Argumentação e prova

Vamos apresentar alguns exemplos de solução destes primeiros problemas. Problema - Polígonos e Polígonos Inscritos – Razão entre as suas áreas

- Constrói dois triângulos, em que os vértices de um deles (triângulo inscrito) são os pontos médios dos lados do outro triângulo. Qual a razão entre as áreas destes dois triângulos? Justifica.

- Constrói dois quadriláteros em que os vértices de um deles (quadrilátero inscrito) são os pontos médios do outro. Qual a razão entre as suas áreas? Justifica.

- Prevê o que acontece no caso de considerares pentágonos e, comprova a tua previsão procedendo de forma análoga à seguida nos pontos anteriores. Qual a razão entre as áreas dos pentágonos? Justifica.

Os alunos, distribuídos dois a dois por computador, depois de lerem o enunciado da tarefa procederam à construção das figuras (triângulos e quadriláteros).

Na questão 1, depois de darem animação à figura (arrastando um dos vértices com o rato), facilmente indicaram a razão das áreas.

Area DE F ( ) Area CB A ( ) = 0,25 Area DE F = 6,34 cm2 Area CBA = 25,34 cm2 E D F B C A

Figura 6.1 – Sketch associado à questão 1. Problema-Polígono e Polígonos inscritos

E elaboraram a conjectura de que a razão entre as áreas é 0,25 (a razão da área do triângulo interior para a área do triângulo exterior).

Confrontados com a questão “Qual a justificação para esta conjectura?” – os alunos argumentaram com a figura, apontando no ecrã do computador e afirmando que tinham quatro triângulos todos iguais. A figura, só por si, convenceu-os de que a razão era 0,25 para quaisquer triângulos.

Face às dificuldades reveladas pelos alunos em elaborar uma justificação sem recorrer ao diagrama, foi feita a revisão de semelhança de triângulos (com referência aos casos de semelhança de triângulos). Mesmo assim, os alunos foram orientados nas justificações apresentadas.

Na questão 2, procederam de forma análoga. Indicaram a razão entre as áreas dos polígonos em causa e tentaram justificar a partir da observação de vários Sketchs. Mas neste os diagramas não se revelaram tão convincentes. Não houve tempo para a elaboração da justificação nesta sessão.

Iniciou-se a 2ª sessão com a elaboração de uma síntese, elaborada oralmente com a colaboração dos alunos, da actividade desenvolvida na sessão anterior. Fez-se referência à definição de problema e do modelo de resolução de problemas (segundo George Pólya) e distribui-se material de apoio (a incluir no dossier de cada aluno).

Apesar da justificação à questão 2 ter sido muito orientada e as produções dos alunos parecidas, as figuras que serviram de suporte à justificação foram diferentes. As mais frequentes assemelhavam-se a rectângulos, seguidas de outras que se assemelhavam a trapézios e a não trapézios, ilustrado de seguida através de algumas produções de alunos.

Figura 6.2 – Solução apresentada à questão 2 do problema 1

As justificações, segundo uma abordagem sintética, foram feitas com base em diagramas. Essas justificações, no geral, estão incompletas e apresentam falhas ao nível simbólico.

Apesar de alguns alunos terem observado que a mesma razão de áreas também parecia verificar-se para quadriláteros côncavos, apenas fizeram as justificações para quadriláteros convexos e seguiram a justificação elaborada pela investigadora para quadriláteros côncavos.

Em relação à questão 3, a conjectura elaborada foi a de que a razão também seria constante mas, na elaboração da justificação e ao recorrerem à construção de figuras nas condições do enunciado, facilmente conseguiram contra-exemplos.

