e velocidade escalar
44 UNIDADE 2 – ESTUDO DOS MOVIMENTOS
A velocidade escalar pode estar relacionada a um intervalo de tempo, quando então é chamada de velo- cidade escalar média, ou a um instante — intervalo de tempo infinitamente pequeno —, quando então é cha- mada de velocidade escalar instantânea.
Velocidade escalar média (vm) de um corpo é, por
definição, a razão entre o espaço percorrido (Δe; lê-se
“delta e”) e o intervalo de tempo (Δt) gasto para per-
corrê-lo. Assim, a expressão matemática da velocida- de escalar média é:
vm5 espaço percorrido
intervalo de tempo gasto para percorrrê-lo Ou, adotando os símbolos correspondentes:
vm5 ∆
∆
e t
O intervalo de tempo Δt (delta t) pode ser expresso
pela diferença entre o instante inicial t0 (t zero) e o ins-
tante final t, correspondentes ao início e ao fim do per- curso considerado (estamos considerando intervalo de
tempo, Δt, como noção intuitiva — que dispensa defini-
ção — obtida pela diferença entre dois instantes deter-
minados: t, final ou posterior, e t0, inicial ou anterior). As-
sim, o intervalo de tempo é representado pela expressão:
Δt 5 t 2 t0
A unidade da velocidade escalar média ou instan- tânea é obtida pela razão entre as unidades de espa- ço percorrido (comprimento) e de tempo. Como no SI a unidade de comprimento é o metro (m) e a de tem- po é o segundo (s), a unidade de velocidade é o me- tro por segundo (m/s).
DELTA
(Δ)
Em Física usa-se a letra grega Δ (delta) sem- pre que se pretende representar um intervalo ou a variação de alguma grandeza. A variação de uma grandeza é sempre obtida pela diferença entre sua medida final e inicial no intervalo de tempo consi- derado; no caso do espaço percorrido essas medi- das podem ser duas referências — dois marcos quilométricos, por exemplo — fixadas no cami- nho percorrido por um móvel, por isso optamos por usar a notação Δe em vez de e, apenas. Assim, podemos escrever Δe 5 e 2 e0, sendo e e e0 as refe-
rências consideradas.
Na prática, entretanto, utilizam-se também ou- tras unidades, como o quilômetro por hora (km/h).
A definição de velocidade escalar instantânea é um pouco diferente da de velocidade escalar média. A dife- rença aparece porque, para determinar a velocidade escalar instantânea de um corpo, é necessário consi- derar um intervalo de tempo infinitamente pequeno, um instante.
A Matemática representa esse intervalo de tempo
na forma Δt → 0 (delta t tendendo a zero) e tem regras
de cálculo especiais para o cálculo de frações em que o denominador tende a zero.
O que importa, por enquanto, é distinguir velocida- de média de velocidade instantânea. Para isso vamos nos valer de um exemplo: se um carro percorre 100 qui- lômetros em 2 horas, a sua velocidade média é única e vale 50 km/h. Nesse percurso, no entanto, ele certa- mente teve, em determinados momentos, velocidades instantâneas — marcadas pelo velocímetro — diferen- tes de 50 km/h. O velocímetro mede a velocidade es- calar instantânea do carro; a velocidade escalar média, para ser medida, depende da escolha do intervalo de tempo a ser considerado, por isso só pode ser calcula- da a posteriori.
Veja a tabela abaixo. Como as demais desta cole- ção, ela é apenas ilustrativa. Seus dados foram obtidos de diferentes fontes, a maioria delas indireta. Por essa razão não há indicação da fonte desses dados.
Descrição Velocidade (m/s)
Deriva continental 2 ? 1029
Lesma 1,0 ? 1023
Homem caminhando apressadamente 1,3 Prova dos 100 m rasos 10 Boeing 747 (velocidade máxima) 270 Som no ar à temperatura ambiente 330 Moléculas de O2 no ar à temperatura
ambiente 450
Ponto na superfície da Terra no equador 460 Velocidade da Terra em torno do Sol 3,0 ? 104
Luz no vácuo 3,0 ? 108
c a p í T u lO 3 – i N T rO d u ç ãO aO E ST u d O d OS M OV i M E N TOS
45
E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S
1. Um automóvel sai de São Paulo às 10 horas e chega
ao Rio de Janeiro às 17 horas depois de percorrer 420 quilômetros.
a) Qual foi a velocidade escalar média desse automóvel?
b) O que se pode afirmar sobre a velocidade es calar
instantânea do automóvel às15h10min?
