Aluna Y: É quando levantamos uma hipótese (verdadeira/falsa) que depois temos que constatar.
Tabela 8.2 – Registo das respostas das alunas à parte III do questionário (Anexo3)
As respostas obtidas são significativamente diferentes: no início do 10º ano estas alunas não conseguiram elaborar qualquer registo sobre o que entendiam por conjectura, enquanto que, no início do 11º ano, após a primeira fase do estudo, já conseguiram expressar por escrito o entendimento que tinham de conjectura. É ainda de salientar as diferenças de discursos sobre os termos teorema e prova, salientando-se a grande diferença no registo da aluna Y, relativamente ao termo prova.
Quando lhes foi pedido que elaborassem uma avaliação sobre as 15 sessões de resolução de problemas realizadas no 10 º Ano (Anexo 3), as alunas X e Y apresentaram as respostas constantes na tabela 8.3.
No 10º ano participaste em 15 sessões de resolução de problemas de prova e/ou tarefas de natureza exploratória. Consulta o teu dossier, com os trabalhos realizados nessas sessões, e escreve um relato da actividade desenvolvida nessas sessões, especificando:
1- O interesse do conteúdo; 2 - A utilidade para a tua aprendizagem; 3 - O grau de dificuldade; 4- Outros comentários.
Aluna X
4 – Se eu tivesse que falar a outras pessoas sobre diferentes tipos de geometria eu, de facto, diria que existe mais que um tipo de geometria. Qualquer um destes tipos se rege por diferentes regras e o que numa geometria pode ser verdadeiro, noutra pode ser completamente impossível. Existem três tipos de geometria: Hiperbólica, Esférica e Euclidiana, sendo esta última a mais conhecida e utilizada no ensino Básico e também Secundário…
Aluna Y
1 – É interessante, não só para resolvermos problemas, mas também para aplicarmos em experiências do dia-a-dia.
2 – Foi bastante útil pois aprendi a resolver problemas pelo modelo de Pólya, o que se torna mais fácil.
3 – O grau de dificuldade não foi nem demasiado baixo, nem elevado.
4 – Foi uma experiência útil para a minha aprendizagem, pois fiquei a conhecer outros tipos de geometria e aprendi a resolver problemas pelo Modelo de Pólya, o que torna essa tarefa mais fácil de realizar. Foi importante o recurso aos computadores e a todos os outros materiais que usámos para nos ajudar a resolver os problemas.
Tabela 8.3 – Registo da avaliação feita pelas alunas X e Y na parte IV do questionário (Anexo 3)
8.3. Trajectória cognitiva de dois sujeitos
Esta secção apresenta a descrição dos processos de solução adoptados pelas alunas X e Y na resolução de quatro problemas propostos, divididos em episódios que dizem respeito à actividade desenvolvida durante a resolução de um problema. Os episódios 1, 2, 3 e 4 dizem respeito, respectivamente, à leitura e análise do enunciado da situação – problema, à exploração, elaboração de plano/implementação e verificação e/ou extensão ao problema.
O discurso das alunas é feito em itálico. As soluções dos problemas são apresentadas nas várias figuras que vão surgindo no texto.
A análise da forma como estas alunas elaboram as justificações é feita segundo a estrutura analítica descrita por Marrades e Gutiérrez (2000) e baseada num enfoque ontosemiótico da educação matemática desenvolvido por Godino et al. (2006).
Ao analisarmos os argumentos constantes nas justificações elaboradas por estas alunas, entramos numa “configuração” complexa visto os argumentos estarem ligados com os seguintes objectos matemáticos: linguagem; situação-problema; conceitos; proposições; procedimentos. E associados a estes objectos primários temos as seguintes dimensões duais: ostensivo – não-ostensivo (materialização-idealização); extensivo- intensivo (particularização-generalização); institucional-pessoal; unitário-sistémico (análise - síntese); expressão -conteúdo.
A actividade das alunas foi desenvolvida em grupo. No entanto a constituição dos grupos foi variando devido a razões que se prendem com a disponibilidade e motivação dos alunos participantes. Assim, refira-se que: O problema 1 foi desenvolvido pela aluna X em parceria com a aluna designada por C e pela aluna Y em parceria com a aluna T; O problema 2 foi desenvolvido em grupo de quatro elementos, com os alunos designados por X, C, J e Y; O problema 3 foi desenvolvido pelas alunas X e Y; e o problema 4 foi desenvolvido pela aluna X com o aluno J e a aluna Y desenvolveu o problema sozinha.
A aluna X nem sempre trabalhou com a(o) mesma(o) colega. No entanto, era ela a líder incontestada do grupo: marcava o ritmo de trabalho, decidia sobre o apoio que deveriam pedir ou não e não aceitava de forma geral as sugestões da (o) colega de grupo.
A aluna Y, ao contrário da aluna X, não se assumia como líder do grupo: aceitava que a colega liderasse o trabalho, discordava frequentemente das opiniões da colega e dava grandes explicações sobre as soluções dos problemas.
Nas subsecções seguintes apresentam-se as descrições dos processos de solução adoptados por estas alunas, durante a resolução dos quatro problemas referidos no capítulo anterior.
8.3.1. O Processo de argumentação das alunas X e Y ao problema 1
PROBLEMA 1: 1ª Parte - Define, no semi-plano de Poincaré, a linha que passa pelos pontos A (1,1) e B (3,3). Quantas linhas distintas passam por esses dois pontos? Justifica a tua resposta. (A mesma questão foi formulada para a geometria Euclidiana).
2ª Parte - Sejam l1 e l2 linhas no semi-plano de Poincaré. Se l1∩ l2tem dois ou mais pontos então l1coincide com l2. Justifica.
SOLUÇÃO (Elaborada pela aluna X com a aluna C) Episódio 1: Leitura e análise da situação-problema
(Tempo: 00.03.10- 00.05.25) Os primeiros dois minutos foram dedicados à leitura do enunciado e à sua análise. A aluna consultou as suas notas de aulas anteriores e fez o registo apresentado na figura 8.1.
Episódio 2: Exploração, elaboração e implementação de plano
(Tempo: 00.09.05- 00.45.10) Após a construção da figura 8.1, a aluna procedeu à exploração da situação-problema.
X.: A linha hiperbólica tem os pontos A e B (assinalou os pontos na figura anterior)... E para definirmos a semi-circunferência precisamos de ter o centro e o raio…Vamos fazer outro desenho (deram início à construção da figura 8.2).
C.: E como fazemos? (alunas permaneceram caladas…). X.: Stora não conseguimos ...
Professora: A situação é esta. Conhecidos dois pontos de uma semi-circunferência, como determinar o centro?
A aluna X riscando o esquema afirmou,
X.: A mediatriz (da corda [AB]) contém o centro… Professora: Muito bem…
A professora deixou as alunas sozinhas e entretanto a aluna X tinha elaborado o diagrama da figura 8.2.
A aluna deu início à determinação do centro e do raio da semi-circunferência a passar por A e B. (ver figura 8.2)
C. Pois …pois…Sabes fazer?
X. A mediatriz é perpendicular a AB…e a linha hiperbólica é x menos um a ao quadrado mais y menos um b ao quadrado, igual a r ao quadrado…Mas neste caso o b é zero…(a aluna em simultâneo fez o registo escrito).
C. Percebi/
X.O declive da mediatriz é menos um e fica/ C. Menos um?
X. Pois, a perpendicular a y=x é y=-x, lembras-te? C. Ah…pois
X. Fica y igual a menos x mais um b…(alunas em silêncio e entretanto a aluna C. questiona a Professora)
C. Professora, como é que determino b? Professora: A figura não vos ajuda?
X. s (mediatriz de [AB]) passa no ponto médio da corda [AB], C. Mas não queremos o centro?
X. E chegas lá…olha (aluna efectuou os cálculos) o ponto dois, dois pertence à mediatriz e assim b é quatro e o centro é quatro.
C. Ah?!
X. Então…a mediatriz corta o eixo (dos x) no ponto quatro, zero…e agora o raio é fácil…