PD2.1 Considere um cone oco com uma abertura no vértice
do topo, juntamente com um cilindro oco, aberto no topo, com a mesma área de base do cone. Encha ambos com água até o topo. O paradoxo da hidrostática diz que ambos os recipientes têm a mesma força no fundo por causa da pressão da água, embora o cone contenha 67% menos água do que o cilindro. Você consegue ex- plicar esse paradoxo?
PD2.2 É possível a temperatura sempre subir com a altitude em
uma atmosfera real? Isso não faria a pressão do ar au-
mentar para cima? Explique essa situação fisicamente.
PD2.3 Considere uma superfície curva submersa que consis-
te em um arco de círculo bidimensional de ângulo ar- bitrário, profundidade arbitrária e orientação arbitrária. Mostre que a força causada pela pressão hidrostática resultante nessa superfície deve passar pelo centro de curvatura do arco.
PD2.4 Encha um copo com água até aproximadamente 80% e
adicione um grande cubo de gelo. Marque o nível da água. O cubo de gelo, tendo d ≈ 0,9, fica com uma par- te fora da água. Deixe o cubo de gelo derreter, com evaporação desprezível da superfície da água. O nível da água será mais alto, mais baixo ou igual ao inicial?
PD2.5 Um navio, transportando uma carga de aço, está preso
flutuando em uma pequena eclusa fechada. Os mem- bros da tripulação querem sair do navio, mas não po- dem alcançar o topo da parede da eclusa. Um membro da tripulação sugere lançar o aço na água dentro da eclusa, argumentando que o navio subirá e assim eles poderão sair. Esse plano funcionará?
PD2.6 Considere um balão de massa m com flutuação neutra
na atmosfera, levando um conjunto pessoa/cesto de massa M . m. Discuta a estabilidade desse sistema às perturbações.
PD2.7 Considere um balão de hélio em um fio amarrado ao
assento do seu carro, que está parado. As janelas estão fechadas, portanto não há movimento de ar dentro do carro. O carro começa a acelerar para a frente. Em que direção o balão vai inclinar, para a frente ou para trás? (Dica: A aceleração estabelece um gradiente horizontal de pressão no ar dentro do carro.)
PD2.8 Repita a sua análise do Problema PD2.7 com o seu car-
ro movendo-se a velocidade constante e entrando em uma curva. O balão vai se inclinar para o interior do centro de curvatura ou para fora?
Problemas para exames de fundamentos de engenharia
FE2.1 Um manômetro ligado a um tanque de nitrogênio pres-
surizado registra uma pressão manométrica de 711 mm de mercúrio. Se a pressão atmosférica for de 101,3 kPa, qual é a pressão absoluta no tanque?
(a) 95 kPa, (b) 99 kPa, (c) 101 kPa, (d) 194 kPa,
(e) 203 kPa
FE2.2 Em um dia normal ao nível do mar, um manômetro,
colocado abaixo da superfície do oceano (d 5 1,025), registra uma pressão absoluta de 1,4 MPa. A que pro- fundidade se encontra o instrumento?
(a) 4 m, (b) 129 m, (c) 133 m, (d) 140 m,
FE2.3 Na Figura FE2.3, se o óleo da região B tem d 5 0,8 e a
pressão absoluta no ponto A é 1 atm, qual é a pressão absoluta no ponto B?
(a) 5,6 kPa, (b) 10,9 kPa, (c) 107 kPa, (d) 112 kPa,
(e) 157 kPa. 5 cm 3 cm 4 cm 8 cm A B Óleo Mercúrio d = 13,56 Água d = 1 FE2.3
FE2.4 Na Figura FE2.3, se o óleo na região B tem d 5 0,8 e a
pressão absoluta no ponto B é 96,5 kPa, qual é a pres- são absoluta no ponto A?
(a) 11 kPa, (b) 41 kPa, (c) 86 kPa, (d) 91 kPa,
(e) 101 kPa
FE2.5 Um tanque de água (d 5 1,0) tem uma comporta em
sua parede vertical com 5 m de altura e 3 m de largura. O topo da comporta está 2 m abaixo da superfície. Qual é a força hidrostática sobre a comporta?
(a) 147 kN, (b) 367 kN, (c) 490 kN, (d) 661 kN,
(e) 1.028 kN
FE2.6 No Problema FE2.5, a que distância abaixo da superfí-
cie está o centro de pressão da força hidrostática?
(a) 4,5 m, (b) 5,46 m, (c) 6,35 m, (d) 5,33 m, (e) 4,96 m
FE2.7 Uma esfera sólida de 1 m de diâmetro flutua na interfa-
ce entre a água (d 5 1,0) e o mercúrio (d 5 13,56), de forma que 40% está na água. Qual é a densidade da esfera?
(a) 6,02, (b) 7,28, (c) 7,78, (d) 8,54, (e) 12,56
FE2.8 Um balão de 5 m de diâmetro contém hélio a 125 kPa
absoluta e 15 C, colocado em ar padrão ao nível do mar. Se a constante do gás hélio é 2.077 m2/(s2 . K) e o
peso do material do balão é desprezível, qual é a força de sustentação líquida do balão?
(a) 67 N, (b) 134 N, (c) 522 N, (d) 653 N, (e) 787 N
FE2.9 Uma haste quadrada de madeira (d 5 0,6), de 5 cm por
5 cm por 10 m de comprimento, flutua verticalmente na água a 20 C quando há 6 kg de aço (d 5 7,84) fixados em uma das extremidades. A que altura acima da super- fície do mar ficará a extremidade da haste?
(a) 0,6 m, (b) 1,6 m, (c) 1,9 m, (d) 2,4 m, (e) 4,0 m
FE2.10 Um corpo flutuante será estável quando (a) o seu centro
de gravidade estiver acima de seu centro de empuxo, (b) o centro de empuxo estiver abaixo da linha d’água, (c) o centro de empuxo estiver acima do seu metacentro, (d) o metacentro estiver acima do seu centro de empuxo, (e) o metacentro estiver acima do seu centro de gravidade.
Problemas abrangentes
PA2.1 Alguns manômetros são construídos como na Figura
PA2.1, em que um lado é um grande reservatório (diâ- metro D) e o outro lado é um pequeno tubo de diâmetro
d, aberto para a atmosfera. Em um caso assim, a altura
do líquido manométrico no lado do reservatório não muda apreciavelmente. Isso tem a vantagem de que so- mente uma altura precisa ser medida, não duas. O líqui- do manométrico tem massa específica rm, enquanto o
ar tem massa específica ra. Ignore os efeitos da tensão
superficial. Quando não há diferença de pressão no ma- nômetro, as elevações em ambos os lados são as mes- mas, o que é indicado pela linha tracejada. A altura h é medida com base no nível de pressão zero, como mos- tra a figura. (a) Quando é aplicada uma alta pressão ao lado esquerdo, o líquido manométrico do reservatório desce, enquanto o líquido no tubo sobe para conservar a massa. Escreva uma expressão exata para p1man, le-
vando em conta o movimento da superfície do reserva- tório. A sua equação deverá fornecer p1man em função
de h, rm e os parâmetros físicos no problema, h, d, D e
a constante da gravidade g. (b) Escreva uma expressão aproximada para p1man, desprezando a alteração na ele-
vação da superfície do reservatório de líquido. (c) Con- sidere h 5 0,26 m em uma certa aplicação. Se pa 5
101.000 Pa e o líquido manométrico tiver uma massa específica de 820 kg/m3, calcule a razão D/d requerida
para manter o erro da aproximação da parte (b) dentro de 1% da medida exata da parte (a). Repita para um erro dentro de 0,1%.
D
h
d
Nível de pressão zero Para o local da medida de pressão
p1 ra (ar) pa rm PA2.1 Problemas abrangentes 143
PA2.2 Um malandro colocou óleo, de densidade do, no ramo esquerdo do manômetro da Figura PA2.2. Não obstan- te, o tubo em U ainda é útil como um dispositivo de medida de pressão. Ele é ligado a um reservatório pres- surizado, como mostra a figura. (a) Encontre uma ex- pressão para h em função de H e outros parâmetros no problema. (b) Encontre o caso especial do seu resulta- do em (a) quando preserv 5 pa. (c) Admita que H 5 5,0
cm, pa seja 101,2 kPa, preserv seja 1,82 kPa mais alta do
que pa e do 5 0,85. Calcule h em cm, ignorando os
efeitos da tensão superficial e desprezando os efeitos da densidade do ar. Óleo Água H h Reservatório pressurizado de ar, com pressão � preserv
pa
PA2.2
PA2.3 O Professor D. dos Fluidos, montado em um carrossel
com seu filho, levou consigo seu manômetro de tubo em U. (Você nunca sabe quando um manômetro pode ser útil.) Como mostra a Figura PA2.3, o carrossel gira a uma velocidade angular constante e os ramos do ma- nômetro estão separados 7 cm. O centro do manômetro está a 5,8 m do eixo de rotação. Determine a diferença de altura h de dois modos: (a) aproximadamente, con- siderando a translação do corpo rígido com a igual à aceleração média do manômetro e (b) exatamente, usando a teoria da rotação de corpo rígido. Até que ponto a aproximação é boa?
