Relações integrais para um volume de controle
3.1 Leis físicas básicas da mecânica dos fluidos
As três abordagens têm aproximadamente a mesma importância. A análise de volume de controle, assunto deste tópico, é precisa para qualquer distribuição de escoamento, mas frequentemente é baseada em valores médios ou “ unidimensionais” das proprie- dades nos contornos. Ela sempre fornece estimativas úteis na “engenharia”. Em prin- cípio, a abordagem diferencial do Capítulo 4 pode ser aplicada a qualquer problema. Somente alguns problemas, como o escoamento em um tubo reto, produzem soluções analíticas exatas. Mas as equações diferenciais podem ser modeladas numericamente e o campo em pleno crescimento da dinâmica dos fluidos computacional (CFD, do in- glês computational fluid dynamics) [8] pode agora ser usado para produzir boas esti- mativas para quase qualquer geometria. Finalmente, a análise dimensional do Capítulo 5 aplica-se a qualquer problema, seja ele analítico, numérico ou experimental. Ela é particularmente útil para reduzir o custo da experimentação. A análise diferencial co- meçou com Euler e Lagrange no século 18, e a análise dimensional foi usada pela primeira vez por Lord Rayleigh na segunda metade do século 19. A abordagem de volume de controle, embora proposta por Euler e usada novamente por Osborne Rey- nolds na segunda metade do século 19, não foi desenvolvida como uma ferramenta geral analítica até a década de 1940.
Todas as leis da mecânica são escritas para um sistema, que é definido como uma quantidade de massa de identidade fixada. Tudo que for externo a esse sistema é desig- nado pelo termo vizinhanças, sendo o sistema separado de suas vizinhanças pela sua fronteira. As leis da mecânica estabelecem então o que ocorre quando houver uma in- teração entre o sistema e suas vizinhanças.
Em primeiro lugar, o sistema é uma quantidade fixa de massa, denotada por m. Logo, a massa do sistema conserva-se e não se altera.1 Esta é uma lei da mecânica e
assume uma forma matemática muito simples, chamada conservação da massa:
ou dmdt 0
msist const
(3.1) Essa lei é tão óbvia em problemas de mecânica dos sólidos que frequentemente a es- quecemos. Em mecânica dos fluidos, precisamos prestar atenção à conservação da massa e analisá-la para garantir que ela seja satisfeita.
Segundo, se as vizinhanças exercem uma força resultante F sobre o sistema, a se- gunda lei de Newton estabelece que a massa no sistema começará a se acelerar2
F ma mdV dt
d
dt(mV) (3.2)
Na Equação (2.8), vimos essa relação ser aplicada a um elemento diferencial de fluido incompressível e viscoso. Na mecânica dos fluidos, a lei de Newton é chamada de re- lação de quantidade de movimento linear. Observe que se trata de uma lei vetorial, que implica três equações escalares Fx 5 max, Fy 5 may, Fz 5 maz.
Terceiro, se as vizinhanças exercem um momento resultante M em relação ao cen- tro de massa do sistema, haverá um efeito de rotação
M dH
dt (3.3)
Sistemas versus volumes de controle
1 Estamos desconsiderando as reações nucleares, nas quais a massa pode ser transformada em energia.
em que H 5 ∑(r V) dm representa a quantidade de movimento angular do sistema em relação a seu centro de massa. Chamamos a Equação (3.3) aqui de relação de quan- tidade de movimento angular. Observe que ela também é uma equação vetorial, impli- cando em três equações escalares, tais como Mx 5 dHx/dt.
Para uma massa e um momento arbitrários, H é extremamente complicada e envol- ve nove termos (ver, por exemplo, Referência 1). Em dinâmica elementar, é comum tratarmos apenas de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo x, para o qual a Equação (3.3) se reduz a
Mx Ix
d
dt ( x) (3.4)
em que x é a velocidade angular do corpo e Ix é seu momento de inércia de massa em relação ao eixo x. Infelizmente, os sistemas fluidos não são rígidos e raramente se re- duzem a uma relação tão simples, conforme veremos na Seção 3.5.
Quarto, se uma quantidade de calor dQ é transferida ao sistema ou um trabalho dW é realizado pelo sistema, a energia dE do sistema deve variar de acordo com a relação de energia, ou primeira lei da termodinâmica,
ou Q˙ W˙ dE
dt
Q W dE
(3.5) Tal como a conservação da massa, Equação (3.1), a Equação (3.5) representa uma re- lação escalar, com um único componente.
Por fim, a segunda lei da termodinâmica relaciona a variação de entropia dS com o calor transferido dQ e a temperatura absoluta T:
dS Q
T
d (3.6)
Essa relação é válida para um sistema e pode ser escrita em forma apropriada para volume de controle, mas, em mecânica dos fluidos, quase não ocorrem aplicações práticas para ela, exceto na análise de detalhes sobre perdas do escoamento (ver Se- ção 9.5).
Todas essas leis envolvem propriedades termodinâmicas e, assim, devemos suple- mentá-las com relações de estado p 5 p(r,T) e e 5 e(r,T) para o fluido particular em estudo, como na Seção 1.8. Embora a termodinâmica não seja o tópico principal deste livro, ela é muito importante para o estudo geral da mecânica dos fluidos. A termodi- nâmica é crucial para o escoamento compressível, Capítulo 9. O estudante deve rever a primeira lei e as relações de estado, conforme discutido nas referências 6 e 7.
O objetivo deste capítulo é colocar nossas quatro leis básicas na forma de volume de controle, apropriada para regiões arbitrárias em um escoamento:
1. Conservação da massa (Seção 3.3)
2. A relação de quantidade de movimento linear (Seção 3.4) 3. A relação de quantidade de movimento angular (Seção 3.5) 4. A equação da energia (Seção 3.6)
Sempre que necessário, para completar a análise, introduzimos também uma relação de estado, tal como a lei dos gases perfeitos.
As equações (3.1) até (3.6) aplicam-se tanto para sistemas fluidos como sólidos. Elas são ideais para a mecânica dos sólidos, na qual seguimos o mesmo sistema em 3.1 Leis físicas básicas da mecânica dos fluidos 151
todos os instantes, porque ele representa o produto que estamos projetando ou cons- truindo. Por exemplo, seguimos uma viga à medida que ela sofre uma deflexão devido a um carregamento. Seguimos um pistão à medida que ele oscila. Seguimos um fogue- te em todo o seu trajeto até Marte.
Mas os sistemas fluidos não requerem essa atenção concentrada. É raro que dese- jemos seguir o trajeto completo de uma partícula específica do fluido. Em vez disso, é provável que o fluido constitua o ambiente cujo efeito sobre o nosso produto deseja- mos conhecer. Para os três exemplos citados, gostaríamos de conhecer as cargas devi- do ao vento sobre a viga, as pressões do fluido sobre o pistão e os esforços de arrasto e sustentação sobre o foguete. Isso requer que as leis básicas sejam reescritas para que se apliquem a uma região específica nas vizinhanças do nosso produto. Em outras pala- vras, para onde as partículas de fluido no vento se dirigem, após se afastarem da viga, isso é de pouco interesse para um projetista de vigas. O ponto de vista do usuário traz implícita a necessidade da análise de volume de controle deste capítulo.
Ao analisarmos um volume de controle, convertemos as leis do sistema para que se apliquem a uma região específica que o sistema pode ocupar por um único instante. O sistema prossegue, e outros sistemas vêm em seguida, mas não importa. As leis bá- sicas são reformuladas para que se apliquem a essa região local, designada volume de controle. Tudo que precisamos conhecer é o campo de escoamento nessa região e, não raro, hipóteses simples serão suficientemente precisas (por exemplo, escoamento uni- forme na entrada e/ou na saída). Logo, as condições do escoamento longe do volume de controle são irrelevantes. A técnica para efetuar tais análises localizadas é o assunto deste capítulo.
Todas as análises deste capítulo envolvem a avaliação da vazão volumétrica Q ou da vazão em massa m˙ que atravessa uma superfície (imaginária) definida no escoamento.
Suponha que a superfície S na Figura 3.1a seja uma espécie de tela de arame (ima- ginária) através da qual o fluido passa, sem resistência. Quanto volume de fluido atra- vessa S na unidade de tempo? Tipicamente, se V varia com a posição, devemos integrar sobre a superfície elementar dA da Figura 3.1a. Além disso, V pode tipicamente atra- vessar dA com um ângulo u em relação à normal. Seja n o vetor unitário normal a dA. Então, à quantidade de fluido deslocado através de dA durante o tempo dt corresponde o volume do paralelepípedo inclinado da Figura 3.1b:
d V dt dA cos (V n) dA dt
Vazão volumétrica e vazão em massa
Figura 3.1 Vazão volumétrica do
escoamento através de uma superfície arbitrária: (a) uma área elementar dA sobre a superfície; (b) o volume incremental de fluido deslocado através de dA é igual a V dt dA cos u. u S d A 1 V
Vetor unitário normal n
d A u n V V dt (a) (b)
A integral de d /dt é a vazão volumétrica total Q através da superfície S: Q s (V n) dA s VndA (3.7)
Poderíamos substituir V n pelo seu equivalente, Vn, o componente de V normal a dA, mas o uso do produto escalar permite que Q assuma um sinal que distingue entre os fluxos de entrada e os de saída. Por convenção, em todo este livro, consideramos n o vetor unitário normal orientado para fora. Dessa forma, V n representa um fluxo de saída, se for positivo, e um fluxo de entrada, se for negativo. Essa interpretação será de grande utilidade, sempre que formos calcular vazões volumétricas e em massa, empre- gando as relações básicas de volume de controle.
A vazão volumétrica pode ser multiplicada pela massa específica para obter a va- zão em massa m¢ . Se a massa específica variar sobre a superfície, deverá fazer parte da integral de superfície: m˙ s (V n) dA s Vn dA
Se a massa específica for constante, ela pode sair do sinal de integração, resultando uma proporcionalidade direta:
Aproximação unidimensional: m˙ Q AV
A fim de convertermos uma análise de sistema em análise de volume de controle, devemos transformar nossa matemática de forma a aplicá-la a uma região fixa, em vez de a massas individuais. Essa transformação, chamada de teorema de transporte de Reynolds, pode ser aplicada a todas as leis básicas. Examinando as leis básicas (3.1) até (3.3) e (3.5), vemos que todas se referem a derivadas temporais de grandezas do fluido, m, V, H e E. O que precisamos, portanto, é relacionar a derivada temporal de uma gran- deza do sistema à taxa de variação da mesma grandeza no interior de uma certa região. A fórmula de conversão desejada difere ligeiramente, caso o volume de controle seja fixo, móvel ou deformável. A Figura 3.2 ilustra esses três casos. O volume de controle fixo da Figura 3.2a engloba uma região estacionária de interesse para um projetista de bocais. A superfície de controle é um conceito abstrato e não interfere no escoamento de modo algum. Ela corta o jato que sai do bocal, envolve a atmosfera circundante e corta os parafusos dos flanges e o fluido dentro do bocal. Esse volume de controle particular evidencia as tensões nos parafusos dos flanges, que contribuem para