6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DO DESIGN
6.4 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE 3
6.4.2 Apresentação da análise da atividade 3
Em um novo arquivo do Cabri e considerando o sistema de coordenadas cartesianas , crie dois vetores 1 e 2 de direções diferentes com origem em (0,0,0), dois pontos distintos P1 e P2 e duas retas r e s, sendo r a reta que passa por P1 e que tem 1 como vetor diretor e s a reta que passa por P2 e tem 2 como vetor diretor.
Tarefa a. Procure avaliar se existe relação entre o ângulo formado pelas retas r e s e o ângulo formado pelos vetores 1 e 2. Escreva suas conclusões.
Tarefa b. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , são dadas as retas r e s. Determine, no ambiente papel & lápis, o ângulo entre as retas:
1 1 12
3
3
1
:
t
z
t
y
t
x
r
e 2 5 5 3 : 2 2 z t y t x sTarefa c. Abra o arquivo 2 do Cabri. Nele são dadas duas retas r e s. Sem solicitar o ângulo e utilizando a teoria de vetores, como você mostraria que as mesmas são perpendiculares?
Tarefa d. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , são dadas as retas r e s. Mostre que elas são coplanares e perpendiculares.
r: X=(1, 2,1) + (1,1,1) t1 e
s: X=(2, 7, - 5) + (1, 5,-6) t2 ,
Tarefa e. Abra o arquivo 3 do Cabri. Nele são dadas duas retas r e s. Sem solicitar o ângulo, como você mostraria que as mesmas são ortogonais?
Tarefa f. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , são dadas as retas r e s. Mostre que elas são reversas. Em seguida, mostre que são ortogonais.
r: X=(1,2,1) + a(1,1,1) e
s: X=(2,1,0) + b (1,5,-6), a e b reais.
Quadro 24 – Atividade 3: Ângulo entre retas (conclusão)
Neste momento os estudantes praticamente não apresentavam mais dúvidas em relação aos comandos do software, sendo as atenções voltadas ao conteúdo presente nas atividades desenvolvidas.
Na Tarefa a era esperado que os alunos observassem no software, que o menor ângulo entre os vetores coincidia com o menor ângulo entre as retas. Nesta tarefa, os estudantes das três duplas não apresentaram dificuldades em observar a relação entre o ângulo formado pelas retas e o ângulo formado pelos seus vetores diretores.
A título de ilustração, apresenta-se, a seguir, a seqüência de telas apresentada pela Dupla 1 para a resolução dessa atividade.
Figura 61 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 3 a
Seguem as produções escritas desta tarefa apresentadas por cada uma das três duplas. Pode-se observar pelas mesmas que todas as duplas estabeleceram a relação entre o ângulo formado entre as retas e o ângulo formado entre seus vetores diretores.
Figura 63 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 3 a
Figura 64 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 a
Na Tarefa b desta mesma atividade, foi solicitado, no ambiente papel & lápis, o ângulo entre duas retas dadas na representação simbólico-algébrica, a fim de investigar se os estudantes realizariam o mesmo tipo de tarefa fora do ambiente computacional e em outro tipo de registro de representação semiótica. As duplas 1 e 3 realizaram esta tarefa recorrendo às anotações da revisão feita pelo professor-pesquisador antes da atividade de familiarização, pois não recordavam a fórmula para calcular o ângulo entre vetores. Já os estudantes da Dupla 2 colocaram esta fórmula na produção escrita da Tarefa a da figura 63 e partiram dela. Os estudantes da Dupla 3 questionaram sobre qual ângulo entre as retas era igual ao ângulo entre os vetores, conforme diálogo apresentado a seguir.
Aluno E: “Professora, existem dois ângulos entre as retas, entre vetores não? O professor questionou-os como determinaram o ângulo no Cabri.”
Aluno E: “No Cabri deu igualzinho, é Roberto, porque no Cabri deu igual?” Aluno F: “Olha professora, se eu usar a fórmula, tem um módulo, então vai ser sempre positivo? Mas ângulo positivo?”
Aluno F: “Não, é o cosseno que é positivo.”
