Apresentação da análise da atividade 1

Para favorecer o acompanhamento da análise das produções dos estudantes, apresenta-se o quadro seguinte, o qual retoma a descrição das tarefas da atividade 1.

Na tela do Cabri são apresentadas as retas r e s. A reta r tem 1 como vetor diretor e a reta s tem 2 como vetor diretor.

Tarefa a. Qual a posição relativa entre as retas r e s? Justifique.

Tarefa b. Utilizando o comando do Cabri, verifique se as retas dadas têm ponto de intersecção. Escreva suas conclusões

Tarefa c. Utilizando seus conhecimentos sobre vetores, como você avaliaria se as retas são coplanares? Escreva suas conclusões sobre a posição relativa entre as retas r e s.

Tarefa d. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , são dadas as retas r e s de equações:

r: X=(1,-3,0)+t1(1,3,-2) e s: X= (3,5,-2) + t2 (2,6,-4) , onde Mostre, no papel, que as retas são coplanares.

Era esperado que, partindo desse conteúdo introdutório, os estudantes utilizassem a teoria de vetores para construir, de forma independente e com o apoio do software Cabri 3D, as condições vetoriais de cada posição relativa. Cabe salientar que os alunos só tinham, até o momento da aplicação, o conhecimento prévio da teoria de vetores, ou seja, o experimento representou o primeiro contato com a análise de posições relativas entre duas retas, dois planos e retas e planos.

Neste encontro, os estudantes já estavam mais à vontade, tanto com suas duplas, como com os comandos do software. Além disso, eles já requisitavam com mais freqüência o auxílio do professor-pesquisador, o qual procurava orientá-los por meio de questionamentos, sem, contudo, apresentar a resolução das tarefas, conforme prevê a metodologia dos Design Experiments.

Na tela do Cabri os estudantes encontraram a figura 42 contendo duas retas r e s e seus vetores diretores, sendo 1 o vetor diretor da reta r e 2 o vetor diretor da reta s. Salienta-se que as duas retas eram reversas, porém, aos estudantes não era dada essa informação.

Figura 42 – Figura apresentada aos estudantes na tela do Cabri 3D

Na Tarefa a, a intenção era observar se o estudante utilizava seus conhecimentos prévios sobre vetores para analisar a situação ou se ele avaliaria a posição relativa entre as retas fixando-se apenas no recurso visual. Inicialmente

todas as duplas realizaram uma análise exclusivamente visual, ou seja, todos conjecturaram que as retas poderiam ser concorrentes, tendo por base a imagem presente na figura anterior. Desta forma, foi proposta a Tarefa b.

Nesta tarefa era esperado que os alunos utilizassem o comando de intersecção do Cabri 3D, e observassem que as retas não tinham ponto comum, concluindo, assim, que uma análise superficial no registro gráfico não oferecia a real posição relativa entre as retas. Todos observaram, através do comando do Cabri 3D, que não havia ponto de intersecção e, desta forma, foi sugerida a Tarefa c. Os estudantes realizaram rapidamente as atividades relativas às tarefas a e b, sem apresentar qualquer dificuldade, conforme previsto na análise preliminar. Diante da faixa etária dos estudantes e, com base nas pesquisas de Borba (2001), que afirma que as novas tecnologias, em especial, a informática, estão cada dia mais presentes na vida dos estudantes e, ainda de Borba e Penteado (2010), que relatam o fato de que hoje em dia o indivíduo já nasce em contato com o computador, não era esperada qualquer dificuldade por parte dos estudantes nestas duas tarefas, tendo em vista que elas requeriam somente a utilização de comandos do software.

Os alunos, nesta fase, requisitavam a presença do professor-pesquisador somente para a apresentação de suas produções e não para a realização de questionamentos. Salienta-se que o material de revisão apresentado no início do experimento representou um material importante de apoio e de consulta para as três duplas.