G. Evangelista/Opção Brasil Imagens
r e s o lu ç ão
a) Sendo dados Δe 5 420 km, t05 10 h e t 5 17 h,
da definição de velocidade escalar média, temos:
vm5 ∆
∆
e
t ⇒ vm5 42017 10 ⇒ vm5 4207,0 ⇒
⇒ vm5 60 km/h
b) Os dados só nos permitem saber a velocidade escalar média em todo o intervalo de 7,0 horas que durou a viagem; não há como saber a velo- cidade escalar instantânea no instante pedi- do (15h10min). Desde que compatíveis com os dados do enunciado, o carro pode ter tido qual- quer velocidade, inclusive nula.
2. Um avião que vai de Brasília a Recife decola às
7h00min e aterrissa às 9h30min. Sabendo-se que a velocidade média do avião é de 910 km/h, qual o espaço percorrido por esse avião?
r e s o lu ç ão
Da expressão da velocidade média, temos:
vm5 ∆
∆
e
t ⇒ Δe 5 vmΔt
Expressando o intervalo de tempo em números decimais, temos:
Δt 5 9 h 30 min 7 h 00 min ⇒ Δt 5 9,5 h 7,0 h ⇒ ⇒ Δt 5 2,5 h
Como vm5 910 km/h, temos:
Δe 5 vmΔt ⇒ Δe 5 910 · 2,5 ⇒ Δe 5 2 300 km
Observação: O resultado da conta 910 · 2,5 é igual a 2 275, mas ele foi arredondado por coerência com
os algarismos significativos dos dados do enuncia-
do do exercício.
c
riTÉrios para escreveralGarisMos siGNiFicaTivos
O primeiro critério para escrever algarismos sig- nificativos decorre do instrumento e do processo de medida usados. Veja a imagem:
Eduardo S
antaliestra/
Arqui
v
o da editora
Só é possível escrever a medida do diâmetro dessa arruela por meio de dois ou três algarismos significa- tivos: 1,5 cm ou 1,55 cm. No segundo caso, o terceiro algarismo é avaliado, mas ainda é significativo por- que essa avaliação se baseia no instrumento de medi- da (metade da sua menor divisão). É fácil concluir que, nessa medida, com essa régua, três é o número máximo de algarismos que pode ser adotado.
O segundo critério decorre de cálculos feitos a partir de medidas como essas: se calcularmos, por exemplo, a área A do círculo externo dessa arruela adotando o diâmetro d 5 1,55 cm, com uma calcula- dora de 10 dígitos, vamos obter: A 5 1,886919088 cm2.
Mas, como não faz sentido obter um resultado com mais algarismos significativos do que a medida que lhe deu origem, devemos desprezar os sete últimos algarismos. Nesse caso, adota-se a seguinte regra de arredondamento: se o primeiro algarismo despreza- do for menor que 5, preservam-se os anteriores; se for maior ou igual a 5, acrescenta-se uma unidade ao primeiro algarismo preservado. Portanto, a medida dessa área deve ser expressa por A 5 1,89 cm2.
46
u N i da d E 2 – E ST u d O d OS M OV i M E N TOSDa definição de velocidade média vm5 ∆
∆
e
t, po de-
mos obter o valor de Δt:
vm5 ∆e
t
∆ ⇒ Δt 5 ∆evm
Aplicando esta última expressão a cada metade do percurso, temos: • 1· metade: Δe15 24 km, vm15 60 km/h Δt15 24 60 ⇒ Δt1 50,40 h • 2· metade: Δe25 24 km, vm25 80 km/h Δt25 24 80 ⇒ Δt2 5 0,30 h
Portanto, a velocidade média em todo o percurso
(Δe 5 48 km) é: vm5 ∆ ∆ e t ⇒ vm5 ∆ ∆ ∆ e t11 t2 ⇒ ⇒ vm 5 48 040 030, 1 , ⇒ vm 5 48 070, ⇒ ⇒ vm 5 69 km/h
Observação: O objetivo deste exercício é mostrar a diferença entre velocidade escalar média e média de velocidades escalares.
Note que a velocidade escalar média obtida, 69 km/h (escrita com dois algarismos significativos), não é igual à média das velocidades escalares do carro, que é 70 km/h.
5. Determine a relação entre km/h e m/s. Em seguida,
efetue as transformações: a) 72 km/h em m/s b) 5,0 m/s em km/h
r e s o lu ç ão
Sabemos que: 1,0 km/h 5 10 10 , , km h 5 1 000 3600 m s 5 10 36 , , m/s Portanto: 1,0 km/h 5 10 36,, m/s e 1,0 m/s 5 3,6 km/hEfetuando as transformações, temos:
a) 72 km/h 5 72 ? 10
36,, m/s 5 20 m/s
b) 5,0 m/s 5 5,0 ? (3,6 km/h) 5 18 km/h
3. O ruído de um trovão é ouvido num local 2,0 s depois
que o relâmpago é visto. Supondo que a velocidade do som no ar seja 330 m/s, qual a distância desse local até o ponto atingido pelo raio?
