6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DO DESIGN
6.3 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE 2
6.3.2 Apresentação da análise da atividade 2
Tarefa a. Considerando o sistema de coordenadas cartesianas crie dois vetores 1 e 2 no plano de referência da tela, com direções diferentes e origem em (0,0,0). Em seguida, crie dois pontos distintos quaisquer P1 e P2 e duas retas r e s, sendo r a reta que passa por P1 e que tem 1 como vetor diretor e s a reta que passa por P2 e tem 2 como vetor diretor. Qual a posição relativa entre r e s?
Tarefa b. Utilizando a teoria de vetores, como você mostraria no Cabri que as retas são coplanares concorrentes?
Tarefa c. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas são dadas as retas r e s, de equações:
1 1 12
3
3
1
:
t
z
t
y
t
x
r
e
2
5
5
3
:
2 2z
t
y
t
x
s
Mostre, no papel, que as retas são coplanares concorrentes. Em seguida, determine o ponto de interseção entre elas.
Quadro 23: Atividade 2: Análise da posição relativa entre duas retas (parte 2) (continua)
Tarefa d. Que manipulação no Cabri você poderia fazer para que as retas se tornem reversas? Após esta manipulação, solicite as equações das retas.
Tarefa e. Que manipulação no Cabri você poderia fazer para que as retas se tornem paralelas? Após esta manipulação, observe as equações dessas retas. Anote suas conclusões.
Tarefa f. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas são dadas as retas r e s, de equações:
2 3 3 1 1 : y z x r e 1 1 5 5 1 2 :x y z s
Analise a posição relativa entre elas.
Quadro 24: Atividade 2: Análise da posição relativa entre duas retas (parte 2) (conclusão)
Na Tarefa a pretendia-se verificar que mecanismos do software os estudantes utilizariam para avaliar a posição relativa das retas construídas. Na Tarefa b, pretendia-se observar se os sujeitos relacionavam os seus conhecimentos prévios sobre vetores na análise da coplanaridade e da concorrência entre essas retas.
A Dupla 1 comentou sobre a facilidade de se enxergar as retas no espaço com o auxílio do software Cabri 3D, relatando sobre o tempo normalmente despendido pelo professor de Geometria Analítica para a construção dos desenhos na lousa. A figura seguinte mostra a construção feita pelos alunos da Dupla 1 durante esta atividade.
Nesta figura é possível observar que os estudantes iniciaram corretamente a construção no software, determinando dois vetores e , no plano de referencia, dois pontos P1 e P2 e duas retas r e s por estes pontos, com as direções de e , respectivamente.
Como estratégia de resolução, essa dupla procurou registrar no papel, ao mesmo tempo em que simulava no software, as etapas realizadas no Cabri 3D, como pode ser visto na figura 50.
Figura 50 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 2 a
Esta dupla primeiramente verificou a existência do ponto de intersecção, conforme pequeno trecho do diálogo:
Aluno A: “ ... se existe o ponto de intersecção, então são coplanares e concorrentes.”
Aluno B: “...podíamos ter mostrado isto através do produto misto, vamos fazer isto?”
Aluno A: “... produto misto igual a zero, realmente são coplanares, elas são perpendiculares?”
Aluno B: “Não sei, como a gente verifica isto? Pelo produto escalar?” Aluno A: “...Isto, deu diferente de zero, então não são perpendiculares.”
A Dupla 1 foi além do esperado. Provavelmente a utilização do software os motivou a buscar outras estratégias, uma vez que a análise da perpedicularidade não havia sido solicitada na tarefa.
A mesma dupla fez a Tarefa a da Atividade 2 sem dificuldades. É provável que esta facilidade se deu pelo contato com as tarefas da atividade 1, que envolviam a análise da posição relativa entre duas retas, tanto no Cabri como no papel & lápis. Os estudantes desta dupla realizaram toda a análise de forma independente, sem observar que a tarefa seguinte, no caso, a Tarefa b, solicitava o que já haviam feito. Tal fato aponta que os estudantes dessa dupla estavam motivados a analisar a situação de forma ampla, sem se prenderem ao estipulado em cada tarefa. Castro (2001) afirma que muitos erros cometidos pelos alunos possam estar relacionados à dificuldade de visualização no espaço. No caso, o auxílio do software adotado provavelmente permitiu um contato mais concreto com o objeto matemático em questão..
Com relação à Dupla 2, houve a necessidade de uma interferência mais efetiva do professor-pesquisador. Isto porque um aluno dessa dupla apresentou uma compreensão equivocada que desestabilizou a compreensão de seu parceiro. Ele achou que o fato de duas retas serem concorrentes implicaria necessariamente na existência de um ângulo de 90° entre elas. Ele quase convenceu seu parceiro disto, sendo necessária, nesse momento, a interferência do professor-pesquisador, o qual pediu para que a dupla fornecesse a definição de retas concorrentes. O aluno imediatamente explanou “Retas concorrentes são retas que possuem um ponto de intersecção, morreu (sic), eu estava equivocado”. Seu parceiro completou “as retas concorrentes podem ter ângulo de 90°”, enfatizando a palavra “podem”. A figura seguinte mostra a resolução pela Dupla 2 na Tarefa 2 a.