Na Tarefa c, pretendia-se observar se os estudantes utilizariam seus conhecimentos prévios sobre vetores para verificar que as retas eram reversas. Para isso, esperava-se que os estudantes calculassem o produto misto entre os vetores 1, 2 e (sendo A um ponto da reta r e B um ponto da reta s) e verificassem que o resultado não era igual a zero. Primeiramente, todas as duplas manipularam a figura de diversas formas, mas nada concluíram. A Dupla 2, depois de aproximadamente seis minutos de discussão, solicitou a presença do professor-pesquisador e este constatou que os alunos sabiam que precisavam calcular um produto misto, conforme apresentado no trecho de um diálogo entre os estudantes dessa dupla. Eles tinham os vetores e , mas não sabiam como determinar um terceiro vetor. Diante do bloqueio da atividade, foi necessária a interferência do professor-pesquisador com o seguinte questionamento: “Qual a posição relativa entre os

vetores diretores destas retas?” A Dupla 2, neste momento já estava quase certa de que as retas eram reversas. Segue um pequeno trecho do diálogo entre os estudantes da Dupla 2 para ilustrar tal fato.

Aluno C: “a gente consegue ver que o vetor diretor da reta r está no plano, e o da reta s não está no plano, então não tem intersecção. Elas são reversas? Elas são reversas, analisando pelo ponto de intersecção, não há ponto de intersecção entre as retas.”

Professor- pesquisador: “Não há?”

Aluno D: “Não existe não, nós já pedimos o ponto para o software. Elas são reversas? Mas é estranho, será que não é algum erro, ou o ponto pode estar escondido? Professora, dois vetores não são sempre coplanares?”

O professor- pesquisador manteve-se próximo à dupla, porém sem responder a este questionamento, para não interferir no processo de construção do conhecimento. Pretendia-se observar se os estudantes concluiriam que havia a possibilidade de construir um terceiro vetor, este com origem em um ponto de uma das retas e extremidade em um ponto de outra.

Eles já estavam procurando uma maneira de provar que as retas eram reversas pelo produto misto. Faltava só outro vetor. As duplas não tinham idéia de como determiná-lo e, diante do bloqueio na resolução, o professor-pesquisador pediu a atenção dos estudantes das duplas 1 e 2, pois a Dupla 3, naquele momento, ainda não estava nesta atividade. Nesta situação, o professor-pesquisador, por meio da fala e de gestos, orientou os estudantes sobre a possibilidade de obter esse vetor a partir das retas construídas. A partir desta interferência o trabalho voltou a correr normalmente. Com isso, foi observado que os alunos apresentaram dificuldades de relacionar, de forma independente, a teoria de vetores já estudada com a análise solicitada nesta tarefa, sendo necessária a interferência do professor-pesquisador. Esse tipo de interferência é previsto na metodologia do Design Experiment em momentos de bloqueio de resolução.

Com a indicação do professor-pesquisador, os estudantes da Dupla 1 imediatamente verificaram, utilizando as coordenadas dos vetores diretores, que as retas não eram paralelas. Para isso, eles utilizaram as coordenadas dos vetores 1, 2, diretores das retas r1 e r2 respectivamente, verificando que a razão entre elas não era igual. Esta mesma dupla utilizou o comando “manipulação” e verificou, por si só,

que mesmo manipulando a construção, a razão entre as coordenadas dos vetores não era igual. Desta forma pensaram que as retas podiam ser concorrentes, e não reversas. Em seguida, esta mesma dupla procurou determinar no software o ponto de intersecção entre as retas. Como nada apareceu, estes estudantes ficaram em dúvida se estavam utilizando o comando de forma errônea ou se as retas eram reversas. Foi aí que o professor-pesquisador interferiu fazendo o seguinte questionamento: “Utilizando a teoria dos vetores, como vocês poderiam mostrar se estas retas são reversas ou concorrentes? O professor-pesquisador afastou-se da dupla para que a mesma pudesse refletir sobre essa questão e se dirigiu para as outras duplas. Estes estudantes já sabiam como criar o outro vetor para o produto misto, porém, pareciam querer esgotar todas as possibilidades de posicionamento entre as duas retas antes de recorrerem ao produto misto. Finalmente, pediram, na sequência, o produto vetorial e depois o escalar, encontrando, assim, o produto misto entre os três vetores. Como o valor encontrado foi 0,76, concluíram que as retas eram reversas, conforme ilustrado a seguir.

Figura 43 – Tela de resultado da Dupla 1da Tarefa 1 c

Os estudantes da Dupla 2, com o resultado do produto misto 0,76, também concluíram que as retas eram reversas. Procederam da mesma forma que a Dupla 1, construindo um terceiro vetor com origem em um ponto de uma das retas e extremidade em um ponto da outra reta.

Ao contrário da Dupla 1, os alunos da Dupla 3 não determinaram as coordenadas dos vetores e não avaliaram o paralelismo. Elas já pensaram no cálculo do produto misto, porém, para determiná-lo, perceberam a necessidade da obtenção de três vetores. Inicialmente a Dupla 3 construiu um plano que continha uma das retas, para construir dois vetores neste plano, conforme apresentado a seguir.

Figura 44 – Primeira estratégia adotada pela Dupla 3 na Tarefa 1 c

Apesar disso, os alunos da Dupla 3 abandonaram tal construção. O motivo desse abandono é apresentado no diálogo seguinte estabelecido pelos estudantes desta mesma dupla:

Aluno C: “...se já fizemos um plano que contém uma reta, ele não deveria conter a outra, também?”

Aluno D: “Claro que deveria, mas será que fizemos o plano contendo a reta mesmo? Tô em dúvida. Roberto, vamos fazer o produto misto, eu acho mais lógico.”

Aluno C: “vamos, mas assim tinha que dar certo, também.”

Manipularam a figura 44, mas só visualmente não concluíram nada, e, após aproximadamente quatro minutos, requisitaram o professor-pesquisador. Relataram que só tinham os dois vetores diretores da reta, sendo que precisavam de um terceiro vetor. Realizaram o mesmo questionamento da Dupla 2 a respeito de como determinar o produto misto se havia apenas dois vetores. O professor-pesquisador

pediu a atenção dos dois estudantes e, novamente simulou, por meio de gestos, duas retas no espaço e a possibilidade de obtenção por meio delas de um terceiro vetor para o cálculo do produto misto. A dúvida em como determinar esse vetor era tão significativa que o mesmo foi apelidado, pelos próprios alunos, de “terceiro vetor”. Após a intervenção do professor-pesquisador, um dos estudantes da Dupla 3 falou para seu parceiro: “é possível construir um vetor de uma reta à outra”, simulando isto no software. Os estudantes da Dupla 3, assim que construíram o terceiro vetor no software, apresentaram o seguinte relato: “ Ah! Se os vetores forem coplanares as retas também serão, não é isto professora?” Tal fato parece indicar que o recurso visual auxiliou estes estudantes a fazerem suas próprias conjecturas.

Após isso, como os estudantes já tinham realizado a familiarização no software, não houve dificuldade na determinação do produto misto entre o três vetores neste ambiente. Para isso, eles calcularam o produto vetorial entre os vetores diretores das retas e depois o produto escalar entre o resultado obtido e o vetor determinado pelos pontos escolhidos em cada reta. As três duplas concluíram sem dificuldades que as retas eram reversas, pois observaram que o produto misto era diferente de zero, ou seja, igual à 0,76.

Na Tarefa d, era esperado que os estudantes utilizassem a análise realizada no Cabri 3D em uma situação proposta no ambiente papel & lápis.

Apesar de a tarefa ser proposta no papel, a Dupla 1 simulou a situação no ambiente do Cabri 3D, efetuando uma conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico. Para isso, construiu dois vetores quaisquer e duas retas paralelas a estes vetores.

Em seguida, solicitou as coordenadas desses vetores e, por meio de recursos do software, realizou alterações das coordenadas dos vetores diretores de modo a adaptá-las ao solicitado no exercício. Depois manipulou a figura.

