As propriedades conservam seu significado em um escoamento que tecnicamente não está em equilíbrio? A resposta é sim, de um ponto de vista estatístico. Em gases à pressão normal (e mais ainda para líquidos), ocorre uma quantidade enorme de coli- sões moleculares em uma distância muito pequena, da ordem de 1 mm, de modo que um fluido sujeito a mudanças bruscas rapidamente se ajusta ao equilíbrio. Conside- ramos então que todas as propriedades termodinâmicas listadas anteriormente exis- tem como funções de ponto em um fluido escoando e seguem todas as leis e relações do estado de equilíbrio comum da termodinâmica. Existem, naturalmente, importan- tes efeitos de não equilíbrio, tais como as reações químicas e nucleares em fluidos es- coando, que não são tratados neste livro.
Pressão é a tensão (de compressão) em um ponto no fluido estático (Figura 1.3). Junto com a velocidade, a pressão p é a mais importante variável dinâmica em mecânica dos fluidos. Diferenças ou gradientes de pressão geralmente causam o escoamento do fluido, especialmente em dutos. Em escoamentos a baixa velocidade, a intensidade real da pressão nem sempre é importante, a menos que caia a um valor tão baixo que cause a formação de bolhas de vapor no líquido. Por conveniência, tratamos muitos dos proble- mas propostos em nível de 1 atm 5 101.300 Pa. No entanto, os escoamentos de gás a alta velocidade (compressível) (Capítulo 9) são realmente sensíveis ao valor da pressão.
A temperatura T é uma medida do nível da energia interna de um fluido. Ela pode variar consideravelmente durante um escoamento em alta velocidade de um gás (Capí- tulo 9). Embora os engenheiros usem frequentemente as escalas Celsius ou Fahrenheit por conveniência, muitas aplicações neste texto requerem escalas de temperatura ab- soluta (Kelvin ou Rankine):
ºR 5 ºF 1 459,69 K 5 ºC 1 273,16
Se as diferenças de temperatura forem grandes, a transferência de calor pode ser im- portante [20], mas nossa preocupação aqui é principalmente com os efeitos dinâmi- cos.
A massa específica de um fluido, representada por r (letra grega rô minúscula), é a sua massa por unidade de volume. A massa específica é muito variável em gases e au- menta quase proporcionalmente com a pressão. A massa específica dos líquidos é qua- se constante; a massa específica da água (aproximadamente 1.000 kg/m3) aumenta
somente 1% se a pressão for aumentada por um fator de 220. Dessa maneira, a maioria dos escoamentos de líquidos é tratada analiticamente como aproximadamente “incom- pressível”.
Em geral, os líquidos são cerca de três ordens de grandeza mais densos que os gases à pressão atmosférica. O líquido comum mais pesado é o mercúrio, e o gás mais leve é o hidrogênio. Compare suas massas específicas a 20 °C e 1 atm:
Mercúrio: r 5 13.580 kg/m3 Hidrogênio: r 5 0,0838 kg/m3
Elas diferem em um fator de 162.000! Assim, os parâmetros físicos em vários escoa- mentos de líquidos e gases podem variar consideravelmente. As diferenças geralmente são resolvidas pelo uso da análise dimensional (Capítulo 5). Outras massas específicas de fluidos estão listadas nas Tabelas A.3 e A.4 (no Apêndice A) e na Referência 21.
Pressão
Temperatura
Massa específica
O peso específico de um fluido, representado por g (letra grega gama minúscula), é seu peso por unidade de volume. Assim como a massa tem um peso P 5 mg, a massa específica e o peso específico são simplesmente relacionados pela gravidade:
g 5 rg (1.6)
As unidades de g são peso por unidade de volume, em lbf/ft3 ou N/m3. Na gravidade
padrão da Terra, g 5 9,807 m/s2. Assim, por exemplo, os pesos específicos do ar e da
água a 20°C e 1 atm são aproximadamente
gar 5 (1.205 kg/m3)(9.807 m/s2) 5 11,8 N/m3 gágua 5 (998 kg/m3)(9.807 m/s2) 5 9.790 N/m3
O peso específico é muito útil nas aplicações de pressão hidrostática do Capítulo 2. Pesos específicos de outros fluidos são dados nas Tabelas A.3 e A.4.
