Descrição dos sujeitos e organização do estudo

No âmbito dos procedimentos de carácter metodológico, adoptou-se o critério sequencial27 e a opção por dois sujeitos, participantes no estudo de caso, tem por objectivo uma análise mais fina da natureza dos argumentos apresentados, como justificação para uma situação-problema. A escolha dos dois sujeitos obedeceu a critérios de natureza teórica e a critérios de natureza prática. Riding & Rayner (1997) desenvolveram investigação sobre a ligação entre a(s) estratégia(s) adoptadas na abordagem de uma tarefa e as características de determinado estilo de aprendizagem. Assim, sugerem que os alunos diferem segundo duas principais dimensões:

• “wholist-analytical”; os primeiros preferem ter uma visão global de determinada informação e os segundos têm tendência a decompor a informação em partes;

• “verbaliser-imager”; os primeiros têm tendência a apresentar a informação por palavras, enquanto que os segundos têm tendência a apresentar a informação de forma pictórica. Pretendíamos ter a possibilidade de observar estes sujeitos em ambiente de sala de aula, durante a actividade de resolução de problemas de prova mas, ao mesmo tempo era necessário criar situações em que o processo de prova fosse observável de forma transparente (Eisenhardt, 2002, p.13). Assim, os sujeitos (duas alunas) foram seleccionados tendo em conta os seguintes aspectos:

• Estilo de aprendizagem; • Gosto por resolver problemas;

• Bom informador (este aspecto é muito importante face aos propósitos da investigação, devido ao facto da análise se basear no que é “visível” no processo e o discurso oral é um meio para tornar “visível” processos de raciocínio);

• Disponibilidade e vontade para participar no estudo.

As alunas participantes no estudo (designadas por X e Y) tinham 16 anos e frequentavam o 2º ano do ensino secundário (11 º ano), da área sócio-económica, e estavam inseridas na mesma turma do 10 º ano (onde foi desenvolvida uma pasta de problemas – capítulo 6). Elas adoptaram estratégias diferentes de abordagem das situações–problema. Enquanto a aluna X apresentava, preferencialmente, as soluções dos problemas através de textos escritos envolvendo explicações detalhadas, a aluna Y recorria frequentemente a diagramas, no geral, associados a breves explicações escritas.

A aluna X nunca repetiu um ano da escolaridade básica e teve sempre nível 5 na disciplina de matemática. No questionário sobre – Percepções dos alunos sobre a disciplina de matemática e a sua aprendizagem (anexo 2), preenchido no início do seu 10 º ano, - discordou das afirmações “os problemas de matemática têm uma e uma só resposta correcta”, “os problemas de matemática são sempre resolvidos em menos de 10 minutos”, há apenas uma maneira correcta de resolver um problema de matemática”, “saber como resolver um problema é menos importante do que encontrar a resposta correcta”, “aprender matemática é fundamentalmente memorizar”, “a matemática que se aprende na escola tem pouco ou nada a ver com o mundo real”; concordou com as afirmações, ”uma disciplina que me ajuda a compreender e interpretar o mundo que nos rodeia”, “uma disciplina que me ensina a pensar”, “uma disciplina que me ajuda a preparar para a minha profissão futura”, “uma disciplina onde descubro resultados novos”, “ uma disciplina útil para outras disciplinas que tenho”; nem concordou nem discordou da matemática ser, “ uma disciplina difícil” e “uma disciplina que me obriga a estudar muito”. Sobre as aulas de matemática, tidas no 3º ciclo da sua escolaridade básica, o aspecto de que mais tinha gostado era “resolver bastantes exercícios para consolidar a matéria” e questionada sobre o aspecto que tinha gostado menos afirmou “não gosto muito de geometria”. No mesmo questionário, a aluna expressou o que entendia por, exercício, problema, teorema, prova e conjectura da seguinte forma: “Exercício, algo que nos ajuda a praticar sobre determinado tema”; “Problema, questão prática que muitas vezes nos pode reflectir o real”; “Teorema, fórmula

básica que nos ajuda a resolver problemas/exercícios por exemplo o teorema de Pitágoras”; “Prova, acto de comprovar algo”; “Conjectura, não sei”.

