1.11 Campos de
escoamento: linhas
de corrente, linhas de
emissão e linhas de
trajetória
emissão são geradas no decorrer do tempo. O perfil de velocidade mostrado na Figura 1.15 é uma linha de filete gerada por uma única descarga de bolhas de um fio. Uma linha de trajetória pode ser encontrada fazendo-se uma exposição no tempo de uma única partícula marcada movendo-se no escoamento. Linhas de corrente são difíceis de gerar experimentalmente em escoamento não permanente, a menos que se marque um grande número de partículas e se observe sua direção de movimento durante um inter- valo de tempo muito curto [32]. Em escoamento permanente, no qual a velocidade varia somente com a posição, a situação se simplifica bastante:
Linhas de corrente, linhas de trajetória e linhas de emissão são coincidentes em escoamento permanente.
Em mecânica dos fluidos o resultado matemático mais comum para fins de visua- lização é a linha de corrente. A Figura 1.16a mostra um conjunto típico de linhas de corrente, e a Figura 1.16b apresenta uma configuração fechada chamada tubo de cor- rente. Por definição, o fluido dentro de um tubo de corrente está confinado lá porque ele não pode cruzar as linhas de corrente; assim as paredes do tubo de corrente não precisam ser sólidas, mas podem ser superfícies do fluido.
A Figura 1.17 mostra um vetor velocidade arbitrário. Se um comprimento de arco elementar dr de uma linha de corrente deve ser paralelo a V, seus respectivos compo- nentes devem ser proporcionais:
Linha de corrente: dx
u = dyv = dzw = drV (1.40)
Figura 1.16 Os métodos mais
comuns de apresentação de campo de escoamento: (a) linhas de corrente são sempre tangentes ao vetor velocidade local; (b) um tubo de corrente é formado por um conjunto fechado de linhas de corrente.
Figura 1.17 Relações geométri-
cas para definir uma linha de corrente.
(a)
V
(b) Não há escoamento
através do tubo de corrente
Linha de corrente individual z y dy dx dr x v dz u V V w
Se as velocidades (u, v, w) são funções conhecidas da posição e do tempo, a Equação (1.40) pode ser integrada para encontrar a linha de corrente passando pelo ponto inicial (x0, y0, z0, t0). O método é direto para escoamentos permanentes (Exemplo 1.12), mas pode ser trabalhoso para escoamento não permanente.
A linha de trajetória, ou deslocamento de uma partícula, é definida por integração dos componentes da velocidade:
Linha de trajetória: x = u dt y= vdt z = wdt (1.41) Dados (u, v, w) como funções conhecidas da posição e do tempo, a integração começa em uma posição inicial especificada (x0, y0, z0, t0). Novamente, a integração pode ser trabalhosa.
As linhas de emissão, facilmente geradas experimentalmente com fumaça, corante ou bolhas, são muito difíceis de calcular analiticamente. Veja os detalhes matemáticos na Referência 33.
EXEMPLO 1.12
Dada a distribuição permanente de velocidades bidimensional
u 5 Kx v 5 – Ky w 5 0 (1)
em que K é uma constante positiva, calcule e desenhe as linhas de corrente do escoamento, incluindo as direções, dando algumas interpretações possíveis do campo.
Solução
Como o tempo não aparece explicitamente na Equação (1), o escoamento é permanente, de modo que as linhas de corrente, linhas de trajetória e linhas de emissão coincidirão. Como w 5 0 em todos os pontos, o escoamento é bidimensional, no plano xy. As linhas de corrente podem ser calculadas substituindo-se as expressões para u e v na Equação (1.40):
ou dx Kx Kydy dx x dyy = = - - Resposta (1) Integrando, obtemos ln x 5 2 ln y 1 ln C, ou xy 5 C Resposta (2)
Esta é a expressão geral para linhas de corrente, que são hipérboles. O campo completo está desenhado na Figura E1.12, atribuindo-se vários valores à constante C. As pontas das setas só podem ser determinadas retornando-se à Equação (1) para averiguar as direções dos compo- nentes de velocidade, supondo que K seja positivo. Por exemplo, no quadrante superior direito (x . 0, y . 0), u é positivo e v é negativo; portanto o escoamento se move para baixo e para a direita, estabelecendo as pontas das setas como mostra a figura.