A densidade, representada por d, é a relação entre a massa específica do fluido e a massa específica de um fluido padrão de referência, usualmente a água a 4 °C (para lí- quidos) e o ar (para gases):
d d gás = = = r r r r r r gás ar gás 3 líquido água líquido 1,205kg/m líquido = 11 000. kg m/ 3 (1.7)
Por exemplo, a densidade do mercúrio (Hg) é dHg 5 13.580/1.000 < 13,6. Os enge- nheiros acham essas relações adimensionais mais fáceis de lembrar do que os valores numéricos reais de massa específica de vários fluidos.
Em termostática, a única energia de uma substância é aquela armazenada em um sistema por atividade molecular e forças de ligação molecular. Isso é chamado comu- mente de energia interna û. Um ajuste comumente aceito a essa situação estática para um escoamento é acrescentar mais dois termos de energia provenientes da mecânica newtoniana: a energia potencial e a energia cinética.
A energia potencial é igual ao trabalho necessário para mover o sistema de massa m da origem até uma posição vetorial r 5 ix 1 jy 1 kz contra o campo gravitacional
g. Seu valor é –mg · r, ou –g · r por unidade de massa. A energia cinética é igual ao
trabalho necessário para variar a velocidade da massa de zero até a velocidade V. Seu valor é 1
2 mV 2 ou 12V 2 por unidade de massa. Então, por convenção, a energia total
armazenada e por unidade de massa em mecânica dos fluidos é a soma desses três ter- mos:
e u= +^ 1V ( ◊ )
2 2 + -g r (1.8)
Além disso, neste livro, definiremos o sentido positivo de z para cima, tal que g 5 –gk e g · r 5 –gz. A Equação (1.8) torna-se, então,
e u= +^ 1V +
2 2 gz (1.9)
A energia interna molecular û é uma função de T e p para substâncias puras de uma única fase, ao passo que as energias potencial e cinética são grandezas cinemáticas.
Peso específico
Densidade
Sabemos que as propriedades termodinâmicas estão relacionadas entre si teórica e ex- perimentalmente por relações de estado que diferem para cada substância. Conforme já mencionamos, vamo-nos limitar aqui a substâncias puras de uma única fase, como, por exemplo, a água em sua fase líquida. O segundo fluido mais comum, o ar, é uma mistura de gases, mas como as relações da mistura permanecem aproximadamente constantes entre 160 K e 2.200 K, nessa faixa de temperatura o ar pode ser considerado uma substância pura.
Todos os gases a altas temperaturas e a baixas pressões (relativas ao seu ponto crítico) estão em boa concordância com a lei dos gases perfeitos.
p 5 rRT R 5 cp – cv 5 constante do gás (1.10)
em que os calores específicos cp e cv estão definidos nas Equações (1.14) e (1.15). Como a Equação (1.10) é dimensionalmente consistente, R tem as mesmas dimen- sões que o calor específico, {L2T –2–1}, ou velocidade ao quadrado por unidade de
temperatura (Kelvin). Cada gás tem sua própria constante R, igual a uma constante universal Λ dividida pelo peso molecular
R M
gás
gás
= (1.11)
em que 5 8.314 kJ/(kmol · K). A maioria das aplicações neste livro é para o ar, cujo peso molecular é M 5 28,97/mol:
Rar kJ kmol mol s Km = ◊ = ◊ 8 314 28 97 287 2 2 . /( , / K) (1.12)
A pressão atmosférica padrão é 101.300 Pa, e a temperatura padrão é 15 °C 5 288 K. Assim a massa específica padrão do ar é
rar =
◊ ◊ =
101 300
287m s K2/( 2. )Pa288K 1 22, kg m/ 3 (1.13)
Esse é um valor nominal adequado a problemas. Para outros gases, veja a Tabela A.4.
Demonstra-se em termodinâmica que a Equação (1.10) requer que a energia inter- na molecular û de um gás perfeito varie somente com a temperatura: û 5 û(T). Portan- to o calor específico cv também varia somente com a temperatura:
c u T dudT c T d u c T dT v ^ ^ v ^ v = ÊËÁÁ ˆ¯˜˜ = = = ∂ ∂ r ( ) ( ) (1.14) ou
De maneira semelhante, h e cp de um gás perfeito também variam somente com a tem- peratura: h p RT h T c h T dTdh c T dh c T dT p p p p = = = = u^+ u^ Ê Ë ˆ¯ r = = ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ + = (1.15)
A razão entre os calores específicos de um gás perfeito é um parâmetro adimensional importante na análise de escoamento compressível (Capítulo 9)
k c
cvp k T
= = ( ) 1 (1.16)
Relações de estado para gases
Como primeira aproximação na análise de escoamento de ar, consideramos comumen- te cp, cv e k como constantes: kar < 1,4 c R k c kR k v p = = = = - ◊ - ◊ 1 1 718 m /(s K) 1.005 m /(s K) 2 2 2 2 (1.17)
Na verdade, para todos os gases, cp e cv aumentam gradualmente com a temperatura e k diminui gradualmente. A Figura 1.5 mostra valores experimentais da razão entre ca- lores específicos para oito gases comuns.
