O teorema da quantidade de movimento angular

14 _{Essa seção pode ser omitida sem perda de continuidade.}

Senão, os momentos em relação ao ponto O dos termos da aceleração a_rel da Equação (3.49) também deverão ser incluídos

a Mo a (r F)o

VC

(r arel) dm (3.53)

em que os quatro termos constituintes de a_rel são dados na Equação (3.49). Logo, o caso mais geral do teorema da quantidade de movimento angular ocorre para um volu- me de controle deformável associado a um sistema de coordenadas não inercial. Com- binando as equações (3.52) e (3.53), obtemos

(3.54) a (r F)o

VC

(r arel) dm d

dt c _VC (r V) d d _SC (r V) (Vr n) dA Para um volume de controle inercial não deformável, isso se reduz a

a M0 _t c

VC

(r V) d d

SC

(r V) (V n) dA (3.55)

Além disso, se as entradas e saídas podem ser consideradas unidimensionais, os termos de fluxo de quantidade de movimento angular calculados sobre a superfície de controle são:

SC

(r V) (V n) dA _{a (r} V)sai m˙sai a (r V)ent m˙ent (3.56)

Nesse estágio, embora o teorema da quantidade de movimento angular possa ser consi- derado um tópico suplementar, ele tem aplicação direta em muitos problemas importan- tes de escoamento de fluidos envolvendo torques e momentos. Um caso particularmente importante é a análise de dispositivos rotativos com escoamento de fluidos, usualmente chamados de turbomáquinas (Capítulo 11).

EXEMPLO 3.13

Como mostra a Figura E3.13a, uma curva de tubulação é apoiada no ponto A e conectada a um sistema de escoamento por meio de acoplamentos flexíveis nas seções 1 e 2. O fluido é incom- pressível e a pressão ambiente pa é zero. (a) Encontre uma expressão para o torque T que deve

ser resistido pelo suporte em A, em termos das propriedades do escoamento nas seções 1 e 2 e das distâncias h1 e h2. (b) Calcule esse torque para D1 5 D2 5 75 mm, p1 5 690 kPa mano-

métrica, p2 5 552 kPa manométrica, V1 5 12 m/s, h1 5 50 mm, h2 5 250 mm e r 5 1000 kg/

m3_. p₁, V₁, A₁ 1 p_a = 0 = constante V₂, A₂, p₂ h₂ h₁ A 2 � Figura E3.13a

Solução

O volume de controle escolhido na Figura E3.13b corta as seções 1 e 2 e o suporte em A, onde se deseja calcular o torque TA. A descrição dos acoplamentos flexíveis especifica que não há

torque nas seções 1 e 2, cujos cortes portanto não exporão momentos. Para os termos de quan- tidade de movimento angular r  V, r deve ser calculado desde o ponto A até as seções 1 e 2. Observe que ambas as forças de pressão manométrica, p1A1 e p2A2, terão momentos em relação

a A. A Equação (3.55), com termos de fluxo unidimensionais, torna-se

(r2 V2)( m˙sai) (r1 V1)( m˙ent) a MA TA r1 ( p1A1n1) r2 ( p2A2n2)

(1)

A Figura E3.13c mostra que todos os produtos vetoriais estão associados com r1 sen u1 5 h1 ou

a r2 sen u2 5 h2, as distâncias perpendiculares entre o ponto A e os eixos do tubo em 1 e 2.