Observe que o campo de linhas de corrente é totalmente independente da constante K. Ele poderia representar o encontro de duas correntes opostas, ou a metade superior poderia simular o escoamento de uma única corrente descendente contra uma parede plana. Considerando iso-
0 0 C = –3 –2 –1 C = 0 0 +1 +2 C = +3 –3 –2 –1 x C = 0 +1 +2 + 3 y
ladamente, o quadrante superior direito é semelhante ao escoamento em um canto a 90°. Sem dúvida, isso é um campo de escoamento realístico e será discutido novamente no Capítulo 8. Finalmente observe a peculiaridade de que as duas linhas de corrente (C 5 0) têm direções opostas e se entrecortam. Isso só é possível em um ponto em que u 5 v 5 w 5 0, que neste caso ocorre na origem. Um ponto como esse, de velocidade zero, é chamado de ponto de estagnação.
Figura E1.12 Linhas de
corrente para a distribuição de velocidades dada pela Equação (1), para K . 0.
Um experimento adequado pode produzir imagens reveladoras do campo de es- coamento de um fluido, como foi mostrado anteriormente nas Figuras 1.14a e 1.15. Por exemplo, linhas de emissão são produzidas pela liberação contínua de partículas marcadas (corante, fumaça ou bolhas) a partir de um dado ponto. Se o escoamento for permanente, as linhas de emissão serão idênticas às linhas de corrente e de traje- tória do escoamento.
Veja a seguir alguns métodos de visualização [34-36]: 1. Descargas de corante, fumaça ou bolhas.
2. Pó ou flocos na superfície em escoamentos de líquidos. 3. Partículas flutuantes ou de densidade neutra.
4. Técnicas ópticas que detectam mudanças de densidade em escoamentos de gases: gráfico de sombras, difração de luz (schlieren) e interferômetro.
5. Tufos de fios colados nas superfícies-limite.
6. Revestimentos evaporativos sobre as superfícies-limite. 7. Fluidos luminescentes, aditivos ou bioluminescência. 8. Velocimetria por imagens de partículas (PIV).
As Figuras 1.14a e 1.15 foram ambas visualizadas por descarga de bolhas. Um outro exemplo é o uso de partículas na Figura 1.18 para visualizar um escoamento fazendo uma curva de 180° em um canal de serpentina [42].
Visualização do escoamento
Figura 1.18 Duas visualizações
do escoamento que fazem uma curva de 180° em um canal de serpentina: (a) linhas de emissão de partículas a um número de Reynolds de 1.000; (b) velocimetria média-temporal por imagens de partículas (PIV) a um número de Reynolds turbulento de 30.000. [Da Referência 42, com
permissão da American Society of Mechanical Engineers.]
(a)
A Figura 1.18a é de um escoamento laminar a um número de Reynolds baixo, de valor igual a 1.000. O escoamento é permanente, e as partículas formam linhas de emissão mostrando que o escoamento não pode fazer uma curva fechada sem separação da parede inferior.
A Figura 1.18b é de um escoamento turbulento, a um número de Reynolds mais alto, de valor igual a 30.000. O escoamento é não permanente, e as linhas de emissão seriam caóticas e espalhadas, inadequadas para visualização. A imagem foi, então, produzida pela nova técnica de velocimetria por imagens de partículas [37]. No PIV, centenas de partículas são identificadas e fotografadas em dois intervalos de tempo muito próximos. Os movimentos das partículas indicam, portanto, vetores de velocidades locais. Essas centenas de vetores são, então, suavizados por repetidas operações no computador até ser obtido o campo de escoamento médio no tempo da Figura 1.18b. Os experimentos modernos de escoamento e os modelos numéricos usam computadores de forma inten- siva para criar suas visualizações, conforme descrito no texto por Yang [38].
Os detalhes matemáticos das análises linha de corrente/linha de emissão/linha de trajetória são dados na Referência 33. As Referências 39-41 são belos álbuns de fo- tografias de escoamentos. As Referências 34-36 são monografias sobre técnicas de visualização de escoamento.
A mecânica dos fluidos é um assunto maravilhoso para visualização, não apenas para campos estáticos (permanentes), mas também para estudos de movimentos va- riados (não permanentes). Uma lista de filmes e animações de escoamentos é dada por Carr e Young [43].
A maioria dos exemplos e exercícios deste livro é apropriada para cálculos diretos sem estimativas iniciais, iterações ou voltas. Até recentemente, somente as tarefas que envolvessem problemas diretos, fossem de solução imediata ou mais elaborados, eram apropriadas para os cursos de graduação em engenharia. Entretanto, a recente introdução de softwares para solução faz com que quase qualquer conjunto de relações algébricas seja viável para análise. O software de solução recomendado aqui é o Engineering Equa- tion Solver (EES) desenvolvido por Klein e Beckman [44] e descrito no Apêndice E.
Qualquer software de solução deve ser capaz de tratar com um conjunto de rela- ções puramente matemáticas, como aquele apresentado na Referência 44: X ln (X) 5 Y 3, X 1/2 5 1/Y. Submeta esse par de equações a qualquer software comercial e você irá,
sem dúvida, obter a resposta: X 5 1,467, Y 5 0,826. No entanto, para os engenheiros, na opinião do autor, o EES é superior à maioria dos softwares porque (1) as equações podem ser fornecidas em qualquer ordem; (2) numerosas fórmulas matemáticas já es- tão inseridas, como as funções de Bessel; e (3) propriedades termofísicas de muitos fluidos estão também inseridas, como as tabelas de vapor [23]. São aceitas unidades dos sistemas métrico e inglês. As equações não precisam ser escritas no estilo tradicio- nal do BASIC ou do FORTRAN. Por exemplo, X – Y 1 1 5 0 é perfeitamente satisfa- tório; não há necessidade de reescrevê-la como X 5 Y 2 1.
Reconsidere o Exemplo 1.6 como um exercício para o EES. Primeiro fornece- ríamos as propriedades de referência p0 e r0, mais as constantes de ajuste da curva B e n: Pz 5 1,0 Rhoz =2,0 B 5 3000 N 5 7
1.12 O Engineering
Equation Solver
EES
Depois especifique a razão de pressões e a relação da curva de ajuste, Equação (1.19), para a equação de estado da água:
P 5 1.100*Pz
P/Pz 5 (B+1)*(Rho/Rhoz)^n – B
Se você solicita uma opinião inicial do menu CHECK/FORMAT, o EES informa que há seis equações a seis incógnitas e não há nenhuma dificuldade óbvia. Depois escolha o SOL- VE no menu para a solução, e o EES rapidamente imprime Rho 5 2,091, a resposta corre- ta conforme já vimos no Exemplo 1.6. Ele imprime também os valores das outras cinco variáveis. Ocasionalmente o EES responde “unable to converge” (incapaz de convergir) e apresenta quais foram os erros (divisão por zero, raiz quadrada de número negativo etc.). Precisamos apenas melhorar as estimativas iniciais e os intervalos das incógnitas em Varia- ble Information (informação da variável) para ajudar o EES na solução.
Nos próximos capítulos daremos alguns exemplos implícitos (iterativos) usando o EES e vamos propor também alguns exercícios mais avançados para os quais o EES é uma abordagem ideal. O uso de um aplicativo de engenharia, como o EES, é recomen- dável para todos os engenheiros nesta era da computação pessoal. Se o EES não estiver disponível, o autor recomenda o uso de planilhas Excel.
A incerteza é um fato da vida em engenharia. Raramente conhecemos quaisquer propriedades ou variáveis de engenharia com um grau extremo de precisão. A incerte- za dos dados usualmente é definida como a faixa dentro da qual está o valor verdadei- ro com 95% de confiança. Lembre-se da Figura 1.7 em que a incerteza da relação m/mc era estimada como 20%. Há monografias completas dedicadas ao assunto da incer- teza experimental [45-47], portanto daremos apenas um breve resumo aqui.
Todos os dados experimentais têm incertezas, divididas em duas causas: (1) erro sistemático devido ao instrumento ou seu ambiente e (2) erro aleatório devido à varia- ção em leituras repetidas. Minimizamos o erro sistemático fazendo uma cuidadosa calibração e então estimamos o erro aleatório estatisticamente. O julgamento do expe- rimentalista é de importância crucial.
Aqui está a estimativa matemática aceita. Suponha que um resultado P desejado dependa de uma única variável experimental x. Se x tiver uma incerteza dx, então a incerteza dP é estimada por meio do cálculo:
dP Pd
x x ∂
∂
Se houver múltiplas variáveis, P 5 P(x1, x2, x3, ... xN), a incerteza global dP é calculada como uma estimativa baseada na raiz quadrada média [48]:
dP P d d x x xP x xPN xN = Ê ËÁ ˆ¯˜ + ÊËÁ ˆ¯˜ + + ÊËÁ ˆ¯˜ È Î Í ˘ ˚ ˙ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 2 2 2 2 2 d … 11 2/ (1.42) Em termos estatísticos, esse cálculo é muito mais provável do que simplesmente somar linearmente as várias incertezas dxi, adotando assim a hipótese improvável de que to- das as variáveis atingem simultaneamente o máximo erro. Observe que é responsabili- dade do experimentalista estabelecer e informar as estimativas de precisão de todas as incertezas relevantes dxi.
Se a grandeza P é uma simples expressão de lei de potência das outras variáveis, por exemplo, P 5 Const x1n1x
2
n2x
3
n3...., então cada derivada na Equação (1.42) é propor-
cional a P e ao pertinente expoente da lei de potência e é inversamente proporcional àquela variável.