A aluna Y nunca repetiu um ano da escolaridade básica e teve sempre níveis 4 e 5 na disciplina de matemática. No questionário, preenchido no início do seu 10 º ano, sobre – Percepções dos alunos sobre a disciplina de matemática e a sua aprendizagem (anexo 2) - discordou totalmente das afirmações , “os problemas de matemática são sempre resolvidos em menos de 10 minutos”,” há apenas uma maneira correcta de resolver um problema de matemática”; discordou das afirmações, “os problemas de matemática têm uma e uma só resposta correcta”, “saber como resolver um problema é menos importante do que encontrar a resposta correcta”, “aprender matemática é fundamentalmente memorizar”, “a matemática que se aprende na escola tem pouco ou nada a ver com o mundo real”; concordou totalmente com a afirmação, “uma disciplina que me ensina a pensar”, concordou com as afirmações, ”uma disciplina que me ajuda a compreender e interpretar o mundo que nos rodeia”, “uma disciplina que me ajuda a preparar para a minha profissão futura”, “uma disciplina onde descubro resultados novos”, “ uma disciplina útil para outras disciplinas que tenho”, “uma disciplina que me obriga a estudar muito”; nem concordou nem discordou da matemática ser, “ uma disciplina difícil”. Sobre as aulas de matemática do 3º ciclo da sua escolaridade básica a aluna afirmou que gostava de todo o tipo de aulas “matemática é matemática, é a minha disciplina preferida”, com excepção das aulas de correcção dos testes. No mesmo questionário a aluna expressou o que entendia por, exercício, problema, teorema, prova e conjectura da seguinte forma: “Exercício, resolvemos e calculamos com os dados que nos dão”; “Problema, exercício que resolvemos através do raciocínio”; “Teorema, uma teoria que me ajuda a resolver exercícios”; Prova, não apresentou resposta”; “Conjectura, não sei”.

Ambas as alunas revelaram sempre boa vontade em marcar as sessões extra-aula, onde eram resolvidos os problemas e esforçaram-se por verbalizar os argumentos que acompanhavam as resoluções escritas dos problemas propostos.

A organização do estudo foi concebida em três momentos cumulativos, ou seja, cada momento foi construído com base na análise do momento anterior. Uma visão dos três momentos é apresentada na tabela 7.1.

1º Momento Questionário sobre – Percepções dos alunos sobre a disciplina de matemática e a sua aprendizagem (anexo 3).

2º Momento Actividades envolvendo problemas de prova em geometrias incidentes. 3º Momento Exploração de teoremas, propriedades, etc.

Tabela 7.1 – Momentos do estudo

O modelo de Lester e Kroll (1990) para a avaliação da resolução de problemas contempla as seguintes componentes: (a) Aspectos afectivos e concepções; (b) Desempenho; (c) Características do problema. Assim, considerando os aspectos afectivos e concepções, num primeiro momento do estudo foi pedido às alunas que preenchessem um questionário (anexo 3) composto de duas partes. Uma primeira parte tinha as questões I, II e III, do questionário já anteriormente preenchido sobre “Percepções dos alunos sobre a disciplina de matemática e a sua aprendizagem” e uma segunda parte contemplava a avaliação da pasta de problemas desenvolvida, na turma a que pertenciam, no ano lectivo 2004/2005. O segundo momento centrou-se na resolução de problemas de prova em geometrias incidentes. E finalmente num terceiro momento, as alunas exploraram situações no sentido de compreenderem, por exemplo, o significado da proposição “Teoremas na geometria Euclidiana que requeiram o Axioma das Paralelas serão falsos na geometria Hiperbólica”.

Sublinhando o que já foi referido no capítulo 6, estas alunas participantes neste estudo de caso participaram numa primeira fase, desenvolvida em ambiente da sala de aula com uma turma de 20 alunos do 10 º ano do ensino secundário, da área sócio- económica no ano lectivo 2004/2005. Esta fase, consistiu na resolução de uma pasta de problemas seguindo a seguinte trajectória didáctica: módulo de resolução de problemas28 de geometria Euclidiana; módulo de lógica; módulo de problemas de geometria Euclidiana e não - Euclidiana com recurso a ambientes de geometria dinâmica.

A parte empírica nesta segunda fase do estudo foi desenvolvida extra aula, durante a frequência do 11º ano do ensino secundário. De seguida, apresentam-se as configurações epistémicas dos quatro problemas propostos nesta fase.

7.3. Configurações epistémicas: Problemas