Lembre-se de que m˙ent 5 m˙sai da relação de continuidade para escoamento permanente. Em

termos de momentos anti-horários, a Equação (1) torna-se

TA p1A1h1 p2A2h2 m˙(h2V2 h1V1) (2) Reescrevendo essa expressão, encontramos o torque desejado como

TA h2(p2A2 m˙V2) h1(p1A1 m˙V1) Resposta (a) (3) no sentido anti-horário. As grandezas p1 e p2 são pressões manométricas. Observe que esse

resultado é independente da forma da curva do tubo e varia somente com as propriedades nas seções 1 e 2 e com as distâncias h1 e h2.15

VC V₂ T_A V₁ A r₁ r₂ p₁A₁ p₂A₂ r₁ V₁ = h₁ V₁ r₂ V₂ = h₂ V₂ � � 2 1 r₂ r₁ V₂ V₁ h₂ = r₂sen h₁ = r₁sen � � 2 1

Figura E3.13b Figura E3.13c

’ h1 2 in 2 12 ft h2 10 in 10 12 ft 1.94 slug ft3 D1 D2 3 in 0.25 ft p1 100 lbf in2 14,400 lbf ft2 p2 80 lbf in2 11,520 lbf ft2 Parte (a) Parte (b)

15_{Indiretamente, a forma da curva do tubo provavelmente afeta a variação de pressão de p} 1 para p2. 3.5 O teorema da quantidade de movimento angular 181

As áreas na entrada e na saída são as mesmas: A1 5 A2 5 p/4 (0,075)2 5 4,42  1023 m2.

Como a densidade é constante, concluímos da conservação de masssa que V2 5 V1 5 12 m/s.

O fluxo de massa é

m˙ A1V1 1.000 (0,00442)(12) � 53,04 kg/s

Cálculo do torque:

• Os dados podem ser substituídos na Equação (3):

769,08 � 184,31 � 584,77 N � m anti-horário TA (0,25) 3552 � 103(4,42 � 10�3) � 53,04(12)4

� (0,05) 3690 � 103 _{(4,42 � 10}�3 _{� 53,04(12)4}

Resposta (b)

EXEMPLO 3.14

A Figura 3.12 mostra um esquema de uma bomba centrífuga. O fluido entra axialmente e passa pelas pás da bomba, que giram com velocidade angular ; a velocidade do fluido varia de V1

até V2 e a pressão de p1 até p2. (a) Encontre uma expressão para o torque TO que deve ser apli-

cado pelas pás para manter esse escoamento. (b) A potência fornecida à bomba seria P 5 TO.

Para uma ilustração numérica, suponha r₁ 5 0,2 m, r₂ 5 0,5 m e b 5 0,15 m. Considere a bomba com rotação igual a 600 rpm, bombeando água a 2,5 m3_{/s com uma massa específica de}

1.000 kg/m3_{. Calcule o torque e a potência fornecidos.}

1 2 � Pá Forma da pá da bomba Largura b VC Fluxo de entrada z,k r₁ r₂ r O Pá V_n2 V_t2 V_n1 V_t1

Figura 3.12 Esquema simplifica-

Solução

Parte (a) Escolhe-se o volume de controle coincidente com a região anular entre as seções 1 e 2, onde o escoamento passa pelas pás da bomba (Figura 3.12). O escoamento é permanen- te e admitido como incompressível. A contribuição das pressões para o torque em torno do eixo O é zero, pois as forças de pressão em 1 e 2 agem radialmente através de O. A Equação (3.55) torna-se

a Mo To (r2 V2)m˙sai (r1 V1)m˙ent (1) em que a continuidade para escoamento permanente nos diz que

m˙ent Vn12 r1b m˙sai Vn22 r2b Q

O produto vetorial r  V resulta horário em torno de O em ambas as seções:

r1 V1 r1Vt1k horário

(r2 V2) r2Vt2 sen 90 k r2Vt2k horário

A Equação (1) torna-se então a fórmula desejada para o torque horário

To Q(r2Vt2 r1Vt1)k Resposta (a) (2a)

Essa relação é conhecida como equação de Euler das turbomáquinas. Em uma bomba ideali- zada, as velocidades tangenciais na entrada e na saída coincidiriam com as velocidades tangen- ciais das pás, Vt1 5 vr1 e Vt2 5 vr2. Assim, a fórmula para o torque fornecido torna-se

To Q (r22 r21) horário (2b)