Muitos problemas de escoamento envolvem vapor. As condições típicas de opera- ção do vapor são relativamente próximas ao ponto crítico, de modo que a aproximação de gás perfeito é imprecisa. Como não há fórmulas simples que possam ser aplicadas com precisão, as propriedades do vapor estão disponíveis no software EES (veja a Seção 1.12) e em um CD-ROM [23] e até na Internet, na forma de um aplicativo MathPad Corp. [24]. Por outro lado, o erro de utilizar a lei dos gases perfeitos pode ser moderado, como mostra o exemplo a seguir.
Figura 1.5 Razão entre calores
específicos de oito gases comuns em função da tempera- tura. [Dados da Referência 22]
Argônio Pressão atmosférica H2 CO Ar e N2 O2 Vapor CO2 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 1000 0 3000 4000 5000 = k ccp 2000 Temperatura, ∞R (1 K = 1,8∞R) u
EXEMPLO 1.5
Calcule r e cp do vapor a 689,48 kPa e 204 oC, (a) pela aproximação de gás perfeito e (b) pelas
tabelas de vapor da ASME [23] ou pelo EES.
Solução
Abordagem (a) – lei dos gases perfeitos:
• Embora o vapor não seja um gás ideal, podemos estimar essas propriedades com precisão razoável por meio das Equações (1.10) e (1.17). Use a temperatura absoluta, (204 °C 1 273) 5 477 K. Da Tabela A.4, o peso molecular da água (H2O) é 18,02, então, a constante do gás do vapor é
R M vapor H O 2 2 2 kJ/(kmol.K mol m /(s .K) = � = 8 314 = 18 02 461 38 . ) , / ,
Então, da lei dos gases perfeitos resulta a massa específica, Equação (1.10):
r� p RT = 461 38689 480 477 =3 13 . , , N/m m /(s .K) K kg/m 2 2 2 ◊ 3 Resposta (a)
A 477 K, da Figura 1.5, kvapor 5 cp /cv < 1,30. Então, da Equação (1.17),
c kR
k
p� -1=1 3 461 38, ◊ ,1 3 1, -m /(s .K) �1 999 31. , 2 2
2 2
m /(s .K) Resposta (a) Abordagem (b) — tabelas ou software:
• Podemos consultar as tabelas de vapor ou progra- mar algumas linhas no software EES. Ao usar o software EES, certifique-se de que o menu
Variable Information especifica as unidades no SI: kPa e oC. As instruções do EES para
avaliação da massa específica e calor específico do vapor são, para essas condições, Rho 5 DENSITY (steam; P 5 689,48; T 5 204)
Cp 5 SPECHEAT(steam; P 5 689,48; T 5 204)
Observe que o software está configurado para kPa e °C, sem necessidade de conversão. O software EES retorna os valores de ajuste da curva
Rho 5 3,25 kg/m3 ; Cp 5 2,216 kJ/(kg.K)
Comentários:
• As tabelas de vapor dariam resultados muito próximos aos do EES. A esti- mativa de r pela lei dos gases perfeitos é 4% menor, e a estimativa de cp é 9% menor. A
principal razão para a discrepância é que essa temperatura e pressão estão razoavelmente próximas do ponto crítico e da linha de saturação do vapor. A temperaturas mais altas e pres- sões mais baixas, digamos, 450 °C e 340 kPa, a lei dos gases perfeitos resulta em proprieda- des com uma precisão de aproximadamente ± 1%.
O autor desconhece qualquer “lei dos líquidos perfeitos” comparável àquela dos gases perfeitos. Os líquidos são quase incompressíveis e têm um único calor especí- fico razoavelmente constante. Dessa maneira uma relação de estado idealizada para um líquido é
r < constante cp < cv < constante dh < cp dT (1.18) A maioria dos problemas de escoamento neste livro pode ser resolvida com essas hipó- teses simples. Normalmente se considera a água com uma massa específica igual a 998 kg/m3 e um calor específico c
p 5 4.210 m2/(s2 · K). Podem ser usadas as tabelas de
vapor se for necessária uma maior precisão.
