Distribuição de pressão em um f luido
2.8 Empuxo e estabilidade
Essas duas leis são facilmente deduzidas observando-se a Figura 2.16. Na Figura 2.16a, o corpo está entre uma superfície curva superior 1 e outra superfície curva infe- rior 2. Pela Equação (2.30) para a força vertical, o corpo está sujeito a uma força líqui- da para cima
peso do fluido equivalente ao volume do corpo
(peso do fluido acima de 2) (peso do fluido acima de 1) FE FV(2) FV(1)
(2.33) Alternativamente, da Figura 2.16b, podemos integrar as forças verticais que atuam sobre as camadas elementares verticais por meio do corpo imerso:
FE
corpo
(p2 p1) dAH (z2 z1) dAH ( )(volume do corpo) (2.34) Esses resultados são idênticos e equivalentes à primeira lei de Arquimedes.
A Equação (2.34) considera que o fluido tenha peso específico uniforme. A li- nha de ação da força de empuxo passa pelo centro de volume do corpo deslocado; ou seja, seu centro de massa é calculado como se ele tivesse densidade uniforme. Esse ponto por meio do qual FE atua é chamado de centro de empuxo, usualmente indicado por E ou CE nos desenhos. Naturalmente, o ponto E pode ou não corres- ponder ao centro de massa real do próprio material do corpo, que pode ter densida- de variável.
A Equação (2.34) pode ser generalizada para um fluido disposto em camadas (FC) somando-se os pesos de cada camada de massa específica ri deslocada pelo corpo imerso: (2.35) (FE)FC g ig(volume deslocado)i (2.35) Superfície 1 Superfície 2 FV(1) Elemento de área horizontal dAH z1 – z2 p1 p2 (a) FV(2) (b)
Figura 2.16 Duas abordagens
diferentes para a força de empuxo sobre um corpo imerso arbitrário: (a) forças sobre as superfícies curvas superior e inferior; (b) integração das forças elementares de pressão verticais.
Cada camada deslocada teria seu próprio centro de volume, e teríamos de somar os momentos das forças de empuxo incrementais para encontrar o centro de empuxo do corpo imerso.
Como os líquidos são relativamente pesados, temos consciência de suas forças de empuxo, mas os gases também exercem empuxo sobre qualquer corpo imerso neles. Por exemplo, os seres humanos têm um peso específico de aproximadamente 9.425 N/m3.
Podemos pesar uma pessoa e encontrar 800 N e, então, estimar o volume total daquela pessoa como 0,085 m3. No entanto, ao fazer isso, estamos desprezando a força de em-
puxo do ar ambiente sobre a pessoa. Nas condições padrão, o peso específico do ar é de 12 N/m3; daí, a força de empuxo ser de aproximadamente 1,02 N. No vácuo, o peso
dessa pessoa seria cerca de 1,02 N maior. Para os balões e dirigíveis, a força de empu- xo do ar, em lugar de ser desprezível, é o fator de controle do projeto. Além disso, muitos fenômenos de escoamento, como a convecção natural de calor e mistura verti- cal no oceano, dependem fortemente de forças de empuxo aparentemente pequenas.
Os corpos flutuantes são um caso especial; apenas uma parte do corpo está submer- sa, com o restante acima da superfície livre. Isso está ilustrado na Figura 2.17, em que a parte sombreada é o volume deslocado. A Equação (2.34) é modificada para ser apli- cada a esse volume menor:
FE 5 (γ)(volume deslocado) 5 peso do corpo flutuante (2.36)
Não somente a força de empuxo é igual ao peso do corpo, mas também essas duas forças são colineares, já que não pode haver momentos líquidos no equilíbrio estático. A Equação (2.36) é o equivalente matemático da segunda lei de Arquimedes, enuncia- da anteriormente.
CG
P
FE E
(Volume deslocado) � ( g do fluido) = peso do corpo Despreze o ar deslocado aqui em cima.
Figura 2.17 Equilíbrio estático
de um corpo flutuante.
EXEMPLO 2.11
Um bloco de concreto pesa 445 N no ar e “pesa” apenas 267 N quando imerso em água doce (9.802 N/m3). Qual é o peso específico médio do bloco?
