Segundo Boyer (1974, 1996), a Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, porém a operacionalidade à geometria grega só seria atingida mediante o uso da Álgebra. Somente no século XVII, a Álgebra começou a ser fundida com a Geometria. Foram os franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), os precursores do desenvolvimento da Geometria Analítica.
Boyer (1974) relata sobre a contribuição de Fermat à Geometria Analítica, que se encontra em um pequeno texto intitulado “Introdução aos Lugares Planos e Sólidos” e data, no máximo, de 1636. Esta obra semente foi publicada em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. Como Fermat não publicou sua obra em vida, a invenção da Geometria Analítica é considerada por muitos, segundo o autor, sendo unicamente de Descartes.
A Geometria Analítica do matemático René de Descartes apareceu em 1637 no texto chamado “A Geometria como um dos três apêndices do discurso do método”, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. Descartes foi criador do sistema de coordenadas cartesianas, relacionou a Álgebra com a Geometria, criando princípios matemáticos capazes de analisar as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e coordenadas. Para Boyer (1974), tanto Descartes como Fermat percebiam a existência de uma Geometria Analítica em mais de duas dimensões. Mas a Geometria Analítica em três dimensões somente seria desenvolvida no século dezoito.
Os vetores geométricos, que constituem a base de estudo dos espaços vetoriais, são objetos que possuem as características relacionadas a tamanho, direção e sentido. Estes são muito utilizados na Física, como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à cinemática vetorial, dinâmica, campo elétrico, dentre outros conteúdos relacionados.
Segundo Venturi (2009), o conceito de vetor surgiu na Mecânica através do engenheiro holandês Simon Stevin em 1586, o qual apresentou, em Estática, o problema da composição de forças, enunciando uma regra empírica para se achar a soma de duas forças aplicadas em um mesmo ponto, regra conhecida atualmente como regra do paralelogramo. Ainda, segundo Venturi (2009), os vetores surgiram em 1797 como linhas dirigidas na obra “Ensaio Sobre a Representação da Direção” publicada por Gaspar Wessel, matemático dinamarquês. Mas a teoria vetorial, propriamente dita, surgiu apenas no século XIX com trabalhos do irlandês William Hamilton, do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs. Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviram como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, utilizado atualmente na Engenharia.
Ubiratan D´Ambrósio, em palestra realizada no VII Seminário Nacional de História da Ciência e da Tecnologia em 2008, confirma que a noção de grandezas vetoriais pode ser traçada à antiguidade, como uma composição de forças (regra do paralelogramo). A idéia de vetor apresenta-se de modo não formalizada, quando se introduzem os números complexos. Particularmente pioneiros são os trabalhos de Cardan, Leibniz, Newton, Wessel, Argand, Warrem, Mourey, principalmente a idéia de número complexo como uma dupla de números reais em dois referenciais, o real e o “imaginário”.
Em 1843, William Rowan Hamilton (1805-1866) introduziu os quatérnios, que são quádruplas (a+xi+yj+zk), onde a, x, y, z são números reais e i , j , k são números imaginários. Isto se assemelha à justificativa geométrica de Gauss para os números complexos, publicada em 1831, mas desconhecida de William Rowan Hamilton (1805-1866), o qual publicou dois livros básicos: Lectures on Quaternions (1853) e Elements of Quaternions (1866).
James Clerk Maxwell (1831-1879) havia introduzido o Eletromagnetismo e logo aderiu aos quatérnios. Mas coube a um discípulo de Hamilton, Peter Guthrie
Tait (1831-1901), publicar a obra que divulgou os quatérnios e sua aplicabilidade à Física: An elementary treatise on quaternions (1867). Contemporâneos de Hamilton estavam com propostas semelhantes, dentre eles, August Ferdinand Möbius, Giusto Bellavitis, Comte de Saint-Venant, Augustin Cauchy, Matthew O’Brien e, principalmente, Hermann Günther Grassmann (1809-1877). Grassmann (1809-1877) publicou em 1844 a Teoria da Extensão Linear, onde introduziu espaços n-dimensionais, com alguma semelhança com os quatérnios de Hamilton, cujo trabalho ele desconhecia.
Em 1884, Oliver Heaviside (1850-1925), introduziu o conceito de vetor como uma reformulação simplificada dos quatérnios, e reformulou, também, as equações de Maxwell, do Eletromagnetismo. Sua reformulação prevalece até hoje.
A Análise Vetorial, bem como outras técnicas de Matemática Aplicada, surgiram na Inglaterra apoiadas sobretudo por físicos. O eletromagnetismo de James Clerk Maxwell foi um grande impulsionador. O físico teórico, químico e matemático norte-americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903) publicou dois panfletos, escritos em 1881 e em 1884, que foram amplamente distribuídos entre alunos da Yale University e enviados a físicos e matemáticos de todo o mundo, particularmente da Inglaterra.
Nos Estados Unidos foram lançados os primeiros livros textos: Edwin Bidwell Wilson (1879-1964) publicou em 1901, a obra “Vector Analysis: um livro texto para uso de estudantes de matemática e física”, o qual foi fundamentado nas aulas de Josiah Willard Gibbs. Em 1909, surgiu o “Vector Analysis”, de Joseph George Coffin, também em Nova Iorque.
Naquela época, na Europa continental, os tratados de Grassmann tiveram pouca repercussão. De certo modo, a matemática inglesa e a matemática continental eram descompassadas. Em 1909, foi publicado, em Bologna, o “Elementi do Calcolo Vettoriale”, por Cesare Buralli-Forti e Roberto Marcolongo. Na França, também por volta de 1900, houve certa resistência ao cálculo vetorial, evidenciada pelo fato de nenhum autor francês ter escrito um livro-texto sobre Cálculo Vetorial. Apesar disso, a obra de Buralli-Forti e Marcolongo foi traduzida para a língua francesa. O primeiro livro francês foi o “Calcul vectoriel”, de Albert Chatelêt e Joseph Kampé de Férié, publicado em Paris , s/d (possivelmente em 1923) e, a partir daí,
seguiram-se muitos outros textos. Apesar disso, naquela época, o Cálculo Vetorial ainda era uma novidade nos currículos franceses.
No Brasil, o Cálculo Vetorial no espaço educacional surgiu, possivelmente, em 1926, como uma disciplina criada por Theodoro Augusto Ramos (1895-1935). Ele havia cursado a Escola Politécnica do Rio de Janeiro, doutorou-se em 1918 e, em 1919, ingressou, mediante concurso, na Escola Politécnica de São Paulo. Em 1930, publicou, pela editora francesa Librairie Scientifique Albert Blanchard, o livro Leçons sur le Calcul Vectoriel.
Atualmente, o cálculo vetorial está presente na grade curricular de grande parte dos cursos de graduação da área de exatas, tais como os cursos de Matemática, Física e Engenharia.
A seguir, apresenta-se a contextualização atual do objeto matemático “Retas e Planos” no ensino superior brasileiro de Geometria Analítica, por meio da análise de obras didáticas frequentemente referenciadas nas ementas dos cursos de exatas dessa disciplina.
4.2 OS OBJETOS MATEMÁTICOS “RETAS E PLANOS” NOS LIVROS