Convertemos v para 600(2p/60) 5 62,8 rad/s. As velocidades normais não são necessárias aqui, mas resultam da vazão volumétrica

Vn2 Q 2 r2b 2,5 2 ˛(0,5)˛(0,15) 5,3 m/s Vn1 Q 2 r1b 2,5 m3_/s 2 ˛(0,2 m)(0,15 m) 13,3 m/s

Para entrada e saída idealizadas, as velocidades tangenciais do fluido igualam-se às da pá

Vt1 5 vr1 5 (62,8 rad/s)(0,2 m) 5 12,6 m/s

Vt2 5 vr2 5 (62,8)(0,5) 5 31,4 m/s

A Equação (2a) prediz o torque requerido como

To 5 (1.000 kg/m3)(2,5 m3/s)[(0,5 m)(31,4 m/s) – (0,2 m)(12,6 m/s)]

5 33.000 (kg  m2_)/s2 _{5 33.000 N  m Resposta}

A potência requerida é

P 5 v To 5 (62,8 rad/s)(33.000 N  m) 5 2.070.000 (N  m)/s

5 2,07 MW (2.780 hp) Resposta

Na prática, as velocidades tangenciais reais são significativamente menores que as velocidades do rotor, e a potência de projeto requerida para essa bomba poderia ser de 1 MW, ou menos. Parte (b)

EXEMPLO 3.15

A Figura 3.13 mostra o braço de um irrigador de gramados, visto de cima. O braço gira em torno de O com velocidade angular constante, . A vazão volumétrica na entrada do braço em

O é Q, e o fluido é incompressível. Existe um torque resistente em O, devido ao atrito no man-

cal, igual a 2TOk. Encontre uma expressão para a rotação  em termos do comprimento do

braço e das propriedades do escoamento.

Solução

A velocidade na entrada é V0k, em que V0 5 Q/Atubo. A Equação (3.55) somente se aplica ao

volume de controle esboçado na Figura 3.14 se V for a velocidade absoluta, em relação a um referencial inercial. Logo, a velocidade na saída, seção 2, é

V₂ 5 V0i 2 Ri

Para escoamento permanente, a Equação (3.55) prevê que

a Mo Tok (r2�V2)m˙sai (r1�V1)m˙ent (1) em que, da continuidade, m˙sai m˙ent Q. Os produtos vetoriais relativos ao ponto O são

r1 V1 0j V0k 0

r2�V2 Rj (V0 R )i (R2 RV0)k

�

� � A Equação (1) torna-se, então

Vo R To QR2 Tok Q(R2 RVo)k Resposta

O resultado pode ser surpreendente para você: mesmo que o torque resistente T0 seja desprezí-

vel, a velocidade angular do braço é limitada pelo valor Vo/R imposto pela velocidade na saída

e pelo comprimento do braço.

Figura 3.13 Vista de cima de um

dos braços do irrigador rotativo.

y x R � 2 Velocidade absoluta de saída V2 = V0i – R�i VC Torque resistente T0 O V0 = Q Atubok Velocidade de entrada

Como nossa quarta e última lei básica, vamos aplicar o teorema de transporte de Reynolds (3.12) à primeira lei da termodinâmica, Equação (3.5). A variável muda B torna-se a energia E, e a energia por unidade de massa é b 5 dE/dm 5 e. A Equação (3.5) pode ser escrita para um volume de controle fixo, como se segue:17

dQ dt dW dt dE dt d dt a _VCe d b _SC e (V n) dA (3.57) Relembre que Q positivo significa calor adicionado ao sistema e que W positivo signi- fica trabalho realizado pelo sistema.

A energia do sistema por unidade de massa, e, pode ser de diversos tipos: e 5 e_interna 1 e_cinética 1 e_potencial 1 e_outras

16 _{Você deve ler essa seção para sua informação e enriquecimento, mesmo que lhe falte base formal em}

termodinâmica.

17 _{A equação da energia para um volume de controle deformável é bastante complicada e não é discutida}

aqui. Para mais detalhes, consulte as referências 4 e 5.

3.6 A equação

em que e_outras poderia englobar reações químicas ou nucleares e efeitos de campos eletrostáticos e magnéticos. Aqui, vamos desprezar e_outras e considerar apenas os três primeiros termos, conforme discutido na Equação (1.9), com z definido para cima:

e û 12V2 gz (3.58)

Os termos de calor e trabalho poderiam ser examinados em detalhe. Se este fosse um livro de transferência de calor, dQ/dt seria subdividido em efeitos de condução, convecção e radiação e capítulos inteiros seriam escritos sobre cada um (por exemplo, ver Referên- cia 3). Aqui, vamos deixar o termo como está e considerá-lo apenas ocasionalmente.

Usando por conveniência o “ponto em cima” para denotar derivadas temporais, dividiremos o termo de trabalho em três partes:

W˙ W˙eixo W˙pressão W˙tensões viscosas W˙e W˙p W˙

O trabalho das forças gravitacionais já foi incluído na forma de energia potencial na Equação (3.58). Outros tipos de trabalho, p. ex., aqueles devido a forças eletromagné- ticas, são excluídos aqui.

O trabalho de eixo isola aquela porção de trabalho que é deliberadamente realizada por uma máquina (rotor de uma bomba, pá de um ventilador, pistão etc.) prolongando- se através da superfície de controle para dentro do volume de controle. Especificações adicionais para W˙e são desnecessárias neste ponto, mas cálculos do trabalho realizado

por turbomáquinas serão efetuados no Capítulo 11.

A taxa de trabalho W˙p realizada pelas forças de pressão ocorrem apenas na super-

fície; todos os trabalhos das porções internas de material no volume de controle reali- zam-se por forças iguais e opostas e se cancelam. O trabalho de pressão é igual ao produto da força de pressão sobre um elemento de superfície dA pelo componente normal da velocidade entrando no volume de controle:

dW˙p (p dA)Vn, ent p( V n) dA

O trabalho total de pressão é a integral sobre a superfície de controle: W˙p

SC

p(V n) dA (3.59)

Uma nota de advertência: se parte da superfície de controle coincidir com parte da superfície de uma máquina, vamos preferir delegar o trabalho de pressão dessa porção para o termo de trabalho de eixo ,W˙e não para ,W˙p. O objetivo principal disso é isolar os

termos de trabalho de pressão do escoamento do fluido.

Finalmente, o trabalho de cisalhamento devido às tensões viscosas ocorrem na superfície de controle, com os termos de trabalho interno cancelando-se novamente, e consiste do produto de cada tensão viscosa (uma normal e duas tangenciais) pelo res- pectivo componente de velocidade:

ou W˙

SC

V dA

dW˙ V dA

(3.60) em que  é o vetor de tensões sobre o elemento de superfície dA. Esse termo pode de- saparecer ou ser desprezível, de acordo com o tipo particular de superfície naquela parte do volume de controle:

Superfície sólida. Para todas as partes da superfície de controle que são paredes sólidas de confinamento, V 5 0, devido à condição de não deslizamento; logo, W˙ 5 zero, identicamente.

Superfície de uma máquina. Aqui, o trabalho viscoso é uma contribuição da má- quina, de modo que incluímos esse trabalho no termo .W˙e

Entradas ou saídas. Em uma entrada ou saída, o escoamento é aproximadamente normal ao elemento dA; logo, o único termo viscoso vem das tensões normais, _nnV_ndA. Uma vez que as tensões viscosas normais são extremamente peque- nas na grande maioria dos casos, exceto em casos raros, tais como no interior de uma onda de choque, é costume desprezar o trabalho viscoso nas entradas e saídas do volume de controle.

Superfície de corrente. Se a superfície de controle corresponde a uma linha de corrente, tal como a curva superior na análise de camada-limite da Figura 3.11, o termo de trabalho viscoso deve ser avaliado e retido, caso as tensões de cisa- lhamento forem significativas ao longo dessa linha. No caso particular da Fi- gura 3.11, a linha de corrente fica fora da camada-limite, e o trabalho viscoso é desprezível.

O resultado líquido da discussão anterior é que o termo de taxa de trabalho da Equação (3.57) consiste essencialmente em

W˙ W˙e

SC

p(V n) dA

SC

( V)SC dA (3.61)

em que o subscrito SC refere-se a uma superfície de corrente. Quando introduzimos (3.61) e (3.58) em (3.57), verificamos que o termo de trabalho de pressão pode ser combinado com o termo de fluxo de energia, uma vez que ambos envolvem integrais de superfície de V  n. A equação da energia para um volume de controle torna-se

Q˙ W˙e W˙ _t a

VC

e d b

SC

ae pb (V n) dA (3.62) Usando e de (3.58), vemos que a entalpia hˆ û p/ ocorre na integral da superfície de controle. A forma geral final da equação da energia para um volume de controle fixo torna-se Q˙ W˙e W˙ _t c VC aû 12V2 gzb d d SC ahˆ 1 2V2 gzb (V n) dA (3.63) Conforme mencionado, o termo de trabalho de cisalhamento W˙ raramente é importante.

Se o volume de controle tem uma série de entradas e saídas unidimensionais, como na Figura 3.5, a integral de superfície em (3.63) se reduz a um somatório de fluxos de saída menos fluxos de entrada:

a 1hˆ 12V2 gz2saim˙sai a 1hˆ 12V2 gz2entm˙ent SC

1hˆ 12V2 gz2 (V n) dA

(3.64) em que os valores de hˆ, V1 2_,

2 e gz são tomados como valores médios sobre cada seção

transversal.

Termos de fluxo de energia unidimensionais

EXEMPLO 3.16

Uma máquina de escoamento permanente (Figura E3.16) recebe ar na seção 1 e o descarrega nas seções 2 e 3. As propriedades de cada seção são as seguintes:

Seção A, cm2 _{Q, l/s T,°C p, kPa abs z, cm}

1 371,6 2.832 21 137,90 30,5

2 929 1.133 38 206,84 121,9

3 232,3 1.416 93 ? 45,7

Trabalho é fornecido para a máquina a uma taxa de 150 hp. Encontre a pressão p3 em kPa ab-

soluta e a transferência de calor Q˙ em W. Considere que o ar é um gás perfeito com R 5 287 m2_/(s2 _{ K) e c}

p 5 1.004 m2/(s2  K).

Solução

Esboço do sistema:

• A Figura E3.16 mostra a entrada 1 (fluxo negativo) e as saídas 2 e 3 (fluxos positivos).

Hipóteses:

• Escoamento permanente, entradas e saídas unidimensionais, gás perfeito, traba- lho de cisalhamento desprezível. O escoamento não é incompressível. Observe que Q1  Q2

1 Q3 porque as densidades são diferentes.

Abordagem:

• Calcule as velocidades, massas específicas e entalpias e substitua na Equação (3.63). Use unidades do SI para todas as propriedades, incluindo as pressões. Com Qi dado,

calculamos Vi 5 Qi/Ai: V1 2,832 0,03716 76,21 m/s V2 1,131 0,0929 12,17 m/s V3 1,416 0,02323 60,96 m/s As massas específicas nas seções 1 e 2 são obtidas pela lei dos gases perfeitos:

2 206.840 287 (38 � 273) 2,32 kg/m3 1 p1 RT1 137.900 (284 (21 � 273) 1,63 kg/m3

No entanto, p3 é desconhecido; então como determinamos r3? Use a relação da continuidade

para escoamento permanente:

m˙1 m˙2 m˙3 ou 1Q1 2Q2 3Q3

1,63(2,832) � 2,32(1,133) 3(1,416) que tem como solução: 3 1,40 kg/m3

(1)

Conhecendo r3 é possível calcular p3 pela lei dos gases perfeitos:

p3 3RT3 1,40 kg/m3 � 287 m2/(s2 � K) (93 � 273) K � 147,44 kPa Resposta

Passos finais da solução:

• Para um gás perfeito, simplesmente aproxime as entalpias como

hi 5 cpTi. O trabalho de eixo é negativo (para dentro do volume de controle) e o trabalho

viscoso é desprezível para essa máquina com parede sólida:

W˙ 0 W˙e �150 hp [745,7 W/hp] � �111.855 W (trabalho sobre o sistema)

Para escoamento permanente, a integral de volume na Equação (3.63) desaparece e a equação da energia torna-se Q˙ W˙e m˙11cpT1 21V21 gz12 m˙21cpT2 12V22 gz22 m˙31cpT3 12V23 gz32 (2) Figura E3.16 (1) (3) (2) Q = ? 150 hp VC 3.6 A equação da energia 187

Dos nossos cálculos da continuidade na Equação (1) anterior, os fluxos de massa são

m˙3 3Q3 1,983 kg/s

m˙1 1Q1 (1,63) � (2,832) � 4,616 kg/s m˙2 2Q2 2,629 kg/s

É uma boa prática separar os termos de fluxo na equação da energia (2) para exame:

�27 W

(9,81)3 4,616(0,305) 2,629(1,219) 1,983(0,457)4 Fluxo de energia potencial g( m˙1z1 m˙2z2 m˙3z3)

1

23 4,616(76,21)2 � 2,629(12,17)2 � 1,983(60,96)2 = �9.515 W Fluxo de energia cinética 1

2( m˙1V21 m˙2V22 m˙3V23) � 188,508 W

31,004 m2_/(s2 _{� K)4 3�4,616 m}3_{/s (273 � 21)K} � 2,629 (273 � 38) � 1,983 (273 � 93) Fluxo de entalpia cp( m˙1T1 m˙2T2 m˙3T3)

A Equação (2) pode agora ser resolvida para a transferência de calor:

Q˙ ( 111.855) 188.508 � 9.515 � 27 � 67.165 W Resposta

Comentários:

• A transferência de calor é positiva, o que significa que ela ocorre para dentro do volume de controle. É típico dos escoamentos gasosos que o fluxo de energia potencial seja desprezível, o fluxo de entalpia dominante, e o fluxo de energia cinética pequeno, a menos que as velocidades sejam muito altas (isto é, alta subsônica ou supersônica).

Para escoamento permanente com uma entrada e uma saída, ambas consideradas unidimensionais, a Equação (3.63) se reduz a uma célebre relação usada em muitas análises de engenharia. Seja a seção 1 de entrada e a seção 2 de saída. Então

Q˙ W˙e W˙ m˙11hˆ1 12V21 gz12 m˙21hˆ2 12V22 gz22 (3.65)

Mas, da equação da continuidade m˙1 m˙2 m˙, podemos rearrumar (3.65) como se

segue

hˆ1 12V21 gz1 1hˆ2 21V22 gz22 q we w (3.66)

em que q Q˙/m˙ dQ/dm é o calor transferido por unidade de massa. Analogamente, ws W˙s/m˙ dWs/dm e w W˙ /m˙ dW /dm.. A Equação (3.66) é uma forma geral

da equação da energia para escoamento permanente, e estabelece que a entalpia de estagnação a montante, H1 1h 12V2 gz21, difere do correspondente valor a jusan-

te, H_2, apenas se houver transferência de calor, trabalho de eixo ou trabalho viscoso na passagem do fluido entre as seções 1 e 2. Relembre que q é positivo se o calor for adi- cionado ao volume de controle e w_e e w são positivos se o trabalho for realizado pelo

fluido sobre suas vizinhanças.

Cada termo da Equação (3.66) tem dimensão de energia por unidade de massa, ou de velocidade ao quadrado, sendo uma forma comumente utilizada pelos engenheiros

A equação da energia no escoamento permanente

mecânicos. Se dividirmos tudo por g, cada termo torna-se um comprimento, ou altura, que é uma forma preferida pelos engenheiros civis. O símbolo tradicional para altura é h, que não devemos confundir com entalpia. Logo, usaremos energia interna ao rees- crevermos a equação da energia em termos de altura:

p1 û1 g V2 1 2g z1 p2 û2 g V2 1 2g z2 hq he h 1 2 (3.67) em que h_q 5 q/g, he 5 we/g e hv 5 wv/g são termos de altura para o calor transferido,

trabalho de eixo realizado e trabalho viscoso realizado, respectivamente. O termo p/g é chamado altura de pressão e o termo V2_{/(2g) é designado altura de velocidade.}

Uma aplicação muito comum da equação da energia para escoamento permanente ocorre para escoamentos com baixas velocidades (incompressíveis) em um tubo ou duto. Uma bomba ou turbina pode ser incluída no sistema de tubulações. As paredes do tubo e da máquina são sólidas, de maneira que o trabalho viscoso é nulo. Nesse caso, a Equação (3.67) pode se escrita na seguinte forma

ap1 V 2 1 2g z1b a p2 V22 2g z2b û2 û1 q g we (3.68) Cada termo nessa equação é um comprimento, ou altura. Os termos entre parênteses são os valores a montante (1) e a jusante (2) da chamada altura útil ou altura disponível ou altura total do escoamento, sendo denotada por h₀. O último termo da direita é a diferença entre as alturas disponíveis a montante e a jusante (h₀₁ - h₀₂), que pode incluir a altura de elevação de uma bomba, a altura extraída por uma turbina e a perda de al- tura por atrito h_p, ou perda de carga,18_{, sempre positiva. Logo, no escoamento incom-}

pressível, com uma entrada e uma saída, podemos escrever

ap V 2 2g zbent ap V 2 2g zbsai

hperdas hbomba hturbina (3.69) A maioria dos nossos problemas de escoamento interno será resolvida com o auxílio da Equação (3.69). Os termos em h são todos positivos; isto é, a perda por atrito é sempre positiva em escoamentos reais (viscosos), uma bomba adiciona energia (aumenta o lado esquerdo) e uma turbina extrai energia do escoamento. Se h_b e/ou h_t são incluídos, a bomba e/ou a turbina devem estar entre as seções 1 e 2. Nos capítulos 5 e 6, vamos desenvolver métodos para correlacionar as perdas h_p com parâmetros de escoamento em tubos, válvulas, acessórios e outros dispositivos de escoamento interno.

Atrito e trabalho de eixo em escoamento a baixas velocidades

EXEMPLO 3.17

Gasolina a 20o_{C é bombeada através de um tubo liso de 12 cm de diâmetro, com 10 km de}

comprimento, a uma vazão de 75 m3_{/h. A entrada é alimentada por uma bomba à pressão abso-}

luta de 24 atm. A saída está à pressão atmosférica padrão, 150 m mais alta. Estime a perda por atrito hp, e a compare com a altura de velocidade V2/(2g). (Esses números são bem realísticos

para o escoamento de líquidos através de tubulações longas.) Solução

Valores de propriedades:

• Da Tabela A.3 para gasolina a 20°C, r 5 680 kg/m3 _{ou g 5 (680)}

(9,81) 5 6.670 N/m3_.

18 _{N.T.: No Brasil, os termos altura e carga são utilizados, em geral, como sinônimos; todavia, a} expressão perda de carga tornou-se consagrada nesse contexto.

Hipóteses:

• Escoamento permanente. Não há trabalho de eixo, portanto hb 5 ht 5 0. Se

z1 5 0, então z2 5 150 m.

Abordagem:

• Encontre a velocidade e a altura de velocidade. Elas são necessárias para a comparação. Depois calcule a perda por atrito pela Equação (3.69).

Passos da solução:

• Como o diâmetro do tubo é constante, a velocidade média é a mesma em qualquer ponto: Altura de velocidade V 2 2g (1,84 m/s)2 2(9,81 m/s2₎ 0,173 m Vent Vsai Q A Q ( /4)D2 (75 m3_{/h)/(3.600 s/h)} ( /4)(0,12 m)2 1,84 m s

Substitua esse resultado na Equação (3.69) e resolva para a perda de carga por atrito. Use pascals para a pressão e note que as alturas de velocidade se cancelam porque a área do tubo é constante.

ou hp 364,7 15,2 150 199 m (24)(101.350 N/m2₎ 6.670 N/m3 0,173 m 0 m 101.350 N/m2 6.670 N/m3 0,173 m 150 m hp pent V2ent 2g zent psai V2sai 2g zsai hp Resposta A perda de carga é maior do que a diferença de elevação Dz, e a bomba tem que fazer o escoa- mento vencer ambas as cargas, de onde se explica a alta pressão na entrada. A razão entre as alturas de atrito e de velocidade é

hp

V2_/(2g)

199 m

0,173 m 1.150 Resposta

Comentários:

• Essa alta razão é típica de tubulações longas. (Observe que não utilizamos diretamente a informação de que a tubulação tinha 10.000 m de comprimento, cujo efeito está implícito em hp.) No Capítulo 6, podemos enunciar esse problema de uma forma mais

direta: Dada a vazão, o fluido e o tamanho do tubo, qual é a pressão necessária na entrada? Nossas correlações para hp nos levarão à estimativa de pentrada  24 atm, conforme estabele-

cemos anteriormente.

EXEMPLO 3.18

Ar [R 5 287 e cp 5 1.004 m2/(s2  K)] escoa em regime permanente, Figura E3.18, através de

uma turbina que produz 700 hp. Para as condições de entrada e saída mostradas, estime (a) a velocidade V2 na saída e (b) o calor transferido em W.

Figura E3.18 1 2 Turbomáquina W�e = 700 hp D1 = 150 mm p1 = 1.034 kPa T1 = 149 �C V₁ = 30,5 m/s D2 = 150 mm p2 = 276 kPa T2 = 1,7 �C Q �?

Solução

As massas específicas de entrada e saída podem ser calculadas pela lei dos gases perfeitos:

2 p2 RT2 276.000 287(273 � 1,7) 1 p1 RT1 1.034.000 287(273 � 149) 8,54 kg/m3 3,50 kg/m3

O fluxo de massa é determinado pelas condições de entrada

m˙ 1A1V1 (8,54) ₄(0,15)2(30,5) 4,60 kg/s

Conhecendo o fluxo de massa, calculamos a velocidade de saída

ou V2 74,37 m/s

m˙ 4,60 2A2V2 (3,50) (0,15) ₄ 2V2

Resposta (a)

A equação da energia para escoamento permanente, (3.65), é aplicada com W˙ 0, z1 z2, e hˆ c pT:

W˙ 0, z1 z2, e hˆ cpT:

Q˙ W˙e m˙1cpT2 12V22 cpT1 12V212

Converta o trabalho da turbina para watts com o fator de conversão 1 hp 5 745,7 W. O trabalho da turbina W˙e é positivo

ou Q˙ 147,719 W

Q˙ 700(745,7) 4,60 31.004(274,7) 1

2(74,37)2 1.004(422) 12(30,5)24

Resposta (b)

O sinal negativo indica que a transferência de calor é uma perda do volume de controle. Parte (a)

Parte (b)

Frequentemente, o escoamento que atravessa uma seção não é estritamente unidi- mensional. Em particular, a velocidade pode variar através da seção transversal, como na Figura E3.4. Nesse caso, o termo de energia cinética da Equação (3.64), para uma

No documento Mecânica Dos Fluidos - 6ª Ed (páginas 179-195)