Das notas de campo relativas a estas sessões parece importante referir:

- Os alunos não aplicaram de forma autónoma conhecimentos significativos da escolaridade básica (semelhança de triângulos);

- Os vários cenários produzidos com recurso ao programa Geometer´s Sketchpad, só por si, convenceram os alunos de que as respostas apresentadas às questões (e.g., a razão de área entre dois triângulos é 0,25) estavam correctas;

- Para a justificação pedida, os alunos revelaram pouca autonomia pedindo apoio de forma insistente;

- Os alunos aderiram muito bem ao programa Geometer´s Sketchpad (foi a primeira vez que tiveram contacto com um programa de Geometria Dinâmica) e conseguiram de forma quase autónoma realizar as várias construções;

- A questão 2 ofereceu mais dificuldades - Ao nível da justificação nenhum aluno arriscou uma argumentação, com base no diagrama, como aconteceu na questão 1;

- Foi-lhes dada a orientação, na questão 2, para decomporem as figuras segundo as diagonais do quadrilétero inicial e a seguir aplicarem conhecimentos de semelhança de triângulos mas, apesar destas orientações, subsistiram as dúvidas e não conseguiram elaborar a justificação escrita;

- Só depois de uma nova leitura dos materiais de apoio sobre semelhança de triângulos (Anexo 9) e através da visualização das figuras construídas é que os alunos iniciaram de forma mais autónoma a justificação da conjectura estabelecida para a questão 2;

- Os vários diagramas que serviram de base à elaboração das justificações eram diferentes, na medida em que os alunos, arrastando um dos vértices, geraram cenários diferentes (trapézios, não trapézios e trapézios rectângulos). No entanto, nove alunos (em 19 alunos) elaboram a justificação com base em quadriláteros “parecidos” com rectângulos.

Problema do pentágono

Considera três pentágonos, como mostra a figura, em que o segundo se obtém unindo os pontos médios dos lados do pentágono inicial e o terceiro pentágono obtém-se unindo os pontos médios do segundo pentágono.

Consulta o Sketch “pentágono”que está no ambiente de trabalho, “arrasta” um dos vértices do pentágono inicial e elabora uma conjectura sobre a razão entre os perímetros de um dos pentágonos e do seu pentágono inscrito.

Consideras a tua conjectura verdadeira? Porquê?

Após a leitura do enunciado do problema, foi sentida a necessidade de clarificar o significado de conjectura (foi apresentada a definição que consta no “Lello Universal” – Conjectura, opinião com fundamento incerto; suposição; hipótese). Atendendo ao facto de um dos alunos ter referido a designação axioma, foram dadas definições25.

25

Axioma – Verdade evidente por si própria e que não carece de demonstração;

Após este diálogo, os alunos foram convidados a recorrer ao Sketch que tinham no

ambiente de trabalho, mostrando três pentágonos (o primeiro P1 , o exterior, de cor azul, o

intermédio P₂, de cor verde claro, obtido por união dos pontos médios dos lados do pentágono exterior e, finalmente, o pentágono verde P3, obtido por união dos lados do pentágono intermédio). Os alunos, ao arrastarem um dos vértices do pentágono exterior, geravam vários valores (aproximação às décimas) para os respectivos perímetros. Ao estabelecerem as razões 1 2 P P e 2 3 P P

elaboraram a conjectura: “ nas condições do problema a

razão entre os perímetros era igual,

1 2 P P = 2 3 P P

, independentemente da forma e do tamanho

dos pentágonos. P1 P2 P3 l Perimeter KLMNO ( ) Perimeter FGHIJ ( ) = 0,8 Perimeter FGHIJ ( ) Perimeter ABCDE ( ) = 0,8 Perimeter KLMNO = 25,6 cm Perimeter FGHIJ = 31,7 cm Perimeter ABCDE = 40,1 cm K O N M L F J I H G A B C D E

Figura 6.4 – Razão entre os perímetros dos pentágonos (aproximação às décimas)

Confrontados com a questão: “A conjectura que elaboraram será válida?”, os alunos, arrastando um dos vértices do pentágono exterior, reafirmaram a conjectura.

Para os alunos procederem à avaliação da conjectura elaborada, foi feita a sugestão da seguinte abordagem: Recurso à opção Preferences do Geometer´s Sketchpad e adoptarem diferentes aproximações para os valores dos perímetros dos pentágonos.

P1 P2 P3 l Perimeter KLMNO ( ) Perimeter FGHIJ ( ) = 0,81 Perimeter FGHIJ ( ) Perimeter ABCDE ( ) = 0,81 Perimeter KLMNO = 24,40 cm Perimeter FGHIJ = 30,17 cm Perimeter ABCDE = 37,46 cm K O N M L F J I H G A B C D E P1 P2 P3 _l Perimeter KLMNO ( ) Perimeter FGHIJ ( ) = 0,80 Perimeter FGHIJ ( ) Perimeter ABCDE ( ) = 0,81 Perimeter KLMNO = 25,21 cm Perimeter FGHIJ = 31,61 cm Perimeter ABCDE = 38,82 cm K O N M L F J I H G A B C D E

Perante este caso, uns alunos diziam que a conjectura era verdadeira outros diziam que era falsa. Enfim, uma grande insegurança no juízo elaborado dado que os diferentes valores obtidos para a razão entre os perímetros não “suportavam” a conjectura elaborada.

Uma 2ª abordagem foi desenvolvida com recurso à geometria analítica. Considerando que os alunos tinham dado, nas duas aulas anteriores, a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano, foi sugerido um exemplo, com atribuição de coordenadas aos vértices dos pentágonos e, assim, depois de determinados os perímetros e as razões avaliarem a veracidade da conjectura. Na síntese da actividade desenvolvida, fez- se referência à importância de elaborar justificações que vão além do recurso a exemplos concretos. Inicialmente, foi elaborada uma conjectura plausível mas veio a verificar-se que era falsa, através do recurso a contra-exemplo.

6.2.3. Síntese

Das notas de campo, parece importante salientar que: - Os alunos aderiram bem à 1ª abordagem;

- A 2ª abordagem revelou-se maçadora e os alunos demonstraram dificuldades ao nível do cálculo, pedindo apoio com frequência;

- Os alunos com domínio do cálculo da distância entre dois pontos, mais facilmente conseguiram concluir que a conjectura inicial era falsa.

Relativamente à sessão 4, na qual se propôs o problema (Anexo 10) – “Consideremos o cubo com 4 cm de aresta representado na figura. Sabendo que os pontos I e J são pontos médios das arestas [AE] e [CG], respectivamente, prova que a secção produzida no cubo pelo plano IDJ é um losango”, os alunos não tinham presente o que era um losango e teve que ser feita a revisão da classificação de quadriláteros. Para apoio à visualização da secção de corte no cubo, houve o recurso a cubos de acrílico (os quais tinham água colorida para apoiar a visualização da secção de corte) e ao Zometool.

Os alunos conseguiram estruturar a prova, mas com orientação. Registaram-se soluções segundo duas abordagens distintas: sintética e analítica. O professor destes alunos referiu que, mais tarde, iriam resolver o mesmo problema utilizando uma outra abordagem, a vectorial.

Relativamente à sessão 5, foi proposto o problema – “Dois náufragos vão ter a uma ilha com a forma de um triângulo equilátero e querem escolher o local para construírem

uma cabana. A ilha está coberta de árvores e têm de abrir caminhos para irem às três praias da ilha, que são os lados do triângulo. Qual o local, da ilha, onde devem construir a cabana para que o comprimento total dos caminhos seja mínimo”. Alguns alunos referiram que o centro de gravidade do triângulo (modelo da situação) seria o lugar ideal para a localização da cabana. Após a “manipulação” da figura construída com o GSP, elaboraram a conjectura de que a cabana podia ser construída em qualquer ponto da ilha. No entanto, os alunos que tinham mencionado o baricentro do triângulo, mostraram admiração. Foi sugerida a decomposição da figura em triângulos e através da fórmula do cálculo da área de um triângulo escreveram as expressões, para um caso genérico, das áreas dos vários triângulos em causa. Não conseguiram elaborar a justificação de forma autónoma.