ponto material estudadas até aqui, tempo, posição, velo- cidade e aceleração, pode-se concluir, da própria defini- ção de movimento, que o tempo e a correspondente po- sição do ponto material, em relação a um determinado referencial, sempre variam. Mas podem variar também a velocidade e a aceleração desse ponto material.
Se houver correspondência entre os valores ou mó-
dulos dessas grandezas, poderemos obter funções que
permitirão descrever matematicamente esses movi- mentos. Como o módulo e o sinal dessas grandezas de- pendem do referencial adotado, a expressão de cada função também depende desse referencial.
Assim, do movimento do ponto material podem ser escritas, entre outras, as funções:
• da posição em relação ao tempo;
• da velocidade em relação ao tempo;
• da aceleração em relação ao tempo;
• da velocidade em relação à posição.
Uma vez que a cada função matemática correspon- de um gráfico, a descrição dos movimentos pode ser feita também com a utilização de gráficos.
funções e equações
Função é uma relação matemática entre duas variáveis; a cada valor atribuído, ou assumido, por uma delas correspondem um ou mais valores as- sumidos pela outra. A expressão x 5 2 1 3t I é uma função, pois a cada valor de t corresponde um valor de x. Outro exemplo é v2 5 x II , função em
que, a cada valor positivo de x, correspondem dois valores de v. Em ambas as expressões, existem infi- nitos pares de valores de t e x (em I ) e de x e v (em
II ) que satisfazem a igualdade. Isso é o que distin- gue função de equação.
A equação é uma igualdade que só pode ser sa- tisfeita por um número limitado de valores. Assim, a expressão x 1 3 5 7 é uma equação, pois a igual- dade só pode ser satisfeita para x 5 4.
Quando se atribui um determinado valor a uma das variáveis de uma função, ela se torna uma equação. Atribuindo-se a t o valor 3, por exemplo, na função I , ela se torna a equação x 5 11. Na função II , quando x assume o valor 4, obtém-se a equação v2 5 4, só satisfeita pelos valores v 5 12
ou v 5 22.
Lembremos que eixos cartesianos bidimensionais são duas retas orientadas, perpendiculares entre si, onde se representam as coordenadas corresponden- tes às variáveis independentes e dependentes de uma função. As variáveis independentes são aquelas às
quais atribuí mos valores. As variáveis dependentes,
como o próprio nome indica, têm valores que depen- dem daqueles atribuídos às variáveis independentes.
Os valores da variável independente da função fi- cam no eixo das abscissas, enquanto os valores da va- riável dependente são colocados no eixo das ordena- das, por convenção. A cada par de valores corresponde um ponto, o gráfico (ou figura) formado por esses pon- tos é a “curva” da função.
A partir do gráfico da função, é possível obter sua expressão matemática.
Quando o gráfico é uma reta, essa expressão tem a forma:
y 5 mx 1 n
em que:
• y é a variável dependente; • x é a variável independente;
• m é o coeficiente angular, que pode ser obtido pela razão:
m 5 yx22 y1
22 x1
em que x2, y2 e x1, y1 são as coordenadas de dois
pontos P2 e P1 da reta (veja a figura a seguir);
• n é o coeficiente linear, o valor numérico da ordena- da cortada pela reta.
y x n y1 x1 x2 y2 P1(x1, y1) P2(x2, y2)
Par de eixos cartesianos perpendiculares entre si.
A partir do gráfico dessa função, é possível obter a sua expressão matemática. Para isso é preciso saber o seu coeficiente angular, determinado pelas coordena-
das dos pontos P2 e P1, e o seu coeficiente linear.
Os exercícios resolvidos apresentados a seguir mos- tram como é possível descrever movimentos com fun- ções e gráficos.
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U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOSE X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S
7. A função da posição (x) em relação ao tempo (t) de
um ponto material em movimento retilíneo, expres- sa em unidades do SI, é x 5 10 1 5,0t. Determine: a) a posição do ponto material no instante t 5 5,0 s; b) o instante em que a posição do ponto material é
x 5 50 m;
c) o gráfico posição 3 tempo correspondente a
essa função.
r e so luç ão
a) Para t 5 5,0 s, temos: x 5 10 1 5,0t ⇒ x 5 10 1 5,0(5,0) ⇒ ⇒ x 5 10 1 25 ⇒ x 5 35 m b) Para x 5 50 m, temos: x 5 10 1 5,0t ⇒ 50 5 10 1 5,0t ⇒ ⇒ 50 2 10 5 5,0t ⇒ 40 5 5,0t ⇒ t 5 8,0 s c) Atribuímos valores a t, obtendo os correspon-dentes valores de x. Em seguida colocamos esses valores num sistema de eixos cartesia- nos. Neste caso, trata-se de uma função afim* — a variável t está no primeiro grau —, portanto o gráfico é uma reta. Para traçar a reta podem ser utilizados apenas dois pontos, por exemplo:
• para t 5 0 → x 5 10 m
• para t 5 5,0 s → x 5 35 m
Esses valores, colocados num sistema de eixos cartesianos, permitem a construção do gráfico
posição 3 tempo (x 3 t) desse movimento. É
interessante incluir também mais alguns pon- tos para confirmar a linearidade da função:
t 5 1,0 s → x 5 15 m t 5 3,0 s → x 5 25 m t 5 2,0 s → x 5 20 m t 5 4,0 s → x 5 30 m Veja o gráfico: x (m) 20 1,0 2,0 3,0 4,0 30 40 t (s) 10 50 5,0 6,0
* Em Física, costuma-se chamar essa função de linear, o que em Mate-
mática só é correto quando n 5 0; para n ≠ 0, a função é denominada afim.
8. A função da posição (x) em relação ao tempo (t )
de um ponto material em movimento retilíneo,
expressa em unidades do SI, é x 5 30t 2 5,0t2.
Determine:
a) a posição do ponto material no instante t 5 3,0 s; b) o instante em que a posição do ponto material é
x 5 40 m;
c) o gráfico posição 3 tempo correspondente a
essa função.
r e s o luç ão
a) Para t 5 3,0 s, temos: x 5 30t 2 5,0t2⇒ x 5 30(3,0) 2 5,0(3,0)2⇒ ⇒ x 5 90 2 45 ⇒ x 5 45 m b) Para x 5 40 m, temos: x 5 30t 2 5,0t2⇒ 40 5 30t 2 5,0t2⇒ ⇒ 5,0t22 30t 1 40 5 0 ⇒ t22 6,0t 1 8,0 5 0Obtivemos uma equação do segundo grau cujas raízes são t’ 5 2,0 s e t” 5 4,0 s.
Ambas são válidas, ou seja, o ponto material passa duas vezes pela mesma posição. Pode- mos concluir, portanto, que o ponto material executa um movimento de vaivém.
c) Atribuímos valores a t, obtendo os correspon- dentes valores de x. Colocamos os pontos re- presentados por esses valores numa tabela:
t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
x (m) 0 25 40 45 40 25
Esses pontos permitem a construção do gráfi-
co posição 3 tempo (x 3 t) desse movimento.
Obtivemos uma parábola:
x (m) 20 1,0 2,0 3,0 4,0 30 40 t (s) 10 5,0
Observação: A parábola tem a concavidade para baixo. A simples visualização do gráfico dá infor- mações importantes sobre o movimento. Neste caso, trata-se de um movimento de vaivém em que o ponto material atinge a distância máxima da origem no instante t 5 3,0 s, na posição x 5 45 m.
c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS
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9. A função da velocidade (v) em relação ao tempo
(t ) de um ponto material em movimento retilíneo, expressa em unidades do SI, é v 5 6,0 2 2,0t. Determine:
a) o módulo da velocidade do ponto material no instante t 5 4,0 s;
b) o instante em que o módulo da velocidade do ponto material é v 5 3,0 m/s;
c) o gráfico velocidade 3 tempo correspondente a
essa função.
r e so luç ão
a) Para t 5 4,0 s, temos:
v 5 6,0 2 2,0t ⇒ v 5 6,0 2 2,0(4,0) ⇒
⇒ v 5 22,0 m/s
O sinal negativo que precede o módulo da velo- cidade indica que, nesse instante, o ponto material está se movendo no sentido oposto ao sentido positivo do referencial.
b) Para v 5 3,0 m/s, temos:
v 5 6,0 2 2,0t ⇒ 3,0 5 6,0 2 2,0t ⇒
⇒ 2,0t 5 3,0 ⇒ t 5 1,5 s
c) Atribuímos valores a t, obtendo os correspon- dentes módulos da velocidade (v). Colocamos os pontos representados por esses valores nu- ma tabela:
t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
v (m/s) 6,0 4,0 2,0 0 22,0 24,0
Esses valores, colocados num sistema de eixos cartesianos, permitem a construção do gráfico
velocidade 3 tempo (v 3 t) desse movimento:
v (m/s) Ð2,0 1,0 0 2,0 3,0 4,0 2,0 4,0 t (s) 6,0 Ð4,0 5,0 Observações
1·) Note que por meio da função da velocidade em
relação ao tempo de um ponto material obtém- -se o módulo da velocidade desse ponto mate- rial precedido pelo sinal positivo ou negativo, que indica o seu sentido. Então, se for dada a direção do movimento, a função dá, em cada instante, o módulo, o sentido e a direção da velocidade; logo, podemos afirmar que, nesse caso, a função relaciona a velocidade vetorial- mente com o tempo.