A massa específica de um líquido usualmente decresce ligeiramente com a tempe- ratura e cresce moderadamente com a pressão. Se desprezarmos o efeito da temperatu- ra, uma relação empírica pressão-massa específica para um líquido é
p pa B a B n ( + Ê) ËÁ ˆ¯˜ - 1 rr (1.19)
em que B e n são parâmetros adimensionais que variam ligeiramente com a temperatu- ra e pa e ra são valores para a atmosfera padrão. Para a água podemos estabelecer aproximadamente os valores B < 3.000 e n < 7.
A água do mar é uma mistura variável de água e sal e portanto requer três pro- priedades termodinâmicas para definir seu estado. Essas propriedades normalmente são a pressão, a temperatura e a salinidade ^S, definida como o peso do sal dissolvido dividido pelo peso da mistura. A salinidade média da água do mar é 0,035, escrita usualmente como 35 partes por 1.000, ou 35‰. A massa específica média da água do mar é 2,00 slugs/ft3 < 1.030 kg/m3. Rigorosamente falando, a água do mar tem três
calores específicos, todos aproximadamente iguais aos valores para a água pura, de 25.200 ft2/(s2 · R) 5 4.210 m2/(s2 · K).
Relações de estado para líquidos
EXEMPLO 1.6
A pressão na parte mais profunda do oceano é aproximadamente 1.100 atm. Calcule a massa específica da água do mar em kg/m3 nessa pressão.
Solução
A Equação (1.19) vale tanto para a água pura quanto para a água do mar. A razão p/pa é
1.100: 1 100. �( .3 001) rr 7 3 000. a Ê ËÁ ˆ¯˜ - ou r ra = ÊË ˆ ¯ = 4 100 3 001 1 046 1 7 . . , /
Supondo uma densidade média da água do mar na superfície ra 5 1.030 kg/m3, calculamos
r < 1,046(1.030) 5 1.077,38 kg/m3 Resposta Mesmo nessas pressões imensas, o aumento da massa específica é menor que 5%, o que justi- fica o tratamento de um escoamento de líquido como essencialmente incompressível.
Figura 1.6 As tensões de
cisalhamento causam deforma- ções tangenciais contínuas em um fluido: (a) um elemento de fluido deformando a uma taxa de du/dt; (b) distribuição de velocidade em uma camada cisalhada próxima a uma parede.
As grandezas como pressão, temperatura e massa específica discutidas na seção anterior são variáveis termodinâmicas primárias características de qualquer sistema. Existem também certas variáveis secundárias que caracterizam o comportamento me- cânico de um fluido específico. A mais importante delas é a viscosidade, que relaciona as tensões locais em um fluido em movimento com a taxa de deformação por cisalha- mento do elemento de fluido.
A viscosidade é uma medida quantitativa da resistência de um fluido ao escoamen- to. Mais especificamente, ela determina a taxa de deformação do fluido que é gerada pela aplicação de uma dada tensão de cisalhamento. Podemo-nos mover facilmente através do ar, que tem uma viscosidade muito baixa. O movimento é mais difícil na água, que tem uma viscosidade 50 vezes maior. Encontra-se uma resistência ainda maior no óleo SAE 30, que é 300 vezes mais viscoso do que a água. Tente mover sua mão através da glicerina, que é 5 vezes mais viscosa do que o óleo SAE 30, ou dos melaços de cana-de-açúcar, com um valor 5 vezes maior que a glicerina. Os fluidos podem ter uma ampla gama de viscosidades.