Mar tin Fisc her/Shut ter stoc k/Glow Images
r e s o lu ç ão
Supondo que a luz se propague instantaneamente (o que nessa situação é válido) e sendo
Δt 5 2,0 s e vm5 vsom5 330 m/s, vem: vm 5 ∆ ∆ e t ⇒Δe5 vmΔt ⇒ Δe5 330 ? 2,0 ⇒ ⇒ Δe5 660 m
4. A distância entre duas cidades é de 48 km. Um
carro percorre a primeira metade do percurso com velocidade escalar média de 60 km/h, e a segunda metade com velocidade escalar média de 80 km/h. Qual a velocidade média ao longo de todo o percurso?
r e s o lu ç ão
De início representamos a situação dada no es que- ma abaixo: vm1 = 60 km/h De1 =24 km De2 =24 km vm2 = 80 km/h De=48 km Dt Dt1 Dt2
Seja Δt o intervalo de tempo correspondente ao
percurso Δe 5 48 km. Chamando Δt1 e Δt2 os
intervalos de tempo em cada metade do percurso, temos:
Δt 5 Δt11 Δt2
c a p í T u lO 3 – i N T rO d u ç ãO aO E ST u d O d OS M OV i M E N TOS
47
3. Ponto material e referencial
A definição de movimento que estamos utilizando até aqui depende de conceitos ainda não definidos. Em primeiro lugar ela se refere a um corpo em movimento. Que corpo? Um cometa, um automóvel, o vento, um rio, um relâmpago, um trovão, um elétron? Será possível estudar o movimento de um cometa ou de um auto- móvel como se estuda o movimento de um rio, de uma onda sonora ou de um raio de luz?
A resposta é não. Um cometa, visto da Terra, é qua- se sempre um pequeno ponto luminoso que ocupa posições perfeitamente definidas em relação ao fir- mamento coalhado de outros pontos luminosos, apro- ximadamente fixos entre si. Um automóvel percorren- do uma estrada também pode ser considerado um ponto em relação à estrada, o que permite localizá-lo, a cada instante, com precisão. Mas o mesmo não pode ser feito com um rio, um relâmpago ou um trovão. Co- mo definir a posição de um rio, da luz de um relâmpago ou do som de um trovão?
Outra dificuldade da definição de movimento é o corpo que serve de referência. Não há dúvida de que um vaso serve de referência para perceber algo em movi- mento em relação a ele, vaso. Mas essa é uma avaliação pouco precisa. Não é possível a descrição matemática do movimento utilizando um vaso como referência. Su- ponha que alguém afirme que um mosquito está, num certo instante, a 50 cm de um vaso. É impossível definir a localização desse mosquito em relação ao vaso com essa informação — existem infinitas possibilidades para essa localização. Veja a figura abaixo:
P
aulo Manzi/Arqui
v
o da editora
Se alguém lhe dissesse que um mosquito está a 0,5 m deste vaso, onde você o desenharia?
Para resolver essas duas dificuldades — do corpo em movimento e do corpo em relação ao qual se estuda o movimento —, é necessário apresentar dois novos con- ceitos que se inter-relacionam: ponto material e sistema de referência ou referencial.
E X E R C Í C I O S
1. Um trem está chegando a uma estação onde algu-
mas pessoas estão sentadas.
a) Em relação à estação, o trem e as pessoas estão em movimento? Explique.
b) Em relação ao trem, a estação e as pessoas estão em movimento? Explique.
2. Transforme em m/s: a) 18 km/h b) 54 km/h c) 900 km/h d) 1 400 km/h 3. Transforme em km/h: a) 10 m/s b) 25 m/s c) 300 m/s d) 1 400 m/s
4. Um ônibus parte de Florianópolis (SC) às 12h00min
e chega a Caxias do Sul às 18h30min. Sabendo que a distância percorrida é de 470 km, qual a sua velo- cidade escalar média?
5. A distância entre duas estações de metrô é de
1 200 m. Sabendo que a velocidade escalar média do trem é de 54 km/h, qual o intervalo de tempo gasto pelo trem para percorrer a distância entre as duas estações?
6. Para que os nossos ouvidos possam distinguir o
eco de um som, deve haver um intervalo mínimo de 0,1 s entre a emissão e a recepção do som. Supondo que a velocidade do som no ar numa determinada temperatura seja de 300 m/s, qual deve ser a dis- tância mínima de uma pessoa até um obstáculo para que ela possa ouvir o eco de suas palavras?
7. Ano-luz é uma unidade de distância muito utiliza-
da em Astronomia. Corresponde à distância per- corrida pela luz no vácuo em 1,0 ano. Se a veloci- dade da luz no vácuo é 300 000 km/s, qual é o valor de 1,0 ano-luz em quilômetros?
8. A distância entre duas cidades é de 120 km. Um
automóvel percorre os primeiros 40 km dessa dis- tância com velocidade escalar média de 60 km/h e os restantes 80 km com velocidade escalar média de 100 km/h. Qual a velocidade escalar média des- se automóvel ao longo de todo o percurso?
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u N i da d E 2 – E ST u d O d OS M OV i M E N TOSO sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, representado na figura a, a seguir, é utilizado para mo- vimentos no espaço que não serão objeto de nosso estudo. y Figura a P(x, y, z) x z
Sistema cartesiano ortogonal para determinar a posição de um ponto material P no espaço: pode-se associá-lo aos três cantos da sala, por exemplo.
Vamos estudar apenas movimentos retilíneos e movimentos curvilíneos no plano, o que permite a sim- plificação desse sistema de eixos. Para movimentos retilíneos utilizaremos apenas um desses eixos, como mostra a figura b. Para movimentos no plano vamos utilizar o sistema de eixos da figura c.
y
O P(y)
Figura b
Se o ponto material P se move verticalmente, por exemplo, pode- -se reduzir esse referencial apenas ao eixo y, das ordenadas.
y
x
Figura c
P(x, y)
Para movimentos no plano é necessária a utilização de dois eixos cartesianos ortogonais, x e y.
E X E R C Í C I O S
9. Uma casa pode ser considerada um referencial?
Justifique.
10. Que tamanho deve ter um corpo para ser conside-
rado um ponto material? Justifique.
11. Uma borracha está sobre uma carteira na sala de
aula. Que coordenadas são necessárias para definir a posição dessa borracha:
a) em relação à carteira? b) em relação à sala de aula? Veja os exemplos a seguir:
F ormato comunicação/Arqui v o da Editora y Referencial a x 1 m F F L L A
A menor divisão da escala é 1,0 m.
y
A
Referencial b
x 1 km
A menor divisão da escala é 1,0 km.
Nesses referenciais estão representados dois siste- mas de eixos cartesianos, fixos no solo, numa determi- nada região da Terra. Supondo que a região seja plana (desprezando-se as ondulações do terreno e a curvatu- ra da Terra), ambos os sistemas são referenciais válidos para o estudo de qualquer movimento nessa região.
Em a, está representado um plano cartesiano cuja menor divisão da escala é 1,0 m. Nesse referencial, ca- da ponto do automóvel tem coordenadas diferentes — o automóvel, portanto, não pode ser considerado um ponto material em relação a esse referencial.
Em b, no entanto, a menor divisão da escala é 1 000 vezes maior. Nesse caso não é possível distinguir dois pontos distintos do automóvel. O mesmo automóvel, em relação a esse referencial, é um ponto material.
Ponto material é, portanto, um corpo — no seu sentido restrito de porção limitada de matéria — cujas dimensões podem ser consideradas desprezíveis em relação a um determinado referencial.
Referencial, por sua vez, é o sistema de coordena- das rígido em relação ao qual se podem especificar as coordenadas do ponto material.
Existem diferentes sistemas de coordenadas que permitem definir a posição do ponto no espaço. Cada um desses sistemas pode ser um referencial válido pa- ra o estudo do movimento do ponto material.
c a p í T u lO 3 – i N T rO d u ç ãO aO E ST u d O d OS M OV i M E N TOS
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P
aulo Manzi/Arqui
v
o da editora
Dois aviões deixam cair pacotes de mantimentos para um grupo de pessoas isoladas por uma enchente.
Mesmo nesse caso, essas trajetórias só podem ser definidas se os pacotes forem considerados pontos materiais. Se não o forem e os pacotes girarem ao cair, as trajetórias de pontos situados na borda dos pacotes, por exemplo, serão espirais verticais em relação aos pi- lotos e espirais parabólicas em relação às pessoas que estão em terra.
E X E R C Í C I O
12. A foto a seguir mostra um bumerangue em movi-
mento — ela foi obtida por meio da instalação de três LEDs (dispositivo eletrônico emissor de luz) em três pontos de sua estrutura. Observe-a e responda:
a) Quantas trajetórias esse bumerangue descre- ve? Explique.
b) Qual delas é a verdadeira? Justifique.
Mic
hael Murphree/Corbis/Latinstoc
k