Os Problemas em vários modelos de geometria plana 1 Características e o modo como foram abordados

A configuração didáctica dos problemas em vários modelos de geometria foi elaborada tendo em consideração as orientações curriculares para o ensino secundário, de que deve ser feita uma abordagem de geometria de forma diversificada e de que os alunos devem entender o que é um sistema axiomático.

A tabela seguinte apresenta, sequencialmente, as sessões dinamizadas na turma. Neste sub-capítulo vamos focar a nossa atenção nas últimas sessões.

SESSÕES/DATA PROBLEMAS

1ª - 09/Nov./2004 Polígonos e polígonos inscritos – razão das áreas 2ª - 16/Nov./2004 Conclusão da tarefa da aula anterior

3ª - 23/Nov./2004 Problema do pentágono 4ª - 30/Nov./2004 Problema (cortes num cubo) 5ª - 07/Dez./2004 Problema – “Os náufragos” 6ª - 14/Dez./2004 Enunciados da forma “se...então” 7ª - 04/Jan./2005 Enunciados Recíprocos

8ª - 11/Jan./2005 Enunciados Equivalentes 9ª - 11/Jan./2005 Enunciados Equivalentes 10ª - 25/Jan./2005 Vários modelos de geometria… 11ª - 11/Fev./2005 Vários modelos de geometria… 12ª - 08/Mar./2005 Vários modelos de geometria

13ª - 12/Abr./2005 Problema (Técnica de redução ao absurdo)

14ª - 26/Abr./2005 Problema

15ª 26/Maio/2005 Problema de cortes num cubo

Os principais objectivos destas últimas sessões eram:

- Criar oportunidades para que os alunos identificassem, recorrendo a objectos físicos, a curvatura de uma superfície;

- Preparar os alunos para “coisas” diferentes; - Favorecer a intuição e o raciocínio dedutivo;

- Explorar situações que promovessem a compreensão da seguinte afirmação - “ Na geometria Euclidiana, os teoremas que requerem o axioma das paralelas serão falsos na geometria Hiperbólica”.

A introdução de modelos de geometria distintos do modelo Euclidiano foi feita através do recurso a artefactos (instrumento de percussão, esfera de acrílico, balões de borracha,…) e scripts do GSP (half-plane model: hy_line.gss; hy_seg.gss; hyp_angl.gss).

De acordo com Mariott (2001), a possibilidade de uma abordagem de estudo de um tema através de artefactos parece rica e promissora, contribuindo para a construção de significados.

Nas sessões 10 e 11, foi proposto à turma o manuseamento de objectos físicos cuja superfície envolvente apresentava diferentes curvaturas e foi solicitado, recorrendo a fios, que visualizassem linhas dessas superfícies.

A figura seguinte ilustra duas alunas a executarem esta tarefa.

De seguida, apresenta-se o registo, de uma das alunas, da forma da linha representada pelo fio sobre uma parte do instrumento de música e da esfera de acrílico. Note-se que, ao trabalharem com a esfera de acrílico, os alunos aperceberam-se que apenas conseguiam “segurar” a esfera se o fio contornasse um grande círculo.

Figura 6.7 – Descrição de linhas visualizadas em superfícies de curvatura negativa

A exploração no GSP do semi-plano de Poincaré, recorrendo ao script hy_line.gss permitiu a representação de várias linhas hiperbólicas.

De seguida, explorou-se o axioma das paralelas, realizando uma actividade (Anexo 10) e recorrendo ao GSP e ao programa Cinderella. Como síntese, foi feita a referência a outros modelos de geometria, além do Euclidiano e a referência histórica ao trabalho de Lobachevsky e ao trabalho de Riemann, com ilustrações constantes quer em manuais escolares do 10 º ano de escolaridade quer em cenários de computador.

No final destas sessões, os alunos preencheram um questionário (Anexo 11) e levaram um texto para leitura sobre “Curvatura de uma superfície”.

Não querendo perder de vista que este capítulo pretende ser uma síntese da pasta de problemas e sua implementação, parece-me importante apresentar dois exemplos de resposta ao referido questionário. As respostas às questões, o interesse do conteúdo, a utilidade para a tua aprendizagem, o grau de dificuldade, foram respectivamente:

Aluno A

“Acho que o conteúdo desta sessão foi interessante pois permitiu-nos conhecer outros métodos sobre as linhas paralelas.”

“Conclui que afinal depende do método com que estejamos a trabalhar para saber quantas rectas paralelas a outras rectas dada passam por um ponto.”

“Aquilo das rectas não foi muito difícil. Mas aquilo da cela do cavalo já era mais complicado.”

Aluno B

“Acho que esta sessão teve algum interesse para mim visto eu gostar de trabalhar com rectas curvas. [...].”

“Acho que teve uma grande utilidade na minha aprendizagem, porque aprendi mais alguma coisa sobre rectas curvas.”

“Acho que o grau de dificuldade foi um bocadinho alto. Acho que tudo o que aprendi sobre rectas curvas era relativamente fácil.”

Nas sessões 12 e 13 a situação-problema proposta foi a seguinte:

Prove que, na geometria Euclidiana, o axioma das paralelas é equivalente à proposição: a soma da medida dos ângulos internos de um triângulo é 1800_.

O enunciado mostrou alguma complexidade e então foi reformulado da seguinte forma.

Dadas as proposições:

A – Por um ponto exterior a uma recta é possível fazer passar uma recta paralela à dada e só uma.

B – A soma dos três ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso. Prova que as afirmações anteriores são equivalentes, ou seja, A⇔ B

A prova de queA⇒B (modus ponens) foi realizada, de uma forma geral, de forma autónoma pelos alunos.

A prova de que de B⇒ A foi feita com recurso a cenários visuais, produzidos no programa GSP, e de forma muito guiada. Foi mais fácil a prova de A⇒B (recurso ao modus ponens) do que de B⇒ A (recurso à prova por redução ao absurdo).

Figura 6.9 – Solução parcial apresentada por um aluno ao problema anterior

A situação-problema colocada na sessão seguinte continuou a explorar o conceito de proposições equivalentes – o caso particular de a negação da proposição B ser equivalente à negação da proposição A.

Se não é verificado o axioma das paralelas então também não se verifica a afirmação seguinte: a soma da medida dos ângulos internos de um triângulo é 1800_.

Então a soma dos ângulos internos de um triângulo é inferior ou superior a 180 graus? E em que modelo de geometria?

Após os alunos terem elaborado uma conjectura (conjecturas variadas) foram solicitados a confirmar ou a refutar a conjectura estabelecida através do recurso ao GSP (half-plane model: hy_seg.gss; hy_angle.gss) e a balões de borracha para a visualização de um triângulo numa superfície esférica.

6.4.2. Argumentação e prova

Todo o desenvolvimento destas últimas 6 sessões constituiu uma experiência nova para estes alunos. Apenas uma aluna tinha já ouvido falar, no 9º ano, a propósito do valor da soma dos ângulos internos de um triângulo, noutros valores para essa soma (mas de uma forma informativa e não tinha feito qualquer tipo de exploração dessas situações).

A discussão entre os elementos dos grupos foi sempre uma constante e o recurso aos cenários de computador era muitas vezes a argumentação apresentada. A prova das conjecturas estabelecidas foi sempre feita por “imposição” externa e não por uma necessidade sentida pelos alunos. No entanto, houve melhorias significativas ao nível dos procedimentos adoptados na resolução de problemas de prova.

Os alunos, de uma forma geral, apresentaram melhorias significativas na identificação da hipótese e da tese, assim como na avaliação das soluções apresentadas. As estratégias adoptadas pautaram-se pelo recurso a diagramas comprovando ou refutando as conjecturas estabelecidas, mesmo depois de terem sido confrontados com situações em que os cenários visuais podiam induzir em erro.

6.4.3. Síntese

O recurso a ambientes de geometria dinâmica permitiu: elaborar construções geométricas com precisão; identificar o significado de proposições geométricas; elaborar e testar conjecturas; explorar propriedades; “descobrir” novas propriedades.

Os alunos estudaram conceitos de geometria Euclidiana da escolaridade básica, negaram o axioma das paralelas e exploraram outros modelos de geometria. Estabeleceram ligações entre esses modelos, por exemplo, aplicaram o conceito de medida angular na geometria Euclidiana a estes outros modelos de geometria e exploraram situações de triângulos em que a soma dos ângulos internos ou era inferior ou superior à medida da amplitude de um ângulo raso.

O estudo das noções elementares de lógica antes dos problemas em vários modelos de geometria plana foi apropriado para a trajectória da pasta de problemas. Nenhum aluno contestou a afirmação proferida de que - Se não é verificado o axioma das paralelas então também não se verifica a afirmação seguinte: a soma da medida dos ângulos internos de um triângulo é 1800_.