Como visualmente os estudantes da Dupla 1 acharam que as retas eram paralelas, porém sem a certeza disto, recorreram ao papel & lápis. Tal fato denota uma maturidade de análise, uma vez que eles não ficaram restritos ao visual.

Então no ambiente papel & lápis, a dupla fez a razão entre as coordenadas dos vetores diretores das retas r e s, dados por = (1,3,-2) e =(2,6,-4) respectivamente.

Os estudantes verificaram que a razão entre as coordenadas era uma constante, no caso 0,5 e, neste momento, concluíram que as retas eram realmente paralelas.

A figura seguinte ilustra a construção realizada pelos estudantes.

Figura 45 – Simulação no Cabri 3D da situação da Tarefa d - Dupla 1

Nesta situação, destaca-se o papel do software como ambiente propício ao estabelecimento de conjecturas no registro gráfico, as quais posteriormente seriam validadas no ambiente papel & lápis.

Ainda, observa-se que os estudantes dessa dupla não tiveram dificuldades em identificar o vetor diretor de cada reta, partindo de suas representações simbólico-algébricas, demonstrando domínio na coordenação entre os dois registros. Os alunos da Dupla 2 e da Dupla 3 não utilizaram o recurso computacional, ou seja, fizeram a atividade no ambiente papel & lápis, conforme proposto.

A Dupla 2 não verificou o paralelismo entre os vetores diretores, ou seja, partiu direto para a análise da coplanaridade por meio do produto misto entre , e um vetor , sendo o ponto A pertencente a uma das retas e o ponto B à outra.

Os alunos desta dupla afirmaram que as retas eram coplanares, pois o produto misto era igual a zero.

Figura 46 – Parte da resolução da Dupla 2 na Tarefa 1 d

Observa-se nesta produção a busca pela coordenação entre os registros geométrico, simbólico, numérico e da língua natural, o que sugere que o estudante capaz de percorrer pelos registros produz resoluções com maior qualidade. De fato, Duval (2003) cita que um trabalho de aprendizagem centrado na diversidade dos sistemas de representação, com a preocupação de explorar as conversões em duplo sentido, promove não somente o sucesso, mas também modificações na qualidade das produções dos estudantes.

A partir daí, os estudantes desta mesma Dupla 2 procuraram analisar se as retas eram concorrentes ou paralelas. Os estudantes analisaram a razão entre as

coordenadas dos vetores, como mostra a figura 47, e observando que esta era igual a 0,5, concluíram que as retas r e s eram paralelas.

Figura 47 – Complementação da produção da Dupla 2 na Tarefa 1 d

A Dupla 3 imediatamente partiu para a razão entre as coordenadas dos vetores = (1,3,-2) e =(2,6,-4) e concluiu a atividade sem dificuldades,ou seja, não analisou antes se elas eram coplanares, como mostra a figura 48.

Figura 48 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 1 d

Esta dupla apresentou pequenos problemas notacionais, uma vez que não colocou as flechas nos vetores. Observa-se que a justificativa escrita na língua natural da Dupla 3 não está relacionada com a proporcionalidade das coordenadas, mas sim com o conhecimento de que retas paralelas não têm ponto de intersecção. Desta forma a dupla não efetuou satisfatoriamente a conversão do registro numérico para o da língua natural.

Como esperado na análise preliminar da Tarefa d da atividade 1, os alunos não apresentaram muitas dificuldades, tendo em vista que exploraram o mesmo conceito no ambiente gráfico. As três duplas tiveram sucesso na resolução e conseguiram relacionar a análise realizada no ambiente Cabri 3D com a proposta no papel & lápis. Tal fato indica que os estudantes coordenaram os registros envolvidos nas duas tarefas. Bittar (1998) constatou que seus sujeitos de pesquisa apresentaram dificuldades na conversão dos registros de representação semiótica, mas foi possível observar que com o auxílio do software, estas dificuldades foram minimizadas. No presente estudo, constatou-se que o dinamismo do software contribuiu para que os alunos comparassem e estabelecessem conjecturas a respeito da posição relativa entre as retas.