3.4 Registro Documental II – Atividades Matemáticas Exploratórias II
3.4.1. O texto introdutório
O texto introdutório da atividade apresentava uma pequena informação histórica em relação à notação de função, bem como uma pequena receita sobre a quantidade de arroz necessária para a realização de uma reeita com rendimento de 4 porções, como pode ser visto na figura a seguir.
Figura 63: Texto introdutório
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Nesse sentido, como a situação apresentada no texto introdutório representava uma função, os participantes desse estudo foram orientados a representá-la por várias maneiras conhecidas, que foram desenvolvidas ao longo da história.
3.4.1.1 Item (a): Representação por tabela como os Babilônios
Os resultados desse item foram quantificados e organizados no quadro 19, que apresenta os diversos tipos de tabelas organizadas pelos participantes.
Quadro 19: Respostas dadas pelos participantes ao item (a).
As figuras 63 e 64 ilustram as tabelas, com duas colunas, elaboradas pelas participantes B15 e B23. A análise dos dados mostra que a participante B23 escreveu meia xícara de arroz com o auxílio de símbolos matemáticos, enquanto que a aluna B15 utilizou a linguagem escrita, sem a utilização de uma simbologia adequada para representar a situação-problema proposta.
Figura 64: Resposta dada pela participante B15
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Figura 65: Resposta dada pela participante B23
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Por outro lado, a figura 65 mostra que a participante B17 preferiu utilizar uma tabela horizontal e escrever a relação entre as porções e o arroz, sem indicar, contudo, qual a unidade de medida que estava sendo utilizada.
Figura 66: Resposta dada pela participante B17
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A figura 66 mostra que o participante B20 também utilizou uma tabela na horizontal, porém as linhas da tabela estão invertidas, em relação à tabela utilizada pela participante B17.
Figura 67: Resposta dada pelo participante B20
Fonte: Dados do professor-pesquisador
As figuras 67 e 68 mostram como as participantes A39 e A29 elaboraram tabelas para resolverem a situação-problema proposta.
Figura 68: Resposta dada pela participante A39
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Figura 69: Resposta dada pela participante A29
Fonte: Dados do professor-pesquisador
As figuras 69 e 70 ilustram as tabelas elaboradas pelas participantes A13 e A21 para a resolução dessa situação-problema.
Figura 70: Respota dada pela participante A21
Figura 71: Resposta dada pela participante A13
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise dos dados mostra que a resposta dada pela participante A13 não apresenta uma tabela do modo convencional, mas sim, uma relação entre a quantidade de porções e a quantidade necessária de ingredientes para a preparação do arroz. De modo contrário, a resposta da participante A21 apresenta uma tabela no sentido formal e usual.
3.4.1.2 Item (b): Representações gráficas, inicialmente utilizadas por Nicole Oresme no século XIV
O quadro 20 apresenta as respostas desse item (b) quantificadas e organizadas de acordo com as respostas dadas pelos participantes dessa pesquisa. Os dados analisados mostram que foram construídos tipos variados de gráficos, como por exemplo, gráfico de barras, gráficos contínuos e discretos.
Quadro 20: Respostas dadas pelos alunos à representação gráfica
A análise dos dados do quadro 20 mostra que 54 (87,08%) participantes utilizaram um gráfico contínuo para representar essa situação-problema. Contudo, é importante salientar que esses gráficos foram elaborados de maneiras diferentes. Por exemplo, 9 (14,51%) alunos não iniciaram a representação gráfica na origem do sistema cartesiano.
3.4.1.3 Item (c) Representação analítica utilizada por Fermat e Descartes no século XVII
O quadro 21 apresenta as respostas dos participantes para esse item (c).
Quadro 21: Resposta dos participantes por meio da representação analítica de funções
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Os dados analisados mostram que as representações simbólicas foram elaboradas por 51 (82,26%) alunos. As representações em linguagem verbal foram utilizadas por 11 (17,74%) particpantes. A análise desses dados destaca a importância da escrita retórica para a compreensão de conceitos matemáticos pelos alunos. Nessa perspectiva, mesmo que no enunciado dessa questão houvesse a solicitação para que os alunos elaborassem uma representação analítica para essa situação, 11 (17,74%) alunos utilizaram a representação retórica.
Por outro lado, 3 (4,84%) alunos expressaram essa situação-problema por meio da utilização do conceito de dependência entre as variáveis, como ilustra a figura 71, que apresenta a resposta dada pelo participante B20.
Figura 72: Resposta dada pelo participante B20
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise de dados revela que o participante B20 expressou a ideia de dependência entre a quantidade total de porções e o número de xícaras e, também, as porções por xícaras. A figura 72 mostra que esse aluno não utilizou a notação usual de função, porém, utilizou-a para a resolução do item (e) dessa atividade.
Figura 73: Resposta dada pelo participante B20
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Assim, a partir dos dados analisados, para cada um dos símbolos utilizados por esse aluno, verifica-se o seu entendimento sobre os parênteses na notação utilizada, entendendo-o como o indicativo de uma multiplicação. Dessa maneira, se esse aluno multiplicar as porções por xícaras pela quantidade de xícaras tem-se a quantidade total de porções. Esse raciocínio também foi utilizado pelo aluno A20 que, em entrevista realizada no dia 20 de janeiro de 2012, afirmou que f(x) significa a multiplicação de f por x.
Por outro lado, a participante B41 utilizou uma equação de primeiro grau para resolver esse item. A figura 73 mostra a resposta dada por essa aluna.
Figura 74: Resposta dada pela participante B41
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise dessa resolução mostra que a participante utilizou somente uma incógnita na expressão, porém não existe uma indicação explícita de como o valor resultante dessa resolução foi determinado e nem sobre o significado dado pela aluna B41 para a incógnita.
Utilizando outro recurso de resolução, um aluno, que não se identificou, utilizou, simultaneamente, a representação proporcional, simbólica e retórica para resolver essa situação-problema. A figura 74 ilustra como esse aluno respondeu à questão proposta.
Figura 75: Representações da participante A15
Fonte: Dados do professor-pesquisador
À esquerda do processo resolutório, tem-se o pensamento proporcional utilizado pela participante A15 enquanto que à direita, a aluna mostra a continuidade da resolução do problema, porém, sem a utilização de incógnitas ou variáveis. Além disso, para escrever essa situação, essa aluna utilizou a variável x concomitantemente com a escrita retórica por meio da utilização da palavra porção. Provavelmente, a aluna A15 se encontra em estágio de construção da linguagem algébrica, por utilizar tanto a linguagem escrita quanto a simbólica, na resolução dessa situação-problema.
A escrita retórica e simbólica foi utilizada por 2 (3,23%) participantes, que não se identificaram. A figura 75 ilustra a resposta dada por um desses participantes.
Figura 76: Resposta dada por um dos alunos que não se identificou
A análise dessa resolução mostra a similaridade com a resposta final apresentada anteriormente, na figura 74, porém, nesse caso, o processo resolutório não foi apresentado.
A escrita proporcional, gráfica e algébrica para a resolução dessa situação- problema foi utilizada, simultaneamente, pelo aluno A12, estando associada com a escrita algébrica e proporcional conforme proposto por Fermat, enquanto que a solução gráfica está relacionada com o processo resolutório proposto por Descartes. Nesse sentido, o participante A12 escreveu os nomes desses dois matemáticos nas proximidades das respostas apresentadas. A figura 76 mostra o processo de resolução utilizado pelo aluno A12.
Figura 77: Resposta dada pelo participante A12
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A representação algébrica e tabular foi utilizada por 3 (4,84%) alunos, que não se identificaram. A figura 77 mostra o procedimento utilizado por um desses alunos.
Figura 78: Resposta dada por um aluno não identificado
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A escrita retórica foi apresentada por 3 (4,84%) participantes que escreveram que “para cada 0,5 xícaras de arroz, multiplica-se o número de porções por 8”. A análise dessa resolução mostra a maneira como esses três alunos escreveram a expressão em linguagem corrente, sem a utilização excessiva de símbolos. Contudo, como resposta dada ao item (d), subsequente, que questionou sobre a representação por meio da utilização da notação f(x) de Euler, esses três participantes utilizaram os símbolos e a notação requerida, ao fornecer a resposta f(x)0,5
x 4para aquela situação- problema.3.4.1.4 Item (d) Por meio da utilização da notação f(x), iniciada por Euler no século XVIII.
O quadro 22 contém as respostas dadas pelos participantes para esse item.
Quadro 22: Respostas dadas pelos participantes para o item (d)
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise de dados mostra que 56 (90,32%) participantes utilizaram a notação requerida para esse item, mesmo que a expressão não representasse com exatidão a situação proposta. Dentre os 56 alunos que utilizaram a notação correta, 6 (9,68%) não representaram a situação, pois somente escreveram uma lei genérica para uma função linear, ou seja, com os parâmetros a e b.
Os dados analisados também mostram que 6 (9,68%) participantes utilizaram outras notações para esse questionamento, sendo que 4 (66,66%) dos 6 alunos utilizaram a notação y8xenquanto que 2 (33,34%) alunos utilizaram um diagrama para representar essa situação-problema.
Por outro lado, 4 (6,45%) participantes determinaram f(x)=1/2=4 como resposta para essa situação-problema. Porém, os dados coletados não são suficientes para analisar como esses alunos determinaram essa resposta. No entanto, é possível levantar algumas hipóteses, como por exemplo, a função determinada pode representar a relação existente entre meia xícara de arroz e uma porção de arroz para quatro pessoas. Além disso, como foi requerida a utilização da notação criada por Euler, os participantes que
responderam dessa maneira podem ter igualado esse relacionamento à notação atual de função.
3.4.1.5 Item (e) Utilizando a definição atual de função e representando através de conjuntos.
O quadro 23 mostra as respostas dadas pelos participantespara esse item.
Quadro 23: Respostas dadas pelos participantes ao item (e)
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise dos dados mostra que 50 (80,64%) participantes representaram essa situação-problema por meio de um diagrama que relaciona a quantidade de xícaras e as porções, enquanto que 2 (3,23%) participantes não responderam a esse item. Além disso, de acordo com os dados dispostos no quadro 17, 5 (8,07%) participantes não representaram essa situação-problema por meio de conjuntos, pois utilizaram tabelas e diagramas, 3 (4,83%) participantes utilizaram uma equação, enquanto que 2 (3,23%) participantes resolveram esse item por meio da notação funcional.