2·) O gráfico nos mostra que até o instante t 5 3,0 s
o módulo da velocidade é precedido de sinal posi- tivo, ou seja, o ponto material se move no mesmo sentido do referencial. No instante t 5 3,0 s ele para (v 5 0) e, desse instante em diante, o módulo da sua velocidade passa a ser precedido de sinal negativo — o ponto material passa a mover-se no sentido oposto ao eixo. Como no exemplo anterior, este também é um movimento de vaivém.
10. O gráfico do módulo da velocidade (v) em relação
ao tempo (t) de um ponto material em movimento retilíneo é representado a seguir:
v (m/s) 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 t (s) 10 12 2,0 4,0 5,0 Determine:
a) o módulo da velocidade do ponto material no instante t 5 4,0 s;
b) o instante em que o módulo da velocidade do ponto material é v 5 4,0 m/s;
c) o coeficiente linear dessa reta; d) o coeficiente angular dessa reta;
e) a função da velocidade em relação ao tempo correspondente a esse gráfico.
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U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOSE X E R C Í C I O S
13. O freio de um automóvel poderia ser chamado
também de acelerador? Justifique.
14. Dadas as expressões 200 5 10 20t t2 e
x 5 10 20t t2, qual é a função do segundo grau
e qual é a equação do segundo grau? Explique.
15. A função da posição (x) em relação ao tempo (t)
de um ponto material em movimento retilíneo,
expressa em unidades do SI, é x 5 20 2 4,0t.
Determine:
a) a posição do ponto material no instante t 5 5,0 s;
b) o instante em que a posição do ponto material é
x 5 12 m;
c) o gráfico posição 3 tempo correspondente a
essa função.
16. O gráfico da velocidade (v) em relação ao tempo (t)
de um ponto material em movimento retilíneo é representado assim: v (m/s) 2,0 0 4,0 6,0 8,0 5,0 10 t (s) 15 20 –5,0 10 12 Determine:
a) a velocidade do ponto material no instante
t 5 10 s;
b) o instante em que a velocidade do ponto mate-
rial é v 5 15 m/s;
c) o coeficiente linear dessa reta; d) o coeficiente angular dessa reta;
e) a função da velocidade em relação ao tempo correspondente a esse gráfico.
17. A função da velocidade (v) em relação ao tempo (t)
de um ponto material em movimento retilíneo,
expressa em unidades do SI, é v 5 2,0 1 0,50t.
Determine:
a) o módulo da velocidade do ponto material no
instante t 5 10 s;
b) o instante em que o módulo da velocidade do
ponto material é v 5 4,5 m/s;
c) o gráfico velocidade 3 tempo correspondente a
essa função.
r e s o luç ão
a) Observando o gráfico, verificamos que o mó- dulo da velocidade do ponto material no ins- tante t 5 4,0 s é v 5 10 m/s.
b) Pelo gráfico, o módulo da velocidade do ponto material é v 5 4,0 m/s no instante t 5 1,0 s. c) Para determinar o coeficiente linear n dessa re-
ta, basta verificar a ordenada em que a reta cor- ta o eixo das ordenadas — neste caso, é o eixo das velocidades. Obtemos então n 5 2,0 m/s. d) Escolhemos os pontos do gráfico v 3 t de coor-
denadas (1,0 s; 4,0 m/s) e (3,0 s; 8,0 m/s), por exemplo. v (m/s) 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 t (s) 10 12 2,0 4,0 5,0
Aplicando a expressão do coeficiente angular, obtemos: m y y x x m m 5 2 2 5 2 2 5 2 1 2 1 2 8,0 4,0 3,0 1,0 2,0m/s ⇒ ⇒
e) A função da velocidade em relação ao tempo correspondente a esse gráfico pode ser obti- da diretamente da expressão y 5 mx 1 n, lem- brando que, neste caso, y 5 v (ordenadas) e x 5 t
(abscissas). Como m 5 2,0 m/s2 e n 5 2,0 m/s,
temos:
y 5 mx 1 n ⇒ v 5 2,0t 1 2,0 ou v 5 2,0 1 2,0t
Observações
1·) A unidade do coeficiente angular é a unidade de
aceleração, pois ele expressa a razão entre a va- riação da velocidade e o intervalo de tempo cor- respondente, que, como vimos, é a definição de aceleração. Em outras palavras, o coeficiente an- gular é o módulo da aceleração do ponto material.
2·) Em geral não há necessidade de colocar explicita-
mente as unidades na função obtida. Basta dizer que as unidades pertencem ao SI, por exemplo.
c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS