Aceleração média e instantânea

O conceito de aceleração está ligado à variação de velocidade: sempre que a velocidade do ponto material varia, dizemos que esse ponto material foi acelerado. Não é suficiente, porém, saber quanto variou a veloci- dade; é preciso saber também qual o intervalo de tem- po em que essa variação ocorreu.

A aceleração, como a velocidade, é grandeza veto- rial, por isso ela exige um tratamento matemático mais complicado. Mas, para movimentos retilíneos, é possí- vel definir a aceleração de maneira simples, escalar- mente, considerando apenas os módulos da aceleração e das velocidades.

Assim, se a velocidade do ponto material em traje-

tória retilínea sofre a variação Δv, em módulo, no inter-

valo de tempo Δt, a aceleração média (a_m ), em módulo,

pode ser definida pela razão:

am5

∆v

t

∆

Se o ponto material tem velocidades de módulo v0

(v zero), no instante inicial t0, e v, no instante t, a variação

de sua velocidade, em módulo, será Δv 5 v 2 v₀ no in-

tervalo de tempo Δt 5 t 2 t₀, como mostra a figura abaixo.

t0 t

a&m _v&

v0&

Representação esquemática da aceleração média a&m e das velocidades v& e v0 do ponto material nos instantes t e t0.

Neste caso a definição de aceleração média, em módulo, pode ser expressa por:

a_m5 v v t t v v v v t t t t 0 0

A unidade de aceleração é a razão entre a unidade

de velocidade e a unidade de tempo. No SI é metro por

segundo ao quadrado (m/s2_).

Dizer que um móvel tem uma aceleração média de

5 m/s2

, por exemplo, equivale a dizer que, a cada se-

gundo, a velocidade desse móvel varia 5 m/s. Na práti-

ca, podem ser usadas outras unidades, como o quilô- metro por hora por segundo, km/h/s, por exemplo.

A diferença entre aceleração média e ins tan- tânea é exatamente a mesma que existe entre velocidade média e velocidade instantânea.

c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS

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Aceleração média é a aceleração do móvel calculada

num intervalo de tempo, enquanto aceleração instan- tânea é a aceleração média num instante, ou seja, num

intervalo de tempo infinitamente pequeno (Δt → 0).

Também aqui, quando nos referimos simplesmente à

ace leração, estamos nos referindo à aceleração ins- tantânea. Como curiosidade, veja na tabela abaixo al-

guns valores aproximados de aceleração média:

Descrição Aceleração

(m/s2₎

Choque (freagem brusca) de carro a 100 km/h

contra obstáculo rígido 1  10

3

Paraquedas abrindo (freagem na condição

limite da resistência humana) 320 Aceleração da gravidade na superfície solar 270 Ejeção de assento em aeronave (na condição

limite da resistência humana) 150 Aceleração máxima suportável pelo ser

humano sem perda de consciência 70 Aceleração da gravidade terrestre 9,8 Aceleração produzida pelos freios de um

automóvel comum em situação de emergência ≈ 8* Aceleração da gravidade na Lua 1,7 Aceleração de um elevador de passageiros 0,5 a 1 Aceleração da gravidade da Terra a 50 mil km

de sua superfície 1,3  10

–1

* O sinal ≈ indica uma estimativa do valor de determinada grandeza.

MeTRo poR seGunDo

ao quaDRaDo

A unidade de aceleração no SI é metro por segun- do por segundo. No entanto, a Matemática permite que essa unidade seja expressa de uma forma mais sintética: metro por segundo ao quadrado. Esta últi- ma expressão, embora seja a unidade adotada pelo SI, não contribui para a compreensão do conceito de aceleração e isso ocorre porque a ideia de que há uma velocidade variando (metro por segundo) num intervalo de tempo (por segundo) se perde.

Quando se usa uma unidade mista, que não per- tence ao SI, como o km/h/s, essa ideia é mais facil- mente resgatada. Se alguém diz que um automóvel tem uma aceleração de 2 km/h/s, é fácil perceber que a velocidade desse automóvel varia de 2 km/h por segundo. Por isso é interessante lembrar sempre que m/s2 _{é apenas uma forma compacta de repre-}

sentar m/s/s.

E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S

4. A foto mostra um dragster, carro construído espe-

cialmente para competições curtas em que o fator predominante é a aceleração. Ele pode atingir a ve- locidade de 540 km/h em 4,5 s, a partir do repouso. Nesse caso, qual é o módulo da sua aceleração mé-

dia, em m/s2_?

George L

epp/Stone/Get

ty Images

r e so luç ão

Transformando o módulo da velocidade

v 5 540 km/h em m/s, temos:

v 5 540_3,6 ⇒ v 5 150 m/s

Sendo v05 0 (o carro parte do repouso) e v 5 150 m/s

para Δt 5 4,5 s, da definição de aceleração média, em

módulo, temos: a_m5 ∆ ∆ v t ⇒ am5 v v t 2 0 ∆ ⇒ am5 150 0 4,5 2 ⇒ ⇒ am5 33 m/s 2

Observação: Esta é uma aceleração muito maior do que a habitual. Um carro comum, nas mesmas con- dições, atinge a velocidade de 100 km/h em cerca de 10 s, o que corresponde a uma aceleração média

de cerca de 2,8 m/s2_{, quase 12 vezes menor do que}

a de um dragster de alta potência.

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UNIDADE 2 – ESTUDO DOS MOVIMENTOS

5. O módulo da velocidade de um ponto material em

trajetória retilínea varia de 10 m/s a 30 m/s em 5,0 s.

Qual o módulo da sua aceleração média nesse in- tervalo de tempo?

     

De início, representamos esquematicamente o enun ciado:

v& Dt

v0&

Sendo v₀ 5 10 m/s, v 5 30 m/s e Δt 5 5,0 s, pela

definição de aceleração média, em módulo, temos:

Δv 5 v 2 v0⇒ Δv 5 30 2 10 ⇒ Δv 5 20 m/s

am 5 ∆_∆v_t ⇒ am5 20_5,0⇒ am 5 4,0 m/s2

6. Um automóvel está com velocidade de módulo

90 km/h quando é freado em linha reta, parando em 5,0 s.

Determine o módulo da aceleração média ocorrida durante a freagem.

     

O módulo da velocidade inicial é v₀5 90 km/h ou

25 m/s no instante t₀5 0.

Como o automóvel parou, a velocidade final é v 5 0

no instante t 5 5,0 s. Representamos o esquema

dessa situação, em que se admite o automóvel como um ponto material:

v& = 0 v0&

am&

t0 = 0 t

Da definição de aceleração média, em módulo, vem:

a v v t t a a m5 m m 2 2 5 22 5 2 0 0 0 25 5,0 0 5,0 m/s ⇒ ⇒ 2

Observação: Apesar de ser costume associar a ace- leração negativa à frenagem, na verdade não é essa a razão de o módulo da aceleração média estar pre- cedido pelo sinal negativo. Nesse caso, isso ocorre porque ela está orientada no sentido oposto ao do eixo coordenado.

E X E R C Í C I O S

9. A foto mostra um dos novos carros expostos em

2011 no Salão do Automóvel de Tóquio. Segundo o fabricante, “esse carro acelera de 0 a 100 km/h em 4,8 s e atinge velocidade de até 300 km/h”.

Di

vulg

ação/Arqui

v

o da editora

Com base nesses dados, determine:

a) o módulo da aceleração média desse automóvel quando a velocidade varia de 0 a 100 km/h; b) o intervalo de tempo gasto para o carro atingir

sua velocidade máxima partindo do repouso e mantendo essa aceleração média.

10. O módulo da velocidade de um ponto material em

movimento retilíneo reduz de 18 m/s a 6,0 m/s em 3,0 segundos. Qual a aceleração média desse móvel em módulo e sinal?

11. Um automóvel parte do repouso (v₀5 0) e adqui-

re uma velocidade de módulo 90 km/h depois de 10s, percorrendo uma trajetória retilínea. Determine:

a) o módulo da aceleração média desse automóvel em km/h/s;

b) o módulo da aceleração média em unidades do SI.

12. Um ponto material tem movimento retilíneo. Num

determinado instante, o módulo da sua velocidade é de 5,0 m/s. Se o módulo da aceleração média

desse ponto material é de 2,0 m/s2_{, qual o inter-}

valo de tempo necessário para que o módulo da velocidade por ele atingida seja 25 m/s?

c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS

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5. Funções e gráficos: a descrição

matemática dos movimentos

No documento Compreendendo a Física - Vol 01.pdf (páginas 58-61)