A princípio, os estudantes desta dupla não utilizaram a teoria dos vetores para mostrar que as retas eram coplanares. Eles apenas manipularam a figura, e, naquele momento, nem pediram o ponto de intersecção. Um trecho do diálogo apresentado a seguir entre os elementos dessa dupla reflete o pensamento utilizado por eles.
Aluno C: “... Como cada um destes vetores que construímos são vetores diretores das retas r e s .... por exemplo, nós construímos o vetor no plano e o , também, entendeu? Por isso elas são coplanares.”
Em seguida, para se certificarem que estavam corretos, determinaram, por meio do software, o ponto de intersecção entre as retas r e s. Na Tarefa b, eles traçaram um vetor com origem em um ponto qualquer de uma das retas e extremidade em um ponto qualquer da outra e, calculando o produto misto entre os vetores , , e o terceiro vetor criado por eles, verificaram a coplanaridade das retas. É provável que esta facilidade na resolução se deva ao contato já realizado na Atividade 1, na qual já havia a necessidade de se criar um terceiro vetor.
A Dupla 3 utilizou outra estratégia. No próprio software, tentou mostrar que as retas eram coplanares. Para isso, procurou construir um plano contendo as duas retas, conforme apresentado na tela seguinte.
Só que na construção, os alunos da dupla notaram que as retas não eram coplanares, uma vez que realizaram a construção de um dos vetores fora do plano de referência.
Eles obtiveram essa conclusão quando fizeram o cálculo do produto misto, o qual foi diferente de zero. Notando esse equívoco, recomeçaram de forma independente a construção, sem solicitar a presença do professor-pesquisador, com o cuidado de colocarem as extremidades dos vetores no plano de referência. Primeiramente a dupla determinou o ponto de intersecção. Depois disto, ela construiu um vetor denominado , com origem num ponto de uma das retas e extremidade em um ponto da outra reta. Os alunos da dupla pediram o produto vetorial entre os vetores e diretores das retas r e s, respectivamente, e em seguida o produto escalar entre o vetor encontrado e . Com o produto misto igual a zero obtido no software, tiveram a certeza de que as retas eram coplanares. Desta forma, realizaram as Tarefas a e b conjuntamente.
O professor-pesquisador pediu para que as duplas explicassem em língua natural escrita como obtiveram a conclusão de que as retas eram coplanares. A seguir, é apresentada a produção escrita da Dupla 3.
Figura 53 – Produção da Dupla 3 nas Tarefas 2 a e 2 b
Observa-se que os estudantes dessa dupla relataram corretamente o procedimento para a análise da coplanaridade de duas retas.
Para a análise da concorrência, os estudantes não utilizaram inicialmente a teoria de vetores, recorrendo ao comando “Ponto de intersecção” do software. Cabe
ressaltar que os estudantes não perceberam que, determinando primeiramente o ponto de intersecção no software, não seria mais necessária a análise da coplanaridade. No final do relato, na frase “O resultado foi zero indicando assim que as retas são coplanares concorrentes. Se o resultado fosse diferente de zero, elas não seriam coplanares concorrentes, e este resultado seria o volume do paralelepípedo”, os estudantes apresentaram uma confusão entre a interpretação geométrica do produto misto e análise de retas reversas.
Na Tarefa 2 c teve-se o intuito de explorar a análise da posição relativa de duas retas em representações de outros registros semióticos.
No caso, pretendia-se que os estudantes determinassem o ponto de intersecção partindo de uma situação dada no registro algébrico, efetuando tratamentos nesse registro e uma conversão de uma representação do registro algébrico para uma do registro numérico.
As três duplas chegaram à mesma conclusão fazendo o produto misto, encontraram para isto um terceiro vetor com origem numa das retas e extremidade na outra e após isto, encontraram o ponto de intersecção.
Aqui foi observada uma maior facilidade dos estudantes na mudança do ambiente do software para o ambiente papel & lápis em relação à primeira aula. O Aluno C forneceu o seguinte comentário: “Nossa, com este programa a Geometria Analítica fica muito mais fácil, agora eu consigo enxergar os vetores no espaço”.
A seguir são apresentadas as resoluções das três duplas.
Figura 54 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 2 c (conclusão)
Observa-se um equívoco nesta produção. A dupla apresentou uma análise correta da coplanaridade, porém, ao avaliar a concorrência entre as retas, estabeleceu uma confusão entre a análise da perpendicularidade entre duas retas com a análise de concorrência entre retas, tendo em vista que avaliou o resultado do produto escalar entre os vetores diretores das retas.
Este equívoco também foi cometido pela Dupla 2 na Tarefa a desta mesma atividade, porém, após discussões com o professor-pesquisador, esse equívoco não ocorreu mais.
Figura 55 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 2 c
Observa-se nesta produção um equívoco na obtenção do vetor presente na terceira linha do determinante. A dupla não determinou os pontos das retas para obter um terceiro vetor. É possível notar que ela efetuou a diferença entre as coordenadas dos dois vetores diretores das retas, apesar de ter realizado corretamente situação semelhante no software.
Neste momento, o professor-pesquisador optou por não interferir, uma vez que situação semelhante seria apresentada posteriormente e, caso o equívoco permanecesse, ele faria então outros questionamentos.
Esta dupla mostrou uma grande habilidade em coordenar os registros, fornecendo uma produção de boa qualidade, ou seja, ela soube realizar a análise da coplanaridade e obter o ponto de intersecção fora do ambiente computacional.
As Tarefas d e e da Atividade 2 dependiam da construção realizada no item a. Foram duas tarefas realizadas de forma rápida. Além das duplas já terem habilidade nos comando do software, as mesmas demonstraram um bom domínio na articulação das representações. Facilmente, na Tarefa d, redefiniram a extremidade de um dos vetores para fora do plano de referência do software utilizando seus recursos. Na Tarefa e redefiniram a extremidade de um vetor sobre o outro vetor, tornando, assim as retas r e s paralelas. A figura 57 mostra a sequência de telas apresentada pela Dupla 2.
Figura 57 – Sequência de telas apresentada pela Dupla 2 nas Tarefas 2 d e e
A Dupla 3 não teve dificuldades na resolução dessa tarefa. O trecho do seguinte diálogo entre os estudantes dessa dupla mostra a facilidade na sua resolução:
Aluno E: “... existem duas possibilidades, as retas podem ser paralelas distintas ou paralelas coincidentes.”
Aluno F: “Para fazer com que elas se tornem paralelas, basta fazer com que os dois vetores tenham a mesma direção, é só “clicar” na extremidade de um vetor e levá-lo até o outro, assim teremos duas retas paralelas.”
Foi observado pelo professor-pesquisador que apenas os estudantes da Dupla 1 notaram que as equações das retas paralelas, na tela do software, possuíam o mesmo vetor diretor . Analisando as estratégias adotadas pelos
estudantes em relação às Tarefas d e e, observa-se que os mesmos tinham consciência de que para as retas se tornarem reversas, seria necessário alterar a extremidade do vetor para fora do plano, mostrando, assim, que conseguiram construir uma relação entre a teoria de vetores e a análise da posição relativa entre duas retas.
As três duplas redefiniram a extremidade do vetor de uma das retas, tornando-as reversas. Ainda, todas as duplas recorreram ao produto misto no software para verificar esta condição. Nesta situação, o software assumiu o papel de elemento de validação.
A Tarefa f visava o estabelecimento de coordenação entre os registros. Foi proposta uma situação de análise da posição relativa de duas retas no registro simbólico-algébrico, envolvendo a conversão de uma representação do registro simbólico-algébrico para uma representação do numérico. Os resultados de duas duplas foram muito semelhantes, que fizeram, como no Cabri 3D, o produto misto sem questionamentos.
A seguir são apresentadas as produções escritas das duplas 1 e 2 para esta tarefa.
Ressalta-se que nesta produção há um pequeno equívoco na última etapa de cálculo do determinante. A dupla deveria realizar 3 + 6, mas realizou 3 - 6. A seguir, apresenta-se a resolução da Dupla 2 nesta mesma tarefa.
Figura 59 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 2 f
Nota-se nesta resolução um equívoco na repetição de alguns elementos das duas colunas do determinante.
Isso ocorreu porque os alunos determinaram inicialmente o terceiro vetor por meio da diferença entre as coordenadas dos dois vetores diretores da reta e esqueceram de corrigir esses dois elementos. Como esse equívoco já havia ocorrido anteriormente na Tarefa c, o professor-pesquisador resolveu interferir, corrigindo estes estudantes, lembrando que um vetor seria determinado pela diferença entre as coordenadas de dois pontos e não de dois vetores.
Somente a Dupla 3 analisou se as retas seriam paralelas antes de calcular o produto misto.
Figura 60 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 2 f
Observa-se que a dupla conseguiu reconhecer os vetores diretores das retas dadas na representação algébrica (simétrica), realizou o tratamento neste registro obtendo as equações paramétricas, calculou corretamente o produto misto entre os vetores no registro numérico e relatou, com sucesso, as conclusões na língua natural escrita. Nota-se que a dupla, por conta própria, utilizou como estratégia de resolução analisar primeiramente o paralelismo entre os vetores diretores das retas. Verificando que as retas não eram paralelas, partiram para a análise da coplanaridade.
Tal fato mostra independência e praticidade da dupla na análise da tarefa. Salienta-se que as demais duplas não utilizaram essa estratégia.