capaz de flutuar
no líquido. Calcule dmáx para uma agulha de aço (d 5
7,84) em água a 20 °C.
P1.70 Deduza uma expressão para a variação da altura capi-
lar h para um fluido de tensão superficial Y e ângulo de contato u entre duas placas verticais paralelas separa- das por uma distância L, como na Figura P1.70. Qual será o h para a água a 20 °C se L 5 0,5 mm?
P1.70 L
h
q
P1.71 Uma bolha de sabão de diâmetro D1 funde-se com ou-
tra bolha de diâmetro D2 para formar uma única bolha
de diâmetro D3 com a mesma quantidade de ar. Consi-
derando um processo isotérmico, deduza uma expres- são para encontrar D3 em função de D1, D2, patm e Y. P1.72 Antigamente, os alpinistas ferviam água para obter
uma estimativa da altitude. Se um alpinista chegar ao topo da montanha e observar que a água ferve a 84 °C, qual é, aproximadamente, a altura da montanha?
P1.73 Um pequeno submersível move-se à velocidade V, na
água doce a 20 °C, a 2 m de profundidade, onde a pres- são ambiente é 131 kPa. Sabe-se que seu número de cavitação crítico é Ca 5 0,25. A que velocidade as bo-
lhas de cavitação começam a se formar no corpo do submersível? Haverá cavitação no corpo se V 5 30 m/s e a água estiver fria (5 °C)?
P1.74 Óleo, com uma pressão de vapor de 20 kPa, é entregue
por um oleoduto, com bombas igualmente espaçadas; cada uma delas aumenta a pressão do óleo em 1,3 MPa. As perdas por atrito na tubulação são 150 Pa por metro de tubo. Qual é o espaçamento máximo possível entre as bombas para evitar a cavitação do óleo?
P1.75 Uma aeronave voa a 893 km/h. A que altitude, na at-
mosfera padrão, a aeronave estará quando o número de Mach do avião for exatamente 0,8?
P1.76 Calcule a velocidade do som no vapor a 200 °C e 400
kPa (a) pela aproximação de gás ideal (Tabela A.4) e (b) usando o sofware EES (ou as tabelas de vapor) e fa- zendo pequenas alterações isentrópicas na pressão e mas- sa específica e aproximando a Equação (1.38).
P1.77 A massa específica da gasolina a 20 °C varia com a
pressão aproximadamente da seguinte forma:
p, atm 1 500 1.000 1.500
r, kg/m3 680,0 718,5 746,5 768,6
Use esses dados para calcular (a) a velocidade do som
(m/s) e (b) o módulo de elasticidade volumétrica (MPa) da gasolina a 1 atm.
P1.78 Sir Isaac Newton mediu a velocidade do som crono-
metrando a diferença de tempo entre o instante em que via a fumaça saindo do canhão e o instante em que ouvia o som. Se o canhão estiver em uma montanha à distân- cia de 8.369 m, calcule a temperatura do ar em graus Celsius se a diferença de tempo medida for (a) 24,2 s e (b) 25,1 s.
P1.79 Mesmo uma pequena quantidade de gás dissolvido
pode mudar drasticamente a velocidade do som de uma mistura gás-líquido. Estimando a mudança pres- são-volume da mistura, Olson [51] fornece a seguinte fórmula aproximada: a x p K g x xK x p g l l l g mistura [ r + -(1 ) ][r + -(1 ) ]
na qual x é a fração em volume do gás, K é o módulo
de elasticidade volumétrica e os subscritos l e g repre-
* * EES * EES Problemas 67
sentam líquido e gás, respectivamente. (a) Mostre que a fórmula é dimensionalmente homogênea. (b) Para o caso especial de bolhas de ar (densidade de 1,7 kg/m3 e
pressão de 150 kPa) na água (densidade de 998 kg/m3
e módulo de elasticidade volumétrica 2,2 (GPa), faça o gráfico da velocidade do som na mistura no intervalo 0 < x< 0,002 e discuta.
P1.80 Um campo de velocidade permanente bidimensional é
dado por u 5 x2 – y2, ν 5 –2xy. Deduza o campo de li-
nhas de corrente e esboce algumas linhas de corrente no semiplano superior.
Dica: a equação diferencial é exata.
P1.81 Repita o Exemplo 1.12 fazendo os componentes da ve-
locidade crescerem linearmente com o tempo: