O módulo de lógica

6.3.1. Noções elementares de lógica: Abordagem didáctica

Nas sessões 6, 7 e 8 procedeu-se ao estudo de noções elementares de lógica. O principal objectivo destas sessões era familiarizar os alunos com heurísticas para elaborar e interpretar argumentos, compreendendo a sua consistência interna.

Recorreu-se à ficha de apoio (Anexo 9) a qual foi desenvolvida ao longo destas sessões. Referiu-se a importância deste módulo para “aprender a demonstrar” e, após um diálogo com a turma sobre o significado dado à palavra “demonstrar”, apresentou-se a seguinte definição - Demonstrar significa estabelecer a veracidade de uma determinada afirmação a partir de outras dadas no enunciado e de afirmações demonstradas anteriormente.

A tabela seguinte apresenta, sequencialmente, as sessões dinamizadas na turma. Neste sub-capítulo vamos focar a nossa atenção nas sessões 6, 7, 8 e 9.

SESSÕES/DATA PROBLEMAS

1ª - 09/Nov./2004 Polígonos e polígonos inscritos – razão das áreas 2ª - 16/Nov./2004 Conclusão da tarefa da aula anterior

3ª - 23/Nov./2004 Problema do pentágono 4ª - 30/Nov./2004 Problema (cortes num cubo) 5ª - 07/Dez./2004 Problema – “Os náufragos” 6ª - 14/Dez./2004 Enunciados da forma “se...então”

7ª - 04/Jan./2005 Enunciados Recíprocos 8ª - 11/Jan./2005 Enunciados Equivalentes 9ª - 11/Jan./2005 Enunciados Equivalentes 10ª - 25/Jan./2005 Vários modelos de geometria… 11ª - 11/Fev./2005 Vários modelos de geometria… 12ª - 08/Mar./2005 Vários modelos de geometria

13ª - 12/Abr./2005 Problema (Técnica de redução ao absurdo)

14ª - 26/Abr./2005 Problema

15ª 26/Maio/2005 Problema de cortes num cubo

Tabela 6.3 – Pasta de problemas

Num primeiro momento, foi solicitada a exploração do exemplo 1 da ficha de apoio “Aprender a demonstrar”.

Exemplo 1: Se [ABCD] é um losango então as suas diagonais são perpendiculares Os alunos começaram por elaborar a construção (construção demorada) do losango através do recurso ao G. Sketchpad (GSP). Através das potencialidades do GSP, tendo como base a figura construída, os alunos afirmaram que a proposição era verdadeira. Neste momento, elaborei questões no sentido de lhes suscitar dúvidas, criando analogias com o problema do pentágono. Os cenários do Sketch, com uma aproximação às unidades e/ou às décimas, dava indicações “visuais” de que uma conjectura era verdadeira e, de facto, com outra aproximação e outra abordagem, os alunos concluíram que a conjectura inicial era falsa. Após este diálogo, os alunos provaram a validade da proposição. Alguns tentaram aplicar o teorema de Pitágoras, mas não conseguiram realizar a prova com sucesso.

Este exemplo serviu de contexto para familiarizar os alunos com enunciados da forma “se...então”. A _C D B Designemos por: p: “[ABCD] é um losango”

q: “as suas diagonais são perpendiculares” Abreviadamente, podemos escrever p⇒q

Considerando que seria importante a construção da tabela de verdade da operação lógica “⇒ ” implicação, foi elaborada a questão - Quando é que a afirmação dada é falsa?

Hipótese e Tese

No exemplo anterior, referiu-se que a afirmação “[ABCD] é um losango” é designada de hipótese e que a afirmação “as suas diagonais são perpendiculares” é designada por tese.

Foi feita a chamada de atenção, aos alunos, para não se fazer confusão entre “hipótese” e “tese”.

No seguimento do exemplo anterior, referiu-se, exemplificando com um diagrama, de que existem quadriláteros que têm as diagonais perpendiculares sem serem losangos.

Enunciados Recíprocos

A este propósito, foi dada a informação de que, a partir de uma frase do tipo “se…então” podemos formar outra frase “invertendo” a hipótese e a tese. A frase obtida é designada recíproca da primeira.