Solução
Um diagrama de corpo livre do bloco submerso (ver Figura E2.11) mostra um balanço entre o peso aparente, a força de empuxo e o peso real:
SFz 5 0 5 267 1 FE 2 445 ou FE 5 178 N 5 (9.802 N/m3)(volume do bloco, m3) FE P = 445 N 267 N E2.11 2.8 Empuxo e estabilidade 103
Calculando o volume do bloco, obtém-se 178/9.802 5 0,018 m3. Portanto, o peso específico do
bloco é
bloco
445 N
0,018 m3 24.722 N/m3 Resposta
Ocasionalmente, um corpo terá exatamente o peso e volume certos para que sua razão seja igual ao peso específico do fluido. Quando isso acontece, diz-se que o corpo é neutramente flutuante e permanecerá em repouso em qualquer ponto em que estiver imerso no fluido. Pequenas partículas neutramente flutuantes são usadas às vezes na visualização de escoamentos, e um corpo neutramente flutuante chamado de flutuador de Swallow [2] é usado para rastrear correntes oceânicas. Um submarino pode atingir flutuação positiva, neutra ou negativa, bombeando água para dentro ou para fora de seus tanques de lastro.
Um corpo flutuante como na Figura 2.17 pode não aceitar a posição em que esteja flutuando. Nesse caso, ele irá virar na primeira oportunidade, sendo considerado esta- ticamente instável, como um lápis equilibrado sobre sua própria ponta. O menor dis- túrbio irá fazer com que procure uma outra posição de equilíbrio, que seja estável. Os engenheiros, em seus projetos, precisam evitar a instabilidade de flutuação. A única maneira de saber com certeza se uma posição flutuante é estável consiste em “pertur- bar” o corpo com uma quantidade matematicamente pequena e ver se desenvolve um momento restaurador que irá recolocá-lo na sua posição original. Se isso ocorrer, ele é estável, caso contrário, é instável. Esses cálculos para corpos flutuantes arbitrários fo- ram levados a um alto grau de sofisticação pelos arquitetos navais [3], mas podemos, pelo menos, esboçar os princípios básicos do cálculo de estabilidade estática. A Figura 2.18 ilustra o cálculo para o caso usual de um corpo flutuante simétrico. Os passos são os seguintes:
1. A posição básica de flutuação é calculada pela Equação (2.36). O centro de massa G do corpo e o centro de empuxo E são calculados.
2. O corpo é inclinado a um pequeno ângulo Du, uma nova linha d’água é estabeleci- da para o corpo flutuar com esse ângulo. É calculada a nova posição E ׳ do centro de empuxo. Uma linha vertical traçada para cima a partir de B׳ intercepta a li- nha de simetria no ponto M, chamado metacentro, que é independente de Du para pequenos ângulos.
3. Se o ponto M estiver acima de G (isto é, se a altura metacêntrica MG for positiva), um momento restaurador está presente e a posição original é estável. Se M estiver abaixo de G (MG negativa), o corpo é instável e irá virar se for perturbado. A esta- bilidade aumenta com o aumento de MG.
Dessa maneira a altura metacêntrica é uma propriedade da seção transversal para um dado peso e seu valor fornece uma indicação da estabilidade do corpo. Para um corpo de seção transversal e calado variáveis, como no caso de um navio, o cálculo do meta- centro pode ser muito complicado.
Partindo dos conceitos gerais de estabilidade da Figura 2.18, os arquitetos navais [3] desenvolveram um cálculo simples que envolve o momento de inércia da área da
Estabilidade
Estabilidade relacionada com a área da linha d’água
linha d’água em torno do eixo de inclinação. A dedução admite que o corpo tem uma variação suave de forma (sem descontinuidades) próximo da linha d’água, sendo ilus- trada na Figura 2.19.
O eixo y do corpo é considerado uma linha de simetria. Inclinando o corpo a um pequeno ângulo u, a pequena cunha Obd submerge, enquanto uma cunha igual cOa emerge, como mostra a figura. A nova posição E do centro de empuxo é calculada como o centroide da parte submersa aObde do corpo:
0 Obd x L (x tan dx) cOa xL ( x tan dx) tan linha d’água x2dA
linha d’água IO tan
x abOde cOdea x d Obd x d cOa x d 0 Obd x (L dA) cOa x (L dA)
em que Io é o momento de inércia da área da planta da linha d’água do corpo em torno do eixo de inclinação O. A primeira integral anula-se por causa da simetria da parte submersa original cOdea.
Linha de simetria G P FE E M G P E' FE � G P M FE E' Ângulo da pequena perturbação Ângulo da pequena perturbação (b)
ou Momento restaurador ou Momento de viragem
(a) (c)
u
�u
Figura 2.18 Cálculo do
metacentro M do corpo flutuante mostrado em (a). Incline o corpo a um pequeno ângulo Du. Então, (b) E move-se bastante (o ponto M acima de G mostra
estabilidade); ou (c) E move-se levemente (o ponto M abaixo de
G mostra instabilidade). y c a e d x x b M O E � � � dA = x tan u dx
Corpo flutuante inclinado
u u
Largura variável
L(x) para dentro do papel linha
d’água original
�u
E�
Figura 2.19 Um corpo flutuante
inclinado a um pequeno ângulo u. O movimento x do centro de empuxo E está relacionado com o momento de inércia da área da linha d’água.
As integrais das duas “cunhas” remanescentes combinam-se em Io, ao observarmos que L dx é igual ao elemento de área da planta da linha d’água. Assim, determinamos a distância desejada de M até E:
x tan ME IO submerso MG GE ou MG IO sub GE (2.37)
O engenheiro naval determina a distância de G até E por meio da forma básica e do projeto do corpo flutuante e, então, faz o cálculo de IO e do volume submerso υsub. Se a altura metacêntrica MG for positiva, o corpo será estável para pequenas perturba- ções. Observe que, se GE for negativa, isto é, se E estiver acima de G, o corpo é sempre estável.
EXEMPLO 2.12
Uma barcaça tem uma seção transversal retangular uniforme de largura 2L e uma altura de calado H, como mostra a Figura E2.12. Determine (a) a altura metacêntrica para um pequeno ângulo de inclinação e (b) o intervalo da razão L/H para o qual a barcaça está estaticamente estável se G estiver exatamente sobre a linha d’água, como mostra a figura.
G E H O L L � Solução
Se a barcaça tiver um comprimento b normal ao papel, a área da linha d’água, relativa ao eixo de inclinação O, terá uma base b e uma altura 2L; logo, IO 5 b(2L)3/12. Por outro lado, υsub 5
2LbH. A Equação (2.37) prevê MG Io sub GE 8bL3/12 2LbH H 2 L2 3H H 2 Resposta (a)
Logo, a barcaça pode ser estável somente se
L2 3H2/2 ou 2L 2,45H Resposta (b) Quanto mais larga for a barcaça em relação ao seu calado, mais estável ela será. O rebaixamen- to de G ajudaria.
E2.12
Até mesmo um especialista terá dificuldades para determinar a estabilidade de um corpo flutuante de forma irregular. Esses corpos podem ter duas ou mais posições es- táveis. Por exemplo, um navio pode flutuar da maneira como estamos acostumados a ver, de modo que podemos nos sentar no convés, ou ele pode flutuar de cabeça para
Figura 2.20 Um iceberg do
Atlântico Norte formado pelo desprendimento de uma geleira da Groenlândia. Esses icebergs e seus similares ainda maiores da Antártida são os maiores corpos flutuantes do mundo. Observe a evidência de fraturas causadas por desprendimentos adicionais na superfície frontal. (© Corbis.)
baixo (emborcado). Uma abordagem matemática interessante da estabilidade de flu- tuação é dada na Referência 11. O autor dessa referência destaca que, mesmo formas simples, como a de um cubo de densidade uniforme, podem ter muitas orientações estáveis de flutuação, não necessariamente simétricas. Cilindros circulares homogêneos podem flutuar com o eixo de simetria inclinado em relação à vertical.
A instabilidade de flutuação ocorre também na natureza. Os peixes vivos geral- mente nadam com seus planos de simetria na vertical. Após a morte, essa posição tor- na-se instável e eles passam a flutuar com seus lados chatos para cima. Icebergs gigantescos podem virar, após se tornarem instáveis com a mudança de forma causada pelo derretimento da parte submersa. A virada de um iceberg é um evento dramático, raramente observado.
A Figura 2.20 mostra um iceberg típico do Atlântico Norte formado pelo despren- dimento de uma geleira da Groenlândia, que se projetou em direção ao oceano. A face exposta é irregular, indicando que ele deve ter sofrido outros desprendimentos. Os icebergs são formados pelo congelamento de água doce glacial com massa específica média de 900 kg/m3. Assim, quando um iceberg está flutuando na água do mar, cuja
massa específica média é de 1.025 kg/m3, aproximadamente 900/1.025, ou sete oita-
vos, do seu volume ficam embaixo d’água.
No movimento de corpo rígido, todas as partículas estão em translação e rotação combinadas, não havendo movimento relativo entre elas. Sem movimento relativo, não há deformações nem taxas de deformações, de modo que o termo viscoso na Equa- ção (2.8) desaparece, restando um equilíbrio entre pressão, gravidade e aceleração das partículas:
∇p 5 r(g 2 a) (2.38)
O gradiente de pressão atua na direção g 2 a, e as linhas de pressão constante (incluin- do a superfície livre, se houver) são perpendiculares a essa direção. O caso geral de translação e rotação combinadas de um corpo rígido é discutido no Capítulo 3, Figura 3.11.
Os fluidos raramente podem se mover em movimento de corpo rígido a menos que estejam restritos por paredes de confinamento por um longo tempo. Por exemplo, su- ponha que um tanque de água esteja em um carro que parta com uma aceleração cons-