Considere um elemento de fluido sob cisalhamento em um plano por uma única tensão de cisalhamento τ, como na Figura 1.6a. O ângulo de deformação devido ao cisalhamento du cresce continuamente com o tempo enquanto a tensão τ for mantida, a superfície superior move-se com uma velocidade du maior que a inferior. Fluidos comuns como água, óleo e ar apresentam uma relação linear entre a tensão de cisalha- mento aplicada e a taxa de deformação resultante:
t∝du dt (1.20)
1.9 Viscosidade e outras
propriedades secundárias
Viscosidade (b) (a) q d du dt dq dt t µ d u = u u = 0 dx t u(y) y t = dudy du dy Sem deslizamento na parede Perfil de velocidades d y 0 m q dDa geometria da Figura 1.4a, vemos que
tg du d d
d = u t
y (1.21)
Tomando-se o limite da variação infinitesimal, a equação acima se torna a relação entre a taxa de deformação e o gradiente de velocidade:
du
dt = dudy (1.22)
Da Equação (1.20), então, a tensão de cisalhamento aplicada é também proporcional ao gradiente de velocidade para os fluidos lineares comuns. A constante de proporcio- nalidade é o coeficiente de viscosidade m:
t= mdu = m
dt dudy (1.23)
A Equação (1.23) é dimensionalmente consistente; portanto m tem dimensões de ten- são-tempo: {FT/L2} ou {M/(LT)}. As unidades no SI são quilogramas por metro-se-
gundo. Os fluidos lineares que seguem a Equação (1.23) são chamados de fluidos newtonianos, em homenagem a Sir Isaac Newton, que enunciou pela primeira vez essa lei de resistência em 1687.
Na verdade, não nos importamos realmente com o ângulo de deformação u(t) em mecânica dos fluidos, concentrando-nos na distribuição de velocidades u(y), como na Figura 1.6b. Usaremos a Equação (1.23) no Capítulo 4 para deduzir uma equação dife- rencial para determinar a distribuição de velocidades u(y) — e, de uma forma mais geral, V(x, y, z, t) — em um fluido viscoso. A Figura 1.6b ilustra uma camada cisalha- da, ou camada-limite, junto a uma parede sólida. A tensão de cisalhamento é propor- cional à inclinação do perfil de velocidade e é maior junto à parede. Além disso, na parede, a velocidade u é zero em relação à parede: essa é chamada de condição de não escorregamento e é característica de todos os escoamentos de fluidos viscosos.
A viscosidade de fluidos newtonianos é uma verdadeira propriedade termodinâmi- ca e varia com a temperatura e a pressão. Em um dado estado (p, T), há uma vasta gama de valores entre os fluidos comuns. A Tabela 1.4 lista a viscosidade de oito fluidos à pressão e à temperatura padrão. Há uma variação de seis ordens de grandeza desde o hidrogênio até a glicerina. Assim haverá amplas diferenças entre fluidos submetidos às mesmas tensões aplicadas.
De uma forma geral, a viscosidade de um fluido aumenta ligeiramente com a pres- são. Por exemplo, aumentando p de 1 para 50 atm, a viscosidade m do ar aumentará em apenas 10%. Fluido m, kg/(m · s)† m/m(HRazão 2) r kg/m3 mν2/s ν/ν(Hg)Razão
Hidrogênio 9,0 E-6 1,0 0,084 1,05 E-4 910
Ar 1,8 E-5 2,1 1,20 1,50 E-5 130
Gasolina 2,9 E-4 33 680 4,22 E-7 3,7
Água 1,0 E-3 114 998 1,01 E-6 8,7
Álcool etílico 1,2 E-3 135 789 1,52 E-6 13
Mercúrio 1,5 E-3 170 13.550 1,16 E-7 1,0
Óleo SAE 30 0,29 33.000 891 3,25 E-4 2.850
Glicerina 1,5 170.000 1.260 1,18 E-3 10.300
Tabela 1.4 Viscosidade
dinâmica e cinemática de oito fluidos a 1 atm e 20 °C
No entanto, a temperatura tem um forte efeito, com m aumentando com T para gases e diminuindo para líquidos. A Figura A.1 (no Apêndice A) mostra essa variação de tem- peratura para vários fluidos comuns. É habitual, na maioria dos trabalhos de engenha- ria, desprezar a variação da viscosidade com a pressão.
A variação m(p, T) para um fluido típico está bem representada pela Figura 1.7, da Referência 25, que normaliza os dados com o estado do ponto crítico (mc, pc, Tc). Esse
comportamento, chamado de princípio de estados correspondentes, é característico de todos os fluidos, mas os valores numéricos reais têm uma incerteza de 20% para qualquer fluido. Por exemplo, valores de m(T) para o ar a 1 atm, da Tabela A.2, caem cerca de 8% abaixo do “limite de baixa densidade” na Figura 1.7.
Observe na Figura 1.7 que as variações com a temperatura ocorrem muito rapida- mente próximo ao ponto crítico. Em geral, as medidas no ponto crítico são extremamen- te difíceis e imprecisas.
