Como primeira etapa de nossa revisão bibliográfica, foram analisados dois trabalhos relacionados ao ensino de vetores, as pesquisas de Pavlopoulou (1993) e de Castro (2001).
O estudo de Pavlopoulou (1993) sobre vetores foi realizado na França, sendo norteado pela teoria dos registros de representação semiótica de Duval.
A sua pesquisa trabalhou com os registros gráfico, simbólico e tabular do objeto matemático “vetor”, sendo observado que o grau de dificuldade dos estudantes variava ao se alterar o sentido da conversão em um mesmo tipo de tarefa.
A pesquisadora observou, ainda, que os livros didáticos com freqüência enfatizam o uso do registro simbólico, sendo que os outros registros são pouco explorados. Assim, verificou que a atividade de conversão provavelmente fica prejudicada.
A autora trabalhou, em sua pesquisa, com estudantes do primeiro ano universitário do sistema educacional francês (DEUG). Constatou que estes alunos apresentavam dificuldades de relacionar o objeto estudado com uma de suas representações. Verificou, também, desempenhos distintos nos dois sentidos da conversão.
Exemplificando, Pavlopoulou (1993) observou, em uma atividade específica, que no sentido da conversão da representação do registro tabular para o gráfico, o índice de acerto foi de 83% e, quando a mesma atividade foi aplicada no sentido contrário, o índice de acerto caiu para 34%, conforme mostra a figura 2 a seguir.
Conversão Registro de partida Registro de chegada 144 estudantes (2D Rep.) TG 1 0 k p 0 1 m 0 0.83 GT 1 0 a c 0 1 b d 0.34
Figura 2 – Exemplo de conversão – PAVLOPOULOU (1993, p. 84) Fonte: Duval, 2000, p.645
A figura 2 mostra que na conversão proposta no sentido do tabular para o gráfico, era esperado que o aluno partisse da análise dos vetores no plano (1,0), (0,1), (k,m) e (p,0), com as condições k<0, m<0 e p>0 para determinar os vetores e . Os vetores gráficos e eram identificados como os vetores (1,0) e (0,1), cabendo ao estudante identificar os vetores gráficos e , ou seja, os vetores =(k,m), com k<0 e m<0, e , =(p,0), com p>0. A maioria dos estudantes não teve dificuldades em estabelecer este tipo de conversão, uma vez que o índice de acerto foi de 83%. Já na conversão no sentido do gráfico para o tabular, com as condições, a<0, b<0, c>0 e d<0, o índice de acerto reduziu consideravelmente, o que foi justificado, pela pesquisadora, como um efeito do fenômeno da heterogeneidade da conversão. Neste contexto, quando a atividade de conversão é privilegiada, ainda é necessário verificar se os dois sentidos estão sendo explorados, uma vez que não se pode afirmar que se a mudança de registro é feita num determinado sentido, o estudante facilmente realizará a mesma atividade em sentido contrário.
Outra pesquisa analisada foi a dissertação de Castro (2001) a qual se apresenta no âmbito das investigações sobre o processo de ensino e aprendizagem de Geometria Analítica, tendo por foco a noção de vetor. Este trabalho, além de ter proximidade temática com a presente pesquisa, utiliza a mesma base teórica, ou seja, a teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2000, 2003).
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Castro (2001) partiu do trabalho de Pavlopoulou (1993) com intenção de desenvolver um estudo diagnóstico comparativo, utilizando os dados dessa tese para estudantes brasileiros. O objetivo inicial de seu estudo foi o de identificar dificuldades que uma amostra de alunos iniciantes na universidade apresentaria sobre o conceito de vetor.
Castro (2001) utilizou três categorias de registros; simbólico, gráfico e língua natural, conforme exemplificado nas seguintes figuras.
Figura 3 – Registros de representação do objeto vetor no plano Fonte: Castro, 2001, p. 21
Figura 4 – Registros de representação do objeto vetor no plano Fonte: Castro, 2001, p. 22
Ainda, sua pesquisa investigou se uma abordagem de ensino integrando representações auxiliaria no enfrentamento das dificuldades detectadas.
Estas dificuldades foram reveladas nos testes aplicados por Castro numa população de alunos de cursos de Engenharia. Os resultados indicaram que a dificuldade se concentrou na conversão em que um dos registros envolvido era o registro gráfico. Indicaram, também, ao contrário de Pavlopoulou (1993), que a dificuldade era maior quando este registro era o de chegada. Castro aplicou um teste diagnóstico com sete exercícios propostos no plano e no espaço, sendo apresentados dois destes testes trabalhados pela autora na figura a seguir.
Figura 5 – Exercício 1 do teste diagnóstico Fonte: Castro, 2001, p. 28
Figura 6 – Exercício 2 do teste diagnóstico Fonte: Castro, 2001, p. 29
Esta pesquisadora concluiu que é possível interferir, por meio de ensino, na evolução do funcionamento representacional dos alunos.
Castro (2001) afirma, também, que muitos erros cometidos pelos alunos possam estar relacionados à visualização no espaço. Numa primeira seqüência trabalhada pela pesquisadora, a diferença na porcentagem de acertos entre o teste diagnóstico e o pós-teste, este último realizado após a aplicação da seqüência, foi de 33,3% para 47%.
A figura 7 traz a primeira atividade da sequência didática sugerida pela pesquisadora.
Figura 7 – Atividade 1 da primeira sequência de atividades Fonte: Castro, 2001, p. 54
Segundo Castro, houve uma pequena evolução por parte dos alunos após a aplicação da sequência, apesar de ainda não ser satisfatória. Partindo disto, ela elaborou e aplicou uma segunda seqüência, onde os alunos tiveram uma evolução no que se refere à passagem do registro das n-uplas para o registro gráfico, com um índice de 70,5% de acertos.
Figura 8 – Parte da atividade 6 da segunda sequência de atividades Fonte: Castro, 2001, p. 72
Apesar de Pavlopoulou (1993) e Castro (2001) trabalharem com a Geometria Analítica tendo a mesma fundamentação teórica adotada no presente estudo, o diferencial do mesmo está em avaliar especificamente os conteúdos de retas e planos, segundo uma abordagem vetorial, além de investigar o papel do software de geometria dinâmica Cabri 3D no desenvolvimento do experimento.
O presente trabalho enfatizou conversões envolvendo o registro gráfico, pois a análise do conteúdo de vetores de dois livros didáticos de Geometria Analítica freqüentemente presentes nas referências bibliográficas dos cursos de Matemática de nosso país, realizada por Karrer e Barreiro (2009), revelou uma reduzida exploração do registro gráfico nessas obras, fato que provavelmente não favorece o estabelecimento de relações entre aspectos visuais e analíticos.
Ainda, as pesquisas de Pavlopoulou (1993) e de Castro (2001) apontaram as dificuldades dos estudantes em estabelecer conversões envolvendo o registro gráfico nos conteúdos de Geometria Analítica.
Karrer e Barreiro (2009), no referido trabalho, avaliaram o conteúdo de vetores presente em dois livros didáticos de Geometria Analítica, a obra de Boulos e Camargo (2005) e a de Steinbruch e Winterle (1987). O objetivo dessa análise consistiu em verificar como tais obras exploram os diversos registros e conversões e, especificamente, se suas abordagens favorecem o estabelecimento de relações
entre aspectos visuais e analíticos, tanto na exposição teórica como nos exercícios propostos.
Tais análises mostraram lacunas com relação à exploração de representações, principalmente quando se tratou da representação gráfica. Salienta-se que o registro gráfico de vetor foi assumido pelas autoras como aquele em que o objeto estava sendo dado em relação a um sistema de coordenadas cartesianas e, o registro geométrico, aquele em que se trabalhava com a “figura” desvinculada de um sistema de eixos.
Na análise de Boulos e Camargo (2005), cujo conteúdo de vetores é subdividido em quatro capítulos, verificou-se, na exposição teórica, a predominância dos registros simbólico-algébrico e da língua natural de uso especializado. Ainda nesta obra, foi notado que há grande exploração do registro geométrico, mas inexistência de exploração do registro gráfico.
A sessão dos exercícios propostos desta obra é permeada pelos registros da língua especializada, da língua natural, do simbólico e do geométrico. Com isso, as autoras concluíram que, nesta obra, o registro gráfico não é explorado, fato este que poderá assim dificultar a aprendizagem dos alunos em conteúdos posteriores de Geometria Analítica, nos quais são requisitadas relações entre aspectos gráficos e algébricos.
No livro de Steinbruch e Winterle (1987), o conteúdo de vetores é abordado em dois capítulos. No primeiro capítulo, os autores apresentam a introdução, os conceitos e as operações sobre vetores. São enfatizados os registros simbólico-algébrico, da língua natural e geométrico. Nos exercícios propostos deste capítulo, foi observada a predominância das conversões entre os registros simbólico-algébrico e numérico. Já no segundo capítulo, os vetores estão associados aos sistemas de coordenadas cartesianas e a partir daí, o registro gráfico passa a ser explorado. Apesar disso, os exercícios desta sessão privilegiam os tratamentos no registro numérico e conversões entre os registros simbólico e numérico. A análise deste livro apontou uma significativa diversificação de registros na parte teórica, inclusive presença do registro gráfico, porém, nos exercícios propostos, não há exploração deste registro, o que pode também acarretar em problemas nas situações em que este registro deve ser mobilizado.
Desta forma, Karrer e Barreiro (2009) concluíram que as abordagens feitas nos livros didáticos analisados não auxiliam os alunos no estabelecimento de relações entre questões algébricas e gráficas, o que provavelmente pode gerar dificuldades aos estudantes na aprendizagem de conteúdos posteriores de Geometria Analítica.
Tendo em vista a estreita relação entre Geometria Analítica e Álgebra Linear, serão apresentados, também, estudos dessa segunda disciplina.
Dorier (1990) em um de seus estudos sobre o desenvolvimento da aprendizagem, mostra as relações entre vetores e a geometria no surgimento da Álgebra Linear e, tendo como base algumas questões ligadas à Geometria Analítica, mostra que apesar da estreita relação entre a Álgebra e a Geometria, para que a Álgebra adquira sentido é preciso, em momento oportuno, separá-la da Geometria.
Bittar (1998) comprovou o mesmo, afirmando que a geometria nos ensinos fundamental e médio da França é apresentada fortemente baseada nas propriedades geométricas e que este tipo de apresentação pode provocar dificuldades nos estudantes na aprendizagem do objeto vetor como um elemento do espaço vetorial. Apesar disso, na fase de ensino da Geometria Analítica, ainda é vital que o aluno possa trabalhar com os recursos gráficos, adquirindo, assim, condições de observar as especificidades desse registro e as relações entre esses registros e os demais.
A autora analisou uma amostra de livros-textos utilizados na França, visando avaliar o que era ensinado aos alunos sobre este conteúdo e verificou que a noção de vetor era iniciada na penúltima série do Ensino Fundamental na França, sendo apresentado somente na forma geométrica.
Bittar verificou que o estudo de vetores para estudantes franceses, com faixa etária de treze e quatorze anos, consistia em ferramenta para resolução de problemas de geometria.
A figura seguinte apresenta um problema que poderia ser resolvido por meio de vetores.
Figura 9 – IREM de Strasbourg. Exercício 24, p. 216 Fonte: Machado, 2003 p. 78
A autora afirma que este tipo de exercício trabalha a mobilidade entre registros no ensino secundário. Os registros no enunciado deste exercício são o simbólico vetorial e o gráfico.
Bittar (1998) também avaliou o desempenho de estudantes universitários brasileiros e observou que tanto os estudantes franceses como os brasileiros apresentaram dificuldades semelhantes na aprendizagem sobre o objeto matemático vetor, por exemplo o equívoco dos estudantes entre as coordenadas do vetor e as coordenadas de um ponto. A autora observou que quando um problema era traduzido para a linguagem vetorial, com a utilização deste registro, o índice de erros foi menor. Em compensação, no registro simbólico-geométrico, considerado pela autora o registro que envolve uma escrita simbólica sobre uma propriedade geométrica (Exemplo: retas AB // CD), apareceram muitos erros conceituais. A pesquisadora aplicou algumas atividades com o auxílio do software Cabri-Géomètre II. A tarefa consistia em propor aos estudantes um problema, representando um vetor independentemente de sua posição no plano e no espaço, porém nenhum aluno obteve êxito na resolução e o professor teve que intervir para que eles obtivessem a solução. Bittar (1998) afirma que a dificuldade dos estudantes pode estar ligada ao fato de a conversão ser feita de modo automático, sem se refletir sobre o significado da mesma e, também, à ausência de um estudo significativo sobre os tratamentos requeridos no interior dos registros. A autora observou que a abordagem usual de vetores fica restrita a idas e voltas automáticas entre os diversos registros de representação semiótica.
As dificuldades apresentadas pelos estudantes franceses na aprendizagem de Álgebra Linear também são relatadas por Dorier (1997, 2000). Estudos desse
pesquisador constatam forte dificuldade na compreensão, por parte dos estudantes, dos funcionamentos dos conceitos de Álgebra Linear ensinados dentro dos padrões formais, e classifica esta dificuldade como obstáculo do formalismo. Uma de suas sugestões como a busca do tratamento destas dificuldades, consiste na utilização de recursos informatizados.
Celestino (2000) coletou e apresentou pesquisas sobre o ensino de Álgebra Linear na década de 90. A contribuição brasileira foi inserida no contexto das pesquisas feitas em nível mundial. O objetivo de seu trabalho foi fornecer um panorama das pesquisas realizadas por autores brasileiros sobre o ensino e a aprendizagem dessa disciplina. Segundo Celestino, a Álgebra Linear aparece ligada a diferentes domínios. Como exemplo, o autor cita os sistemas de equações lineares, a geometria, a aritmética, as transformações lineares, dentre outros.
No Brasil, uma equipe da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) realizou uma pesquisa com intenção de identificar as “disciplinas problemas” no período de 1993 a 1997. Celestino (2000) apresentou os resultados dessa pesquisa, que identificou três disciplinas neste contexto: Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica. O pesquisador constatou que a Álgebra Linear é uma das disciplinas que apresenta alto nível de reprovação (entre 25% e 50%) em três universidades nacionais: Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Universidade Estadual de São Paulo (UNESP) e Universidade de São Paulo (USP) e a Geometria Analítica também apresenta, nestas mesmas universidades, um alto índice de retenção. O autor cita que isto não acontece somente no Brasil. Dorier (1994) revela que os alunos franceses apresentam dificuldades na compreensão dos principais conceitos de Álgebra Linear e que isto interfere, também em seus aproveitamentos. Celestino (2000) fez comparações entre pesquisadores brasileiros e internacionais, detectando semelhanças sobre os resultados obtidos nas análises do ensino e da aprendizagem de Álgebra Linear, sendo que estas reforçam conclusões relevantes nesta área de pesquisa.
Dias (1995, 1998) apresenta estudos que apontam a flexibilidade cognitiva e o fenômeno da articulação dos pontos de vista paramétrico e cartesiano no tratamento das representações, em especial sobre conceitos de subespaços vetoriais, os quais desempenham um papel fundamental na aprendizagem de Álgebra Linear. Ainda, a pesquisadora alerta para que estas articulações não sejam reduzidas a aptidões do
tipo semiótico. Neste sentido, Celestino (2000) deixa registrado que, baseado nesses trabalhos, deve-se considerar a articulação entre as diferentes formas de registro durante o processo de ensino e aprendizagem de Álgebra Linear, sugerindo diretrizes para futuros trabalhos nesta área.
Cândido (2010) abordou o processo de ensino e aprendizagem de produtos de vetores da Geometria Analítica, explorando o dinamismo do software Cabri 3D, utilizando a teoria de Duval (2000, 2003, 2006) e a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003). Esse trabalho tem uma grande proximidade com o presente estudo e faz parte do mesmo projeto de pesquisa, diferenciando-se no conteúdo abordado e nos sujeitos de pesquisa. Candido (2010) teve por objetivo construir, aplicar e analisar as produções de estudantes diante de situações inovadoras sobre produtos de vetores que exploraram as relações entre os diversos registros, em especial o gráfico.
Cândido (2010) elaborou um experimento de ensino composto de nove atividades e o aplicou a dois alunos voluntários do curso de Licenciatura em Matemática de uma instituição do ensino particular de São Paulo.
As tarefas procuraram explorar principalmente conversões com gráficos, no intuito de fornecer formas adicionais de contato com o objeto vetor e, tendo por base os estudos de Pavlopoulou (1993), Castro (2001) e Karrer (2006), que revelaram que os estudantes demonstram dificuldades neste tipo de conversão.
Neste aspecto, Cândido (2010) teve por hipótese que o software Cabri 3D, por permitir o dinamismo e a exploração simultânea das representações gráfica, numérica e simbólica, representaria um farto ambiente para exploração de conjecturas e para análise experimental das propriedades dos produtos entre vetores. Ainda, uma abordagem que procurou explorar os diversos registros, provavelmente forneceria ao estudante uma visão integrada e mais ampla do conteúdo abordado.
Por exemplo, uma das tarefas aplicadas e análisadas por Cândido (2010) é apresentada na figura 10. Esta atividade teve por objetivo explorar a direção e o sentido do vetor obtido por produto vetorial de dois vetores.
Figura 10 – Análise da direção do produto vetorial. Fonte: Cândido, 2010, p. 84
Para resolver esta atividade, os estudantes realizaram conversões entre os registros gráfico, numérico e algébrico e tratamentos no registro simbólico-algébrico.
Cândido (2010) constatou que a visualização simultânea e o dinamismo do software favoreceram o estabelecimento de conversões com gráficos.
Em um aspecto mais geral, Cândido (2010) concluiu que, apesar das dificuldades detectadas nos estudantes pesquisados, principalmente com situações que envolviam o registro simbólico-algébrico, eles demonstraram evoluções nas transformações que envolviam os diversos registros. Por diversas vezes foi necessária a intervenção do professor-pesquisador, como previsto na metodologia do Design Experiment de Cobb et al. (2003), de forma a questioná-los, sem no entanto fornecer respostas diretas para suas dúvidas. Por fim, ele também destaca a possibilidade de se lidar de uma nova maneira com o objeto matemático vetor, uma vez que a abordagem por ele apresentada não é usual.
Lebeau e Schneider (2010) realizaram um trabalho sobre as equações incompletas de planos, identificando as dificuldades dos estudantes no reconhecimento deste tipo de equação. Essas autoras relataram sobre a importância de um trabalho que diversifica as representações como forma de minimizar essas dificuldades, além de uma entrada geométrica aliada à algébrica. Essa pesquisa seguiu a metodologia da engenharia didática, constituindo um primeiro ensino da
Geometria Analítica de três dimensões a alunos do ensino secundário e estudantes universitários do curso Licenciatura em Matemática.
Esta engenharia se serviu de três experimentos, compreendendo, cada um, quinze horas de aula.
O primeiro foi aplicado no último ano do ensino secundário a uma sala de alunos com dificuldades. O segundo foi aplicado em uma sala de último ano secundário, julgada heterogênea pelo professor, e o terceiro em um grupo de estudantes do primeiro ano de um curso de formação de futuros professores (licenciatura).
Destes três públicos, só o terceiro recebera um ensinamento sobre o assunto ao longo de sua passagem no ensino secundário.
Os estudantes trabalharam em grupos de quatro elementos. Neste artigo só foram avaliadas as produções dos estudantes sem interferências do pesquisador, sendo que alguns já tinham se deparado com equações incompletas de retas e/ou planos.
As dificuldades dos estudantes diante das equações incompletas de planos já tinham sido notadas por outros pesquisadores, dentre eles, Sackur et al. (2005) e Schneider (1998).
Segundo Sackur et. al (2005), as equações de plano incompletas levantam dificuldades resistentes de aprendizagem. Isto porque uma equação do primeiro grau em x e y representa uma reta em um plano munido de uma referência Oxy. Já no espaço, munido de uma referência Oxyz, ela representa um plano paralelo no eixo Oz.
Na pesquisa de Lebeau e Schneider (2010), primeiramente, foram aplicadas situações que solicitaram dos estudantes o reconhecimento de equações. Neste momento, o objetivo consistiu em avaliar os conhecimentos locais dos estudantes, fazendo-os trabalhar em pequenos grupos com a intenção de que estes observassem o fato de que uma mesma equação a duas variáveis (ou menos) no plano ou no espaço não representa um conjunto de pontos de mesma natureza. Tratou-se precisamente de fazer interpretar geometricamente conjunto de pontos a partir de suas leis, conforme apresentado a seguir.
Dê o lugar dos pontos do espaço cujas coordenadas(x,y,z) verifiquem as equações seguintes. 1. y = -3/2 x + 3 2. y = x2 3. z = y2 4. z = x2+y2
Dê alguns pontos verificando a equação, justifique suas respostas.
Quadro 3 – Reconhecimento das equações - primeira etapa Fonte: Lebeau e Schneider (2010), p. 226
Os exemplos escolhidos foram elaborados de forma a observar nos alunos a dificuldade descrita anteriormente, concernente à reinterpretação no espaço a três dimensões de equações cartesianas conhecidas no espaço de duas dimensões.
A seguir, apresenta-se a interpretação dos autores com relação às reações