Engenharia (FE)
nos EUA
Para os 60 problemas da seção vespertina de quatro horas, você pode escolher um dos sete módulos: engenharias química, civil, elétrica, ambiental, industrial, mecânica e outras/geral. Observe que a mecânica dos fluidos é um tópico integral do exame. Por- tanto, para a prática, esse livro inclui um conjunto de problemas no final dos capítulos, quando for apropriado.
O formato das questões do Exame FE é do tipo múltipla escolha, em geral com cinco opções de resposta, formuladas cuidadosamente para conduzi-lo a respostas plausíveis se você usou unidades incorretas, esqueceu de multiplicar ou dividir por dois ou esqueceu um fator π, entre outras coisas semelhantes. Em alguns casos, as opções de resposta são ambíguas não intencionalmente, como o exemplo a seguir, tira- do de um dos exames:
A transição do escoamento laminar para turbulento ocorre a um número de Reynolds de (A) 900 (B) 1.200 (C) 1.500 (D) 2.100 (E) 3.000
A resposta “correta” era (D), Re 5 2.100. Está claro que o examinador estava pen- sando, mas se esqueceu de especificar Red para escoamento em um tubo circular liso, pois (veja os Capítulos 6 e 7) a transição é altamente dependente da geometria, rugo- sidade da superfície, e da grandeza representativa do comprimento usada na defini- ção de Re. A dica é não perder o bom humor por causa do exame e simplesmente seguir o fluxo e decidir qual resposta melhor se adapta a uma situação de treinamen- to de engenharia. Procurou-se eliminar ambiguidades das questões do Exame FE neste livro.
Problemas
A maioria dos problemas a seguir é de resolução relativamente direta. Os problemas mais difíceis ou abertos estão marcados com um asterisco, como o Problema 1.18. Problemas marcados com o ícone EES (por exemplo, o Problema 1.61) poderão ser resolvidos usando o Engineering Equation Solver (EES), e os marcados com um disquete podem requerer o uso de um compu- tador. Os problemas típicos de fim de capítulo 1.1 a 1.90 (classi- ficados na lista abaixo) são seguidos dos problemas para o Exame FE, FE1.1 a FE1.10, e dos problemas abrangentes, C1.1 a C1.11.
Distribuição dos Problemas
Seção Tópico Problemas
1.1, 1.4, 1.5 Conceito de fluido como meio contínuo 1.1–1.3
1.6 Dimensões e unidades 1.4 – 1.23
1.8 Propriedades termodinâmicas 1.24 – 1.37 1.9 Viscosidade, condição de não escorregamento 1.38 – 1.61
1.9 Tensão superficial 1.62 – 1.71
1.9 Pressão de vapor; cavitação 1.72 – 1.74 1.9 Velocidade do som, número de Mach 1.75 – 1.79 1.11 Linhas de corrente e linhas de trajetória 1.80 – 1.84 1.2 História da mecânica dos fluidos 1.85a–n 1.13 Incerteza experimental 1.86 – 1.90
P1.1 Um gás a 20 °C pode ser considerado rarefeito, des-
viando do conceito de meio contínuo, quando contém
menos de 1012 moléculas por milímetro cúbico. Se o nú-
mero de Avogadro é 6,023 E23 moléculas por mol, que pressão absoluta (em Pa) para o ar isso representa?
P1.2 A Tabela A.6 lista a massa específica da atmosfera pa-
drão como uma função da altitude. Utilize esses valo- res para estimar grosseiramente — digamos, dentro de um fator de 2 — o número de moléculas de ar em toda a atmosfera da terra.
P1.3 Para o elemento triangular na Figura P1.3, mostre que a
superfície livre inclinada de um líquido, em contato com uma atmosfera à pressão pa, deve estar sujeita à
tensão de cisalhamento e por isso começa a escoar. Su-
gestão: considere o peso do fluido e mostre que uma
condição de cisalhamento nulo causará forças horizon- tais desbalanceadas.
P.1.3
pa
Massa específica r q
P1.4 O Viscosímetro Saybolt Universal, hoje não mais usual,
mas ainda oferecido em catálogos científicos, mede a viscosidade cinemática dos lubrificantes [Referência 49, p. 40]. Um recipiente especial, mantido a tempera- tura constante, é preenchido com o fluido de teste.
Meça o tempo t necessário para que 60 ml do fluido escoe através de um pequeno furo ou de um tubo curto na parte inferior. Essa unidade de tempo, chamada de
segundos Saybolt universal, ou SUS, do inglês, está
correlacionada com a viscosidade cinemática ν, em centistokes (1 stoke 5 1 cm2/s) pela seguinte fórmula
de ajuste de curva:
v t
t t
=0 215, -145 para 40< <100SUS
(a) Faça um comentário sobre a dimensionalidade des- sa equação.
(b) A fórmula está fisicamente correta? (c) Uma vez que ν varia fortemente com a temperatura, como então a temperatura entra na fórmula? (d) Podemos facilmen- te converter ν de centistokes em mm2/s?
P1.5 O caminho livre médio de um gás, l, é definido como a
distância média percorrida por moléculas entre coli- sões. Uma fórmula proposta para calcular l de um gás ideal é
l
RT
= 1 26, m
r
Quais são as dimensões da constante 1,26? Use a fór-
mula para calcular o caminho livre médio do ar a 20 °C e 7 kPa. Você consideraria o ar rarefeito nessa condição?
P1.6 Com base na teoria (correta) do Problema P1.5, calcule
a pressão, em pascals, do dióxido de carbono a 20 °C para a qual o caminho livre médio é (a) 1 mícron (mm) e (b) 43,3 mm.
P1.7 Para determinar a vazão da água a 20 °C por uma man-
gueira, um estudante constata que a mangueira enche um tambor de 208 litros em 2 minutos e 37 segundos. Calcule (a) a vazão em volume em m3/s e (b) a vazão
em peso em N/s.
P1.8 Suponha que saibamos pouco sobre a resistência dos
materiais, mas nos informaram que a tensão de flexão σ em uma viga é proporcional à metade da espessura y da viga e também depende do momento de fletor M e do momento de inércia de área da viga I. Aprendemos tam- bém que, para o caso particular M 5 328 N.m, y 5 38 mm e I 5 16,7 cm4, a tensão calculada é 75 MPa.
Usando apenas essas informações e a argumentação di- mensional, encontre, com três dígitos significativos, a única fórmula dimensionalmente homogênea possível
σ 5 y f (M, I).
P1.9 Um fluido é pesado em um laboratório. Sabe-se que 5,7
litros do fluido pesa 37,9 N. (a) Qual é a densidade do fluido em kg/m3? (b) Que fluido poderia ser esse? Supo-
nha que a gravidade padrão seja g 5 9,807 m/s2. P1.10 A fórmula Stokes-Oseen [33] para a força de arrasto F
sobre uma esfera de diâmetro D em uma corrente de
fluido de baixa velocidade V, massa específica r e vis- cosidade m é
F=3 DV +9 V D
16 2 2
pm pr
Essa fórmula é dimensionalmente homogênea?
P1.11 Em 1851, Sir George Stokes formulou a teoria de que a
força de arrasto F sobre uma partícula em um escoa- mento de alta viscosidade (número de Reynolds baixo) depende somente da viscosidade m, da velocidade V da partícula e do tamanho D da partícula. Use o conceito de homogeneidade dimensional para deduzir uma fór- mula possível para a força.
P1.12 Para o escoamento permanente a baixa velocidade (la-
minar) através de um tubo circular, como representa a Figura P1.12, a velocidade u varia com o raio e assume a forma
u B p r= D -r m (0 )
2 2
em que m é a viscosidade do fluido e Dp é a queda de
pressão da entrada até a saída. Quais são as dimensões da constante B? r = 0 r u (r) Parede do tubo r = r0 P1.12
P1.13 A eficiência de uma bomba é definida como a relação
(adimencional) entre a potência desenvolvida pelo es- coamento e a potência requerida para acionar a bomba:
h= Q pD
potência de entrada
em que Q é a vazão em volume do escoamento e ∆p é a
elevação de pressão produzida pela bomba. Suponha que uma certa bomba desenvolva uma elevação de pressão de 241,3 kPa quando a vazão do escoamento é 40 L/s. Se a potência de entrada for 16 hp, qual é a efi- ciência?
P1.14 A Figura P1.14 mostra o escoamento da água sobre uma
barragem. Sabe-se que a vazão em volume Q depende so- mente da largura da soleira B, da aceleração da gravidade
g e da altura da lâmina d’água a montante H, acima da
soleira da barragem. Sabe-se também que Q é proporcio- nal a B. Qual é a forma da única relação dimensionalmen- te homogênea possível para essa vazão?
*
P1.14 H B Q Nível da água Barragem
P1.15 Mott [49] recomenda a seguinte fórmula, no sistema in-
glês, para a perda de carga por atrito hp , em ft, para um
escoamento através de um tubo de comprimento L e diâ- metro D (ambas as medidas devem estar em ft):
hp L AC DQ h = Ê ËÁ ˆ ¯˜ 0 551 0 63 1 852 , , ,
na qual Q é a vazão em volume do escoamento em ft3/s, A
é a área da seção transversal do tubo em ft2 e C
h é um co-
eficiente adimensional cujo valor é aproximadamente 100. Determine as dimensões da constante 0,551.
P1.16 Equações algébricas como a relação de Bernoulli,
Equação (1) do Exemplo 1.3, são dimensionalmente consistentes, mas e as equações diferenciais? Conside- re, por exemplo, a equação da quantidade de movimen- to em x para a camada-limite, deduzida pela primeira vez por Ludwig Prandtl em 1904:
ru u r r t x v ux px gx y + =- + +
na qual τ é a tensão de cisalhamento da camada-limite
e gx é a componente da gravidade na direção x. Essa
equação é dimensionalmente consistente? Você pode tirar uma conclusão geral?
P1.17 A fórmula de Hazen-Williams da hidráulica para a va-
zão em volume Q em um tubo de diâmetro D e compri- mento L é dada por
Q D p
L
61 9, 2 63, ÊD 0 54,
ËÁ ˆ¯˜
em que Dp é a queda de pressão requerida para manter
o escoamento. Quais são as dimensões da constante 61,9? Essa fórmula pode ser usada com confiança para vários líquidos e gases?
P1.18 Para partículas pequenas a baixas velocidades, o pri-
meiro termo na lei do arrasto de Stokes-Oseen, Proble- ma 1.10, é dominante; portanto, F < KV, em que K é uma constante. Suponha que uma partícula de massa m seja obrigada a se mover horizontalmente da posição inicial x 5 0 com velocidade inicial V0. Mostre (a) que
sua velocidade decrescerá exponencialmente com o
tempo e (b) que ela irá parar após percorrer uma distân- cia x 5 mV0/K.
P1.19 A convecção de Marangoni ocorre quando uma superfície
tiver uma variação na tensão superficial ao longo de seu comprimento. O número adimensional de Marangoni M é uma combinação da difusividade térmica α 5 k/(rcp) (em
que k é a condutividade térmica), da escala de compri- mento L, da viscosidade m e da variação dY da tensão su- perficial. Se M é proporcional a L, encontre sua forma.
P1.20 Uma bola de beisebol, com m 5 145 g, é lançada direta-
mente para cima a partir de sua posição inicial z 5 0 e
V0 5 45 m/s. O arrasto do ar sobre a bola é CV 2, em que
C 5 0,0013 N · s2/m2. Encontre uma equação diferencial
para o movimento da bola e resolva-a para a velocidade instantânea V(t) e a posição z(t). Encontre a altura máxima
zmáx alcançada pela bola e compare o seu resultado com o
caso clássico do arrasto do ar igual a zero.
P1.21 Em 1908, um estudante de Prandtl, Heinrich Blasius,
propôs a seguinte fórmula para a tensão de cisalhamen- to na parede τp em uma posição x no escoamento visco-
so à velocidade V sobre uma superfície plana: (tp 5 0,332 r1/2 m1/2 V3/2 x –1/2)
Determine as dimensões da constante 0,332.
P1.22 O número de Richardson, Ri, que correlaciona a produ-
ção de turbulência pela flutuabilidade, é uma combinação adimensional da aceleração da gravidade g, da tempera- tura do fluido T0, do gradiente local de temperatura ∂T/∂z
e do gradiente local de velocidade ∂u/∂z. Determine uma forma aceitável para o número de Richardson (muitos colocam ∂T/∂z no numerador).
P1.23 Durante a II Guerra Mundial, Sir Geoffrey Taylor, um
estudioso britânico da dinâmica dos fluidos, usou a aná- lise dimensional para calcular a energia liberada pela explosão de uma bomba atômica. Ele supôs que a ener- gia liberada E era uma função do raio R da onda de pres- são, da massa específica do ar r e do tempo t. Organize essas variáveis em um único grupo adimensional, que podemos chamar de número de onda de explosão.
P1.24 Considere o dióxido de carbono a 10 atm e 400 °C.
Calcule r e cp neste estado e depois calcule a nova pres-
são quando o gás é resfriado isentropicamente a 100 °C. Use dois métodos: (a) um gás ideal e (b) as tabelas de gás ou o EES.
P1.25 Um tanque contém 0,9 m3 de hélio a 200 kPa e 20 °C.
Calcule a massa total desse gás, em kg, (a) na Terra e (b) na Lua. Além disso, responda (c) qual a transferência de calor, em MJ, requerida para expandir esse gás à tempe- ratura constante para um novo volume de 1,5 m3? P1.26 No Brasil, quando dizemos que o pneu de um automó-
vel “está com 32 lb”, nós queremos dizer que a pressão interna do pneu é de 32 lbf/in2 acima da pressão atmos-
férica local. Esse valor equivale a 220.632 N/m2 em
unidades do SI. Considerando que o pneu está ao nível do mar, tem um volume de 85 litros e está à temperatu- ra de 24 °C, calcule o peso total de ar, em N, no interior do pneu.
*
P1.27 Para o vapor a 276 kPa, a Referência 23 apresenta al-
guns valores de temperatura e de volume específico:
T, oC 204,4 260 315,6 371,1 426,7
v, m3/kg 0,787 0,884 0,979 1,073 1,167
O vapor, nessas condições, está próximo de ser um gás
perfeito, ou é fortemente não ideal? Se ele for aproxi- madamente perfeito, encontre um valor com erro míni- mo quadrático† para a constante do gás R, em m2/(s2 · K);
calcule o erro percentual nessa aproximação e compare com a Tabela A.4.
P1.28 O ar atmosférico úmido com umidade relativa de 100%
contém vapor de água saturado e, pela lei de Dalton das pressões parciais,
patm 5 par seco 1 pvapor d‘água
Considere que essa atmosfera úmida esteja a 40 °C e 1
atm. Calcule a massa específica desse ar com 100% de umidade e compare-a com a massa específica do ar seco nas mesmas condições.
P1.29 Um tanque de ar comprimido contém 142 litros de ar à
pressão manométrica de 827,37 kPa, isto é, acima da pres- são atmosférica. Calcule a energia, em N · m 5 J, ne- cessária para comprimir esse ar da atmosfera, supondo um processo isotérmico ideal.
P1.30 Repita o Problema 1.29 para o caso em que o tanque
está cheio de água comprimida em lugar do ar. Por que o resultado é milhares de vezes menor do que o resulta- do do Problema 1.29?
P1.31 Vinte e sete litros de gás argônio a 10 °C e 1 atm são
comprimidos isentropicamente até uma pressão de 600 kPa. (a) Qual será sua nova pressão e temperatura? (b) Se ele for resfriado nesse novo volume de volta para os 10 °C, qual será a pressão final?
P1.32 Um dirigível tem a forma aproximada de um esferoide
alongado com 90 m de comprimento e 30 m de diâme- tro. Calcule o peso do gás a 20 °C no interior do dirigí- vel para (a) hélio a 1,1 atm e (b) ar a 1,0 atm. O que pode representar a diferença entre esses dois valores (veja o Capítulo 2)?
P1.33 A tabela abaixo apresenta os dados experimentais para a
massa específica do mercúrio versus a pressão a 20 °C:
p, atm 1 500 1.000 1.500 2.000
r, kg/m3 13.545 13.573 13.600 13.625 13.653
Ajuste esses dados para a relação de estado empírica
para líquidos, Equação (1.22), para encontrar os melho- res valores de B e n para o mercúrio. Depois, supondo que os dados sejam aproximadamente isentrópicos, use esses valores para calcular a velocidade do som no mer- cúrio a 1 atm e compare com a Tabela 9.1.
P1.34 Considere o vapor no seguinte estado próximo da linha
de saturação: (p1, T1) 5 (1,31 MPa, 290 °C). Calcule e
compare, para um gás ideal (Tabela A.4) e para as tabe-
*
EES
†O conceito de erro “mínimo quadrático” é muito importante e todos devem conhecê-lo.
las de vapor (ou o aplicativo EES), (a) a massa especí- fica r1 e (b) a massa específica r2 se o vapor se expande
isentropicamente a uma nova pressão de 414 kPa. Dis- cuta os seus resultados.
P1.35 Na Tabela A.4, os gases mais comuns (ar, nitrogênio,
oxigênio, hidrogênio) têm uma razão entre calores espe- cíficos k < 1,40. Por que o argônio e o hélio têm valores tão altos? Por que o N2O tem um valor tão baixo? Qual
é o k mais baixo que você conhece para um gás?
P1.36 O módulo de elasticidade volumétrica isentrópica B de
um fluido é definido como a variação isentrópica da pressão pela variação fracionária da massa específica:
B p
s
= ÊËÁr rˆ¯˜
Quais são as dimensões de B? Usando relações teóricas
p(r), calcule o módulo de elasticidade volumétrica (a)
do N2O, considerando que ele seja um gás ideal, e (b)
da água, a 20 °C e 1 atm.
P1.37 Um gás aproximadamente ideal tem peso molecular de
44 e um calor específico cv 5 610 J/(kg · K). Quais são
(a) a razão entre calores específicos, k, e (b) a velocida- de do som a 100 °C?
P1.38 Na Figura 1.8, se o fluido é glicerina a 20 °C e a distân-
cia entre as placas é 6 mm, qual é a tensão de cisalha- mento (em Pa) necessária para mover a placa superior a 5,5 m/s? Qual é o número de Reynolds se L é consi- derada a distância entre as placas?
P1.39 Conhecendo m para o ar a 20 °C da Tabela 1.4, calcule
a sua viscosidade a 500 °C (a) pela lei de potência e (b) pela lei de Sutherland. Faça também uma estimativa com base na (c) Figura 1.7. Compare com o valor acei- to de m < 3,58 E-5 kg/m · s.
P1.40 Para a viscosidade de líquidos como uma função da
temperatura, uma simplificação da lei do log-quadráti- co da Equação (1.31) é a equação de Andrade [21],
m < A exp (B/T), em que (A, B) são constantes de ajus-
te de curva e T é a temperatura absoluta. Ajuste essa relação para os dados da água na Tabela A.1 e calcule o erro percentual da aproximação.
P1.41 A tabela abaixo mostra alguns valores experimentais da
viscosidade do gás argônio a 1 atm:
T, K 300 400 500 600 700 800
m,kg/(m.s) 2,27 E-5 2,85 E-5 3,37 E-5 3,83 E-5 4,25 E-5 4,64 E-5
Ajuste esses valores (a) a uma lei de potência ou (b) à
lei de Sutherland, Equação (1.30).
P1.42 A tabela abaixo contém valores experimentais para a
viscosidade do hélio a 1 atm:
T, K 200 400 600 800 1.000 1.200
m, kg/(m.s) 1,50 E-5 2,43 E-5 3,20 E-5 3,88 E-5 4,50 E-5 5,08 E-5
Ajuste esses valores (a) a uma lei de potência ou (b) à
lei de Sutherland, Equação (1.30).
*
EES
EES
EES
P1.43 De acordo com a teoria dos gases rarefeitos [18], a
condição de não escorregamento começa a falhar em um escoamento em tubo quando o livre caminho mé- dio do gás é 0,005 vezes o diâmetro do tubo. Considere o hélio a 20 °C (Tabela A.4) escoando em um tubo com diâmetro de 1 cm. Usando a teoria do Problema P1.5 (que é “correta”, e não “proposta”), determine a pres- são do hélio para a qual começa essa falha na condição de não escorregamento.
P1.44 Os valores para o óleo SAE 30 na Tabela 1.4 são estri-
tamente “representativos”, não exatos, porque os óleos lubrificantes variam consideravelmente de acordo com o tipo de óleo cru do qual foram refinados. A Society of Automotive Engineers (SAE) [26] admite certos inter-
valos de viscosidade cinemática para todos os óleos
lubrificantes: para o SAE 30, 9,3 , ν , 12,5 mm2/s a
100 °C. A massa específica do óleo SAE 30 também pode variar de 2% em relação ao valor tabulado de 891 kg/m3. Considere os seguintes dados para uma
classe aceitável de óleo SAE 30:
T, ºC 0 20 40 60 80 100
m, kg/(m.s) 2,00 0,40 0,11 0,042 0,017 0,0095
Como é esse óleo comparado com o plotado na Figura
A.1 do Apêndice A? Como esses dados se ajustam à equação de Andrade do Problema 1.40?
P1.45 Um bloco de peso P desliza para baixo em um plano
inclinado lubrificado por um filme fino de óleo, como mostra a Figura P1.45. A área de contato do filme é A e sua espessura é h. Considerando uma distribuição linear de velocidade no filme, deduza uma expressão para a velocidade “terminal” V (com aceleração igual a zero) do bloco. Determine a velocidade terminal do bloco se a massa do bloco é de 6 kg, A 5 35 cm2, u 5 15° e o filme
de óleo SAE 30 tem uma espessura de 1 mm a 20 °C.
P1.45