O professor-pesquisador precisou intervir, passando a fórmula no quadro para todas as duplas, pois o que se pretendia observar era se os estudantes a utilizariam para o cálculo do ângulo entre vetores. Neste momento, houve uma discussão entre as duplas, sendo que o professor-pequisador se colocou como “mediador”. O
estudante A da Dupla 1 relatou que se lembrava do ensino médio que o ângulo considerado entre as retas era o menor ângulo. O estudante F respondeu: “É pode ser, aí fica igual ao do vetor.” O estudante C falou: isto é bem lógico. Desta forma, os estudantes concluíram que deveriam considerar o menor ângulo entre as retas.
Os sujeitos de todas as duplas, partindo da fórmula, que agora se encontrava no quadro, detalharam suas resoluções, obtendo com sucesso o menor ângulo entre as retas, como apresentado a seguir.
Figura 65 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 3 b
Nesta tarefa, a Dupla 2 apresentou uma resolução correta, porém, com uma produção escrita desorganizada, conforme pode ser observado na figura 66.
Figura 67 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 b
Todos os estudantes utilizaram uma calculadora científica para a determinação dos cálculos.
Analisando a produção escrita da Dupla 3, nota-se que, apesar de obter o resultado correto e de calcular o ângulo entre os vetores e , ocorreram problemas notacionais. Por exemplo, os estudantes escreveram “r= (1,3,-2)”, estabelecendo uma igualdade entre retas e vetores. Porém, na produção oral, a todo o momento pareciam saber bem esta diferença. Desta forma, tal dificuldade pode ser caracterizada como um problema no registro simbólico. Na Tarefa c, foi solicitada aos estudantes a análise da perpendicularidade entre duas retas na tela do software. Eles não poderiam utilizar o comando ângulo entre retas presente no Cabri 3D. A figura seguinte apresenta a ilustração da tela apresentada aos estudantes para a resolução da Tarefa c.
A Dupla 1 solicitou o produto escalar entre os vetores e , presentes na tela, obtendo o resultado zero. Com isso, concluíram que as retas eram perpendiculares. Eles não apresentaram dificuldades em associar a situação ao uso do produto escalar, pois este conhecimento já tinham adquirido em tarefas anteriores e também na revisão de vetores presente no Anexo 1. Neste momento o professor-pesquisador forneceu o seguinte questionamento: “se as retas fossem reversas e o ângulo entre elas fosse de 90°, como ficaria o produto escalar entre os vetores 1 e 2?” Eles pensaram por poucos segundos e um dos elementos da dupla respondeu que o produto escalar seria zero também. Imediatamente o outro sujeito falou: “então nós temos certeza que o ângulo entre elas é de 90°, porém elas podem ainda serem (sic) coplanares ou reversas, é isto? E elas têm ponto de intersecção?” Os sujeitos desta dupla utilizaram o comando manipulação a fim de verificar se as retas tinham ponto de intersecção. Em seguida, para verificarem se a conjectura realizada era correta, pediram o ponto de intersecção entre as retas via comando do software. Como obtiveram esse ponto, concluíram que as retas eram coplanares e, pelo fato de o ângulo entre elas ser de 90o, concluíram que as mesmas eram perpendiculares.
Os estudantes da Dupla 2 iniciaram a atividade solicitando o ponto de intersecção entre as retas via comando do software. Em seguida, determinaram, ainda nesse ambiente, o produto escalar entre os vetores 1 e 2, concluindo que estas retas eram coplanares perpendiculares. Nesta tarefa, via software, percebe-se que houve muita segurança dos estudantes, provavelmente proveniente do contato com os conceitos presentes nas tarefas a e b da atividade 3. Pode-se evidenciar um crescimento no conhecimento relativo ao conteúdo de Geometria Analítica, uma vez que os estudantes associaram naturalmente, sem necessidade de interferências do professor-pesquisador, que se o produto escalar era igual a zero, o ângulo entre as retas era igual a 90°.
Já a Dupla 3 iniciou a tarefa solicitando o produto escalar no Cabri 3D. Como obteve o resultado zero, concluiu que o ângulo era de 90°. Como os estudantes da dupla não haviam investigado se as retas eram coplanares ou reversas, o professor-pesquisador forneceu o seguinte questionamento: “E agora, já dá pra concluir que são perpendiculares? Um dos componentes da dupla questionou: “Professora o ângulo é 90° e agora?”
O professor-pesquisador fez o mesmo questionamento que utilizou para a Dupla 1: “se as retas fossem reversas e o ângulo entre elas fosse de 90°, como ficaria o produto escalar entre os vetores 1 e 2 ?” O estudante respondeu, mas não para o professor e sim para o outro integrante de sua dupla: “É preciso fazer o produto misto”. Os estudantes da dupla construíram, então, um terceiro vetor determinado por dois pontos, um de cada reta, e pediram, com a utilização do software, o produto misto entre os vetores. Como deu zero, concluíram imediatamente que as retas eram perpendiculares e não reversas.
Na Tarefa d, pretendia-se investigar se os estudantes utilizariam as conclusões obtidas no ambiente computacional em uma situação proposta no ambiente papel & lápis no registro simbólico-algébrico. A Dupla 3 pediu ao professor-pesquisador uma revisão de resolução de sistemas. Já as duplas 1 e 2 relataram que não havia necessidade de realizar essa revisão. Como surgiu o questionamento por parte da Dupla 3, mesmo sabendo que a resolução desta tarefa não necessitava deste tipo de estratégia, o professor-pesquisador, com o intuito de realizar uma discussão conjunta, solicitou a atenção das duplas e relembrou, por cerca de vinte minutos, alguns aspectos do conteúdo de sistemas lineares, conforme apresentado a seguir. Essa revisão foi realizada para que os estudantes determinassem o ponto de intersecção entre duas retas no ambiente papel & lápis, estratégia que poderiam utilizar em outras atividades.
Neste momento, foi retomado o fato de que um sistema pode ter uma única solução, quando ele for possível e determinado e neste caso as retas serão concorrentes. Se forem coincidentes, o sistema será possível e indeterminado, havendo então infinitas soluções. Se a intersecção for vazia, o sistema será impossível. Neste momento um dos alunos da Dupla 2 questionou: “Não ter intersecção é serem paralelas ou reversas?” Um outro estudante, agora da Dupla 1: “Tanto faz não é professora? Não tem ponto de intersecção.” O professor-pesquisador deixou que a discussão continuasse. Outro aluno agora, da Dupla 2 relatou: “Aí que entra o produto misto, se for zero e não tem ponto comum são paralelas.” E outro estudante da Dupla 1 relatou: “Mas se são paralelas, não preciso resolver sistema, basta analisar a relação entre os vetores.” Neste diálogo, evidencia-se o compartilhamento pelas duplas de diferentes estratégias de resoluções para o mesmo problema, culminando em uma visão global da situação.
O professor-pesquisador resolveu no quadro um exercício de cada tipo de sistema (impossível, possível e indeterminado e possível e determinado) com duas equações e duas incógnitas, mesmo sabendo que não haveria necessidade de recorrer aos sistemas na resolução das tarefas da atividade 3. Isto porque a intenção era resolvê-las utilizando a teoria de vetores. A decisão do professor-pesquisador em realizar essa revisão consistiu em apresentar aos estudantes a relação entre sistemas lineares e posições relativas entre retas, para que os estudantes também tivessem contato com outras estratégias de análise do problema.
A seguir, apresenta-se a foto do professor- pesquisador conduzindo a discussão sobre a resolução de sistemas lineares.
Foto 3. Explanação sobre resolução de sistemas. Data da captura de imagem: 13/05/2010
Na Tarefa d, todas as duplas trabalharam com o produto misto e com o produto escalar, como já previsto na análise preliminar. Já era esperado, como descrito anteriormente, que os estudantes não utilizariam sistemas lineares para a resolução desta atividade e isto foi posteriormente confirmado nas produções escritas das duplas. A estratégia utilizada pelas duplas partiu da determinação de
outro vetor, sendo este com origem na reta r e extremidade em s. Em seguida eles fizeram o produto misto entre os três vetores e, como o resultado foi zero, concluíram que as retas eram coplanares. A partir daí, eles fizeram o produto escalar entre os vetores 1 e 2 e, como o resultado também foi zero, concluíram que as retas eram coplanares e perpendiculares.
É provável que a resolução apresentada pelos estudantes tenha ocorrido em função das atividades anteriores realizadas no ambiente Cabri 3D, que envolviam este tipo de estratégia. O diálogo estabelecido pela Dupla 1, apresentado a seguir, denota a compreensão dos estudantes.
Aluno B: “Basta fazer o mesmo procedimento que fizemos no Cabri, concorda?”
Aluno A: “Isto, o produto misto e o produto escalar, pronto!”
Pode-se observar que a dupla não estabeleceu a análise das retas na produção escrita, fixando-se apenas nos vetores diretores das mesmas. Apesar disso, era claro para os estudantes da dupla, tanto nas manifestações verbais como escritas, que as conclusões obtidas na análise vetorial poderiam ser ampliadas para a análise das retas, o que pode ser observado na produção escrita da Dupla 1 na Tarefa a desta mesma atividade
A seguir apresenta-se a produção da Dupla 2 na mesma atividade.
Figura 70 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 3 d
Ao contrário da Dupla 1, na produção escrita da Dupla 2, observa-se o cuidado em relacionar os resultados obtidos pela teoria de vetores com a posição relativa das retas, o que pode ser observado tanto no registro da língua natural escrita como no gráfico.
Figura 71 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 d
Apesar dos resultados e conclusões corretos, foram observados problemas na notação desta dupla, no momento em que esses estudantes nomearam um dos pontos de cada reta pela denominação da própria reta, como, por exemplo, “r=(1,2,1)” e, em seguida, indicaram o vetor determinado por dois pontos por . Da mesma forma que a Dupla 1, na produção escrita desta dupla observa-se que a análise foi realizada entre os vetores, sem estabelecer a relação entre as retas, porém, esta dupla também estava ciente de que os resultados obtidos na análise dos vetores poderiam ser aplicados às retas. Isto pôde ser observado tanto pelos relatos orais como na produção escrita da Tarefa a desta mesma atividade.
Na Tarefa e era solicitado, no ambiente do software, que os estudantes mostrassem que as retas apresentadas nas telas eram ortogonais. Ao abrir a tela eles se depararam com a seguinte tela do Cabri 3D.
Figura 72 – Tela apresentada aos estudantes na Tarefa 3 e no Cabri 3D
As duplas 1 e 2 não apresentaram dificuldades na resolução dessa tarefa. Primeiramente fizeram uma pequena manipulação para um reconhecimento da situação. Em seguida, construíram um terceiro vetor com origem numa reta e extremidade em outra, verificaram que o produto misto entre esse vetor e os vetores e era diferente de zero e que o produto escalar entre os vetores 1 e 2 era zero. Com isso, concluíram que as retas eram ortogonais. Essa estratégia aponta que os estudantes não se fixaram no aspecto visual da tela, que “sugeria” a existência de um ponto de intersecção. Tal fato revela uma maturidade na análise da situação por parte destes estudantes. Estes estudantes já haviam realizado produções apenas baseados no pólo do visto, na concepção de Parzysz e Colmez (1993). Nesta tarefa, observa-se que os mesmos associaram os pólos do visto e do sabido.
Segundo Parzysz (1988), na representação de objetos no plano em três dimensões existem perdas de informações, pois a mesma é feita através de projeções que realmente não conservam suas propriedades. É provável que o dinamismo do Cabri 3D, que permite manipular os objetos, tenha facilitado a análise tridimensional.
Figura 73 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 3 e
A Dupla 2 construiu uma tela semelhante à apresentada pela Dupla 1. Já a Dupla 3 manipulou a figura e pediu o ponto de intersecção entre as retas. Como não encontrou esse ponto, mudou de estratégia e determinou, também, um terceiro vetor com origem em uma das retas e extremidade na outra. A partir daí, a resolução foi semelhante à apresentada pelas duplas 1 e 2. Foi uma atividade bem rápida e realizada sem dificuldades por todas as duplas. É provável que o contato com a análise da perpendicularidade entre duas retas na tarefa anterior tenha favorecido a resolução desta atividade.
A Tarefa f envolvia o mesmo tipo de procedimento da tarefa anterior, porém em uma situação dada no registro algébrico e no ambiente papel & lápis.
Todas as duplas seguiram os mesmos passos do exercício feito no ambiente do software, e resolveram a tarefa com muita segurança.
Um dos elementos da Dupla 3, que resolveu o exercício no ambiente papel & lápis, forneceu o seguinte comentário: “Dá menos trabalho fazer o produto misto do que encontrar o ponto de intersecção entre as retas”.
Pelo resultado do produto misto, os estudantes da dupla observaram que realmente não havia ponto de intersecção entre as retas, uma vez que elas eram reversas. As produções escritas das três duplas para essa tarefa são apresentadas a seguir.
A figura 76 mostra a apresentação da produção da Dupla 2 na Tarefa 3f.
Figura 76 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 3 f
Figura 77 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 f
Nesta última produção, observa-se uma boa compreensão da situação, apesar da existência de um erro de cálculo no determinante e de equívocos notacionais.