Relações integrais para um volume de controle
3.2 O teorema de transporte de Reynolds
Figura 3.2 Volumes de controle fixo,
em movimento e deformável: (a) volume de controle fixo, para análise de esforços em bocal; (b) volume de controle em movimento na velocida- de de um navio, para análise de força de arrasto; (c) volume de controle deformável no interior de um cilindro, para análise da variação
transiente de pressão. (a) Superfície de controle (c) Superfície de controle V V (b) Superfície de controle V
as forças envolvidas numa análise de quantidade de movimento. Nesse sentido, o vo- lume de controle se assemelha ao conceito de corpo livre, que é aplicado nas análises de sistemas, em mecânica dos sólidos.
A Figura 3.2b ilustra um volume de controle móvel. Nesse caso, o interesse está no navio, não no oceano, de forma que a superfície de controle persegue o navio com velocidade V. O volume do volume de controle é constante, mas o movimento rela- tivo entre a água e o navio deve ser considerado. Se V é constante, esse movimento relativo assume um padrão de escoamento permanente, o que simplifica a análise.3 Se
V é variável, o movimento relativo é não permanente, de modo que os resultados cal- culados variam com o tempo, e certos termos entram na análise de quantidade de mo- vimento para representar o referencial não inercial (acelerando).
A Figura 3.2c mostra um volume de controle deformável. O movimento relativo nas fronteiras torna-se um fator importante, e a taxa de variação da forma do volume de controle entra na análise. Iniciamos com a dedução do caso de volume de controle fixo, considerando os outros casos como tópicos avançados.
A Figura 3.3 mostra um volume de controle fixo generalizado, com um escoamen- to de padrão arbitrário que o atravessa. Há partes variáveis de fluxo de entrada e de saída, ao longo da superfície de controle. Em geral, em cada elemento de área dA da superfície haverá uma velocidade V diferente, formando um diferente ângulo u com a normal local a dA. Em algumas áreas elementares, haverá fluxo de volume de entrada, (V A cosu)ent dt, e, em outras, haverá fluxo de volume de saída, (V A cosu)sai dt, confor- me a Figura 3.3. Algumas áreas poderão corresponder a linhas de corrente (u 5 90o )
ou a paredes sólidas (V 5 0), sem fluxo de entrada ou de saída.
Volume de controle fixo arbitrário
3 Um túnel de vento utiliza um modelo fixo para simular o escoamento sobre um corpo movendo-se
através de um fluido. Um tanque de reboque emprega um modelo móvel para simular a mesma situação. Sistema no tempo t + dt Sistema no tempo t d A u n, Vetor unitário normal a d A na entrada Superfície de controle fixa arbitrária SC Vent d A Vsai n, Vetor unitário normal a d A na saída Volume de controle fixo VC u
d ent = Vent dAent cos ent dt
= –V • n dA dt
u d sai = V dAsai cos sai dt
= V • n dA dtsai u
Figura 3.3 Um volume de
controle arbitrário com um padrão arbitrário de escoamento.
Seja B uma propriedade qualquer do fluido (energia, quantidade de movimento etc.), e seja b 5 db/dm a grandeza intensiva correspondente, definida pela quantidade de B por unidade de massa em qualquer porção pequena do fluido. A quantidade total de B no volume de controle (a curva sólida na Figura 3.3) é, portanto
BVC
VC dm VC d
dB
dm (3.8)
Examinando a Figura 3.3, vemos três fontes de variações em B relacionadas com o volume de controle:
Uma variação no interior do volume de controle d
dt VC d Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ Fluxo de saída de b no volume de controle
SC
V cos dAsai (3.9)
Fluxo de entrada de b no volume de controle
SC
V cos dAent
As notações VC e SC referem-se ao volume de controle e à superfície de controle, respectivamente. Observe, na Figura 3.3, que o sistema se moveu um pouco, ganhando uma porção no escoamento na saída e perdendo uma porção no escoamento na entrada. No limite quando dt → 0, a variação instantânea de B no sistema é a soma de sua va- riação no interior do VC, mais o seu fluxo que sai, menos o seu fluxo que entra:
d dt (Bsist)
d
dt VC d SC V cos dAsai SC V cos dAent
Ê Ë
Á ˆ
¯
˜ (3.10)
Esse é o teorema de transporte de Reynolds para um volume de controle fixo arbitrário. Fazendo a propriedade B ser a massa, a quantidade de movimento linear ou angular ou a energia, podemos reescrever todas as leis básicas na forma de volume de controle. Observe que as três integrais em (3.10) referem-se à propriedade intensiva b. Uma vez que o volume de controle é fixo no espaço, os elementos de volume d não variam com o tempo, de forma que a derivada temporal da integral de volume se anula, a menos que b ou r variem com o tempo (escoamento não permanente).
A Equação (3.10) expressa a fórmula básica de que uma derivada temporal do sistema equivale à taxa de variação de B dentro do volume de controle mais o fluxo de B na superfície de controle, para fora, menos o fluxo de B na superfície de controle, para dentro. A quantidade B (ou b) pode ser qualquer grandeza vetorial ou escalar do fluido. Duas formas alternativas são possíveis para os termos de fluxo. Primeiro, pode- mos notar que V cosu é o componente de V normal ao elemento de área da superfície de controle. Logo, podemos escrever
Termos de fluxo 5 SC Vn dAsai SC Vn dAent SC dm˙sai SC dm˙ent (3.10a)
em que dm¢ 5 rVn dA representa o elemento de fluxo de massa através da superfície. A forma (3.10a) ajuda a visualizar o que está sendo calculado.
Uma segunda forma alternativa oferece elegância e compacidade como vantagens. Se n é definido como o vetor unitário normal para fora em qualquer local da superfície de controle, então V n 5 Vn na saída e V n 5 2Vn na entrada. Logo, os termos de fluxo podem ser representados por uma única integral envolvendo V n e que leva em conta tanto os fluxos positivos de saída como os negativos de entrada
Termos fluxo
SC
(V n) dA (3.11)
A forma compacta do teorema de transporte de Reynolds é, portanto,
d dt (Bsist) d dt VC d SC (V n) dA Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ (3.12)
Essa forma é elegante, mas útil apenas em certas ocasiões, quando o sistema de coor- denadas for adaptado, em termos ideais, ao volume de controle selecionado. Caso con- trário, os cálculos serão mais fáceis se o fluxo de B na saída for adicionado e o fluxo de B na entrada for subtraído, de acordo com (3.10) ou (3.10a).
O termo de derivada temporal pode ser escrito na forma equivalente d dt VC d VC t ( ) d Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ (3.13)
para um volume de controle fixo, já que os elementos de volume não variam.
Se o volume de controle estiver se movendo uniformemente à velocidade Vs, como na Figura 3.2b, um observador ligado ao volume de controle verá o fluido atravessando a superfície de controle com uma velocidade relativa Vr, definida por
Vr V Vs (3.14)
em que V é a velocidade do fluido em relação ao mesmo referencial no qual o movi- mento Vs do volume de controle é observado. Note que a Equação (3.14) representa uma subtração vetorial. Os termos de fluxo serão proporcionais a Vr, mas a integral de
volume ficará inalterada, pois o volume de controle move-se com uma forma fixa, sem deformação. O teorema de transporte de Reynolds para esse caso de volume de contro- le que se move uniformemente é:
d dt (Bsist) d dt VC d SC (Vr n) dA Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ (3.15)
que se reduz à Equação (3.12) se Vs 0.
Se o volume de controle move-se a uma velocidade Vs(t) que conserva sua forma, então os elementos de volume não se alteram com o tempo, mas a velocidade relati- va Vr 5 V(r, t) 2 Vs(t) na fronteira torna-se uma função um tanto complicada. A
forma da Equação (3.15) não se altera, mas a avaliação da integral de área pode ser mais trabalhosa.
Volume de controle movendo-se à velocidade constante
Volume de controle de forma constante mas velocidade variável4
A situação mais geral ocorre quando o volume de controle tanto se move quanto se deforma arbitrariamente, conforme ilustrado na Figura 3.4. O fluxo de volume através da superfície de controle é ainda proporcional ao componente normal da velocidade relativa, Vr n, como na Equação (3.15). Todavia, uma vez que a superfície de contro-
le exibe uma deformação, sua velocidade é Vs 5 Vs(r,t), de modo que a velocidade relativa, Vr 5 V(r, t) 2 Vs(r, t), pode ser uma função complicada, apesar de a integral de fluxo ter a mesma forma que na Equação (3.15). Entretanto, a integral de volume da Equação (3.15) deve agora considerar a distorção dos elementos de volume com o tempo. Logo, a derivada temporal deve ser aplicada após a integração. Assim, o teore- ma de transporte para um volume de controle deformável assume a forma
d dt (Bsist) d dt VC d SC (Vr n) dA ˆ ¯ ˜ Ê Ë Á (3.16)
Este é o caso mais geral, que podemos comparar com a forma equivalente para um volume de controle fixo:
d
dt (Bsist) VC t ( ) d SC (V n) dA (3.17) O volume de controle móvel e deformável, Equação (3.16), apresenta apenas duas complicações: (1) a derivada temporal da primeira integral à direita deve ser efetuada do lado de fora e (2) a segunda integral envolve a velocidade relativa Vr entre o siste- ma fluido e a superfície de controle. Essas diferenças e sutilezas matemáticas são mais bem apreciadas por meio de exemplos.
Volume de controle com movimento e deformação arbitrários5
Figura 3.4 Efeitos da velocidade
relativa entre um sistema e um volume de controle quando ambos se movem e se deformam. As fronteiras do sistema movem-se à velocidade