Definição: O enunciado “se p então q”é recíproco do enunciado “ se q então p”. Notação: Enunciado directo p⇒q; Enunciado recíproco q⇒ p

Foram dados alguns exemplos. Exemplo 1

Enunciado: Se um quadrilátero [ABCD] tem diagonais que se intersectam no ponto médio, então [ABCD] é um paralelogramo.

Enunciado recíproco: Se [ABCD] é um paralelogramo, então as suas diagonais [AC] e [BD] intersectam-se no ponto médio.

Exemplo 2

Enunciado: Se um triângulo [ABC] é rectângulo em A então BC2_{= AB}2 _{+ AC}2_.

Enunciado recíproco: Se BC2_{= AB}2 _{+ AC}2_{, então o triângulo [ABC] é rectângulo}

em A.

Nesta altura, pareceu importante proceder a uma chamada de atenção dando exemplos.

Atenção: Se um enunciado é verdadeiro, o seu enunciado recíproco não é forçosamente verdadeiro.

Exemplos

1) É verdade que “se duas rectas são perpendiculares então elas são secantes”, mas é falso dizer que “se duas rectas são secantes, então elas são perpendiculares”

2) É verdade que “se um polígono é regular, então os seus lados têm a mesma medida de comprimento”, mas é falso afirmar que “se um polígono tem os lados com a mesma medida de comprimento, então ele é regular”

Para mostrar que esta segunda frase é falsa, é suficiente dar um “contra-exemplo”. O diagrama seguinte mostra um pentágono não regular em que os cinco lados têm a mesma medida de comprimento.

Enunciados Equivalentes

No seguimento da referência a enunciados e seus recíprocos, procedeu-se à seguinte explicação de enunciados equivalentes. Frequentemente, em matemática, queremos dizer que p⇒q e q⇒ psão ambas verdadeiras. É, assim, conveniente introduzir um novo símbolo “⇔ ”.

Para expressar tal facto, podes pensar no símbolo p⇔q como sendo uma maneira abreviada de escrever (p⇒q) e (q⇒ p).

Exemplo:

p: Se [ABCD] é um paralelogramo com AB = AD, então [ABCD] é um losango q: Se [ABCD] é um losango, então [ABCD] é um paralelogramo com AB = AD

A construção da tabela de verdade para a operação lógica”⇔ ” foi construída pelos alunos com base em exemplos familiares.

6.3.2. Conflitos observados

Das notas de campo registadas nestas sessões, parece importante salientar que: - A construção do losango foi demorada e, segundo o professor destes alunos, provocou

perdas de tempo (alguns alunos revelaram dificuldades na construção do losango); - A reflexão realizada pela investigadora e pelo professor da turma levou à elaboração da

conjectura que estes alunos estavam mais habituados a raciocinar sobre figuras feitas e menos à sua construção. Através de entrevista, confirmou-se esta suposição; - A afirmação de que “se um polígono tem os lados com o mesmo comprimento, então ele é regular” nem sempre é verdadeira, criou conflitos cognitivos. Os alunos referindo-se ao que tinham aprendido na escolaridade básica afirmaram que “se um polígono tem os lados com o mesmo comprimento, então ele é regular” era sempre verdadeira. Só a exploração de um contra exemplo os convenceu do contrário; - A construção das tabelas de verdade das operações lógicas revelou-se difícil e teve que

ser muito apoiada por exemplos.

6.3.3. Síntese

Estas sessões de estudo de noções elementares de lógica constituiram uma novidade para estes alunos. Estes mesmos alunos iriam ter oportunidade DE estudar as noções básicas de lógica na disciplina de Filosofia, na 1ª unidade do 11º ano.

No entanto, segundo Epp, S. (1994), a lógica deve ser estudada à medida que seja necessária e não desenvolver o tema num só período temporal (por exemplo durante um trimestre). Assim, apesar da construção das tabelas de verdade ter sido demorada, foi feita pelos alunos com base em situações já trabalhadas no 3º ciclo do ensino básico e com recurso ao GSP.

6.4. Os Problemas em vários modelos de geometria plana