O principal parâmetro que correlaciona o comportamento viscoso de todos os flui- dos newtonianos é o adimensional número de Reynolds:
Re = r = m VL VL v (1.24) O número de Reynolds Figura 1.7 Viscosidade
adimensionalizada dos fluidos com relação às propriedades do ponto crítico. Esse gráfico generalizado é característico de todos os fluidos, mas sua precisão é somente de 20%. [Da Referência 25.] 0,4 = c r m Tr T c = T m m 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 1 0,9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,6 0,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Líquido Região bifásica Ponto crítico 0,5 0 pr = p/pc = 0,2
Limite de baixa densidade 1 2 3 5 10 25 Gás denso
em que V e L são escalas de velocidade e de comprimento características do escoamen- to. A segunda forma de Re ilustra que a razão entre m e r tem seu próprio nome, que é a viscosidade cinemática:
v = m
r (1.25)
Ela é chamada de cinemática porque a unidade de massa não aparece, ficando somente as dimensões {L2/T}.
Geralmente, a primeira coisa que um engenheiro da área de fluidos deve fazer é estimar o intervalo do número de Reynolds do escoamento em estudo. Número de Reynolds Re muito baixo indica movimento viscoso muito lento, no qual os efeitos da inércia são desprezíveis. Número de Reynolds Re moderado implica escoamento laminar com variação suave. Número de Reynolds Re alto provavelmente indica escoamento turbulento, que pode variar lentamente no tempo, mas impõe fortes flutuações randô- micas de alta frequência. Não é possível definir aqui valores numéricos explícitos para números de Reynolds baixo, moderado e alto. Eles dependem da geometria do escoa- mento e serão discutidos nos Capítulos 5 a 7.
A Tabela 1.4 também lista valores de ν para os mesmos oito fluidos. A ordem de grandeza muda consideravelmente, e o mercúrio, o mais pesado, tem a menor viscosi- dade em relação ao seu próprio peso. Todos os gases têm alta ν em relação aos líquidos pouco viscosos, como a gasolina, a água e o álcool. O óleo e a glicerina ainda têm a ν mais alta, mas a relação é menor. Para dados valores de V e L em um escoamento, esses fluidos apresentam uma variação de quatro ordens de grandeza no número de Reynolds.
Um problema clássico é o escoamento induzido entre uma placa inferior fixa e uma placa superior, que se move uniformemente à velocidade V, como mostra a Figura 1.8. O espaçamento entre as placas é h, e o fluido é newtoniano e não apresenta escorrega- mento com relação às placas. Se as placas são largas, esse movimento cisalhado per- manente terá uma distribuição de velocidades u(y), como mostra a figura, com ν 5 w 5 0. A aceleração do fluido é zero em todo o escoamento.
Com aceleração zero e supondo que não haja variação de pressão na direção do escoamento, podemos mostrar que um balanço de forças sobre um pequeno elemento de fluido resulta em que a tensão de cisalhamento é constante através do fluido. Então a Equação (1.23) torna-se
du
dy = =
t
m constante
Escoamento entre placas
Figura 1.8 Escoamento viscoso
induzido pelo movimento relativo entre duas placas paralelas. y x h u(y) V Placa móvel: u = V Fluido viscoso u = V u = 0 Placa fixa
que podemos integrar para obter
u 5 a 1 by
A distribuição de velocidade é linear, como representa a Figura 1.8, e as constantes a e b podem ser calculadas com base na condição de não escorregamento nas paredes su- perior e inferior: u a b y V a b h y h = + + Ï Ì Ó 0= 0 =0 = = ( ) ( ) em em
Portanto, a 5 0 e b 5 V/h. Assim, o perfil de velocidade entre as placas é dado por
u V y h
= (1.26)
como indica a Figura 1.8. O escoamento turbulento (Capítulo 6) não apresenta essa forma.
Embora a viscosidade tenha um forte efeito sobre o movimento do fluido, as ten- sões viscosas reais são muito pequenas numericamente, mesmo para óleos, como mos- tra o exemplo a seguir.
EXEMPLO 1.7
Suponha que o fluido que está sendo cisalhado na Figura 1.8 seja o óleo SAE 30 a 20 °C. Cal- cule a tensão de cisalhamento no óleo se V 5 3 m/s e h 5 2 cm.
Solução
Esboço do sistema:
• Foi mostrado anteriormente na Figura 1.8.
Hipóteses:
• Perfil de velocidade linear, fluido newtoniano laminar, não há escorregamento