PA2.4 Um estudante levou um copo de refrigerante em um
passeio de montanha-russa. O copo é cilíndrico, a altu- ra é o dobro da largura e está cheio até a borda. Ele quer saber que porcentual de refrigerante deve beber antes de o passeio começar, de modo que não derrame nada durante a grande descida, quando o carrinho da monta- nha-russa atinge uma aceleração de 0,55g a um ângulo de 45 abaixo da horizontal. Faça o cálculo para ele, desprezando a oscilação e supondo que o copo esteja na vertical durante todo o tempo.
PA2.5 Dry adiabatic lapse rate (DALR) é definido como o va-
lor negativo do gradiente de temperatura atmosférica,
dT/dz, quando a temperatura e a pressão variam de for-
ma isentrópica. Admitindo que o ar é um gás ideal, DALR 5 – dT/dz, quando T 5 T0(p/p0)a, em que o expo-
ente a 5 (k – 1)/k, k 5 cp/cv é a razão dos calores especí-
ficos e T0 e p0 são a temperatura e a pressão ao nível do
mar, respectivamente. (a) Admitindo que condições hi- drostáticas existam na atmosfera, mostre que DALR é constante e dada por DALR 5 g(k – 1)/(kR), em que R é a constante do gás ideal para o ar. (b) Calcule o valor numérico de DALR para o ar em unidades de C/km.
PA2.6 Em líquidos “macios” (módulo de elasticidade volumé-
trica β baixo), pode ser necessário levar em conta a com- pressibilidade do líquido em cálculos hidrostáticos. Uma relação aproximada da massa específica seria
dp d a2 d ou p p
0 a2( 0)
em que a é a velocidade do som e (p0, r0) são as condi-
ções na superfície do líquido z 5 0. Use essa aproxima- ção para mostrar que a variação da massa específica com a profundidade em um líquido “macio” é r 5 r0e-gz/a2,
em que g é a aceleração da gravidade e z é positiva para cima. Depois considere uma parede vertical de largura
b, estendendo-se da superfície (z 5 0) até a profundida-
de z 5 – h. Encontre uma expressão analítica para a força hidrostática F sobre essa parede e compare-a com o resultado incompressível F 5 r0gh2b/2. O centro de
pressão estaria abaixo da posição incompressível
z 5 – 2h/3?
PA2.3
R � 5,80 m (ao centro do manômetro)
h Centro de rotação � � 6 rpm Água 7 cm
PA2.7 Veneza, na Itália, está afundando lentamente, de ma-
neira que agora, especialmente no inverno, as praças e calçadas ficam inundadas durante as tempestades. A solução proposta é o dique flutuante da Figura PA2.7. Quando cheio com ar, ele se levanta e bloqueia o mar. O dique tem 30 m de altura, 5 m de largura e 20 m de profundidade. Considere uma massa específica unifor- me de 300 kg/m3 quando flutuando. Para a diferença
mostrada de 1 m entre o mar e a laguna, calcule o ângu- lo com o qual o dique flutua.
PA2.8 Qual é a incerteza ao usar a medida da pressão como
altímetro? Um medidor no lado de um avião mede uma pressão local de 54 kPa, com uma incerteza de 3 kPa. A taxa de declínio estimada naquele dia é de 0,007 K/m, com uma incerteza de 0,001 K/m. A temperatura efeti- va ao nível do mar é de 10 C, com uma incerteza de 4 C. A pressão efetiva ao nível do mar é de 100 kPa, com uma incerteza de 3 kPa. Estime a altitude do avião e sua incerteza. Articulação Dique de contenção cheio com ar para flutuar Oceano Adriático – 25 m de profundidade em uma tempestade Canal de Veneza – 24 m de profundidade
Cheio com água – sem tempestade
PA2.7