Apresentação da análise da atividade 5

Tarefa a. Abra o arquivo 3 do Cabri. Nele são dados, em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , um plano perpendicular ao vetor e uma reta r paralela ao vetor . Sem utilizar coordenadas e tomando por base a teoria de vetores, procure determinar a posição relativa entre r e . Comente. Quadro 27 – Atividade 5: Posições relativas entre retas e planos (continua)

Tarefa b Partindo desta tela, que condição é necessária para que r esteja contida no plano ?

Tarefa c. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , considere um plano perpendicular ao vetor e uma reta r paralela ao vetor . Considere, ainda, um ponto A que pertence ao plano . Se quiser, construa essa situação no Cabri e, por meio de manipulações, determine as condições entre , e A para que:

a) a reta r seja paralela ao plano . b) a reta r esteja contida no plano .

c) a reta r seja concorrente com o plano .

d) a reta r seja concorrente perpendicular ao plano .

Tarefa d. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , considere a reta

e o plano : x+ 2y+ z - 1=0.

Avalie se a reta r é concorrente com o plano . Em caso positivo, como você faria para determinar o ponto de intersecção?

Quadro 27 – Atividade 5: Posições relativas entre retas e planos (conclusão)

Na Tarefa a os estudantes se depararam com a seguinte figura na tela do Cabri 3D.

Partindo dessa tela, aos alunos foi pedido para que, sem a utilização das equações do plano e da reta e tomando por base a teoria de vetores, procurassem determinar a posição relativa entre a reta r e o plano .

A Dupla 1 criou um vetor diretor da reta r, utilizando, como origem e como extremidade desse vetor, pontos distintos da reta “r”. Em seguida os estudantes da dupla aplicaram o produto escalar entre o vetor criado e o vetor , o qual é perpendicular ao plano , obtendo como resultado o número zero. Concluíram, assim, que o ângulo entre os vetores era de 90° e que, portanto, a reta r e o plano eram paralelos. Provavelmente o trabalho preliminar com a condição de ortogonalidade de dois vetores tanto na revisão de vetores como na atividade de posição relativa de duas retas favoreceu a análise da tarefa proposta. A segurança com a teoria dos vetores já se revelou bem maior neste momento do que nas atividades anteriores, mostrando que esta dupla, em especial, compreendeu o conceito referente à análise de ortogonalidade presente nas tarefas da atividade 3, sendo capaz de relacionar e aplicar esse conceito em uma nova situação.

A figura produzida pela Dupla 1 na Tarefa a da atividade 5 é apresentada a seguir.

Figura 92 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 5 a

Em seguida, os estudantes desta dupla redefiniram um ponto da reta “r” colocando-o no plano , concluindo, assim, a Tarefa b da atividade 5. Manipularam a figura por alguns segundos com o intuito de obter outros pontos de vista. Na figura seguinte é apresentada uma das telas obtidas.

Figura 93 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 5 b.

Os estudantes das duplas 2 e 3 seguiram o mesmo caminho na utilização do software, porém as suas produções escritas apresentaram diferenças, como é possível observar a seguir na análise das Tarefas 5 a e 5 b.

Nota-se que esta dupla apresentou uma boa compreensão, a qual se reflete na sua produção escrita. A figura 95 apresenta a produção da Dupla 2 para as mesmas tarefas.

Figura 95 – Produção da Dupla 2 nas Tarefas 5 a e 5 b

Primeiramente a dupla reconheceu o vetor diretor da reta r, e o vetor perpendicular ao plano α. Apesar de sucinta, a dupla apresentou uma boa produção escrita. A seguir, apresenta-se a produção da Dupla 3 para esta tarefa.

Figura 96 – Produção da Dupla 3 nas Tarefas 5 a e 5 b

Essa dupla apresentou uma produção escrita confusa. Observa-se na primeira frase que os alunos da dupla colocaram a posição relativa entre r e s e não entre r e o plano e ainda estabeleceram a igualdade entre ângulo e posição relativa entre a reta e o plano. Apesar de estes estudantes compreenderem a necessidade da ortogonalidade entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano, isso não se refletiu na sua produção escrita. Desta forma, a conversão do registro gráfico para o da língua natural não ocorreu de forma satisfatória. Duval

(2003) relata que principalmente nos níveis mais avançados de ensino, não se exploram registros multifuncionais. A análise dos livros didáticos de Geometria Analítica realizada por Karrer e Barreiro (2009) apontou a presença significativa dos registros simbólico e numérico e pouca exploração do gráfico e de conversões que envolvem este registro. É provável que tais fatores levem às dificuldades apresentadas por estes estudantes. Além disso, na segunda frase, os estudantes não concluíram corretamente a condição para que uma reta esteja contida no plano. Apesar de inicialmente relatarem que dois pontos da reta deveriam pertencer ao plano, em seguida, revelaram que pelo menos um ponto da reta deveria estar no plano, o que parecia denotar problemas na compreensão desta condição. Após a análise do diálogo estabelecido pela dupla, observou-se que ela partiu da construção em que a reta r era paralela ao plano α e, mantendo a ortogonalidade entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano, bastaria que um dos pontos dessa reta pertencesse ao plano.

Diante das dificuldades apresentadas na produção escrita, foram analisadas as produções orais provenientes do diálogo entre os estudantes da Dupla 3. Parte deste diálogo é apresentada a seguir.

Aluno E: “Ângulo entre o vetor da reta e do plano é 90°, tá vendo?” Aluno F: “ É, como o vetor do plano é perpendicular, como fica?” Aluno E: “Agora não sei. Professora!”

Neste momento o professor–pesquisador desempenhou o papel de observador, sem realizar qualquer interferência. Com isso, os estudantes prosseguiram no diálogo.

Aluno E: “Fácil, Mari você percebeu que são paralelos?” Aluno F: “Por quê?”

Aluno E: “Olha! O vetor do plano é perpendicular ao plano, mas é perpendicular ao vetor da reta também. Então são paralelos.”

Ressalta-se que além desta fala, o aluno apresenta gestos para explicar a posição relativa entre o plano e a reta.

Aluno F: “Acho que enxerguei, mas deixa eu explicar. Ah! Claro que são, travamos (sic) aqui à toa se eles são perpendiculares, claro...”

O diálogo estabelecido para a resolução da Tarefa 5 b é apresentado a seguir.

Aluno F: “Se eu tenho um ponto que pertença à reta e ao plano serão secantes? Pega o material (neste momento se referiam ao material de “familiarização”). Roberto vamos pensar, a reta e o plano são paralelos, não são? Então, olha aqui, se puser um ponto da reta no plano a reta vai todinha (sic) para o plano, tá vendo?”

Aluno E: “Claro, basta arrastar o ponto.”

Aluno F: “ Será que o Cabri, arrasta? Se não, usa “redefinição”. Aluno E: “É, acho que é mais lógico redefinir.”

A tela seguinte apresenta a figura da Dupla 3 para ilustrar a conclusão destes estudantes na Tarefa 5 b.

Figura 97 – Tela apresentada pela Dupla 3 da Tarefa 5 b.

Na tarefa c desta atividade, a Dupla 1 utilizou o software, como sugerido no enunciado. Construiu a situação no Cabri 3D conforme apresentado na figura 98.

Figura 98 – Construção apresentada pelos estudantes da Dupla 1 na Tarefa 5 c, no Cabri 3D.

Primeiramente os estudantes da Dupla 1 construíram, em relação ao sistema de coordenadas cartesianas , um plano perpendicular a um vetor , contendo um ponto qualquer do espaço. Em seguida construíram uma reta r paralela ao vetor . Manipularam a figura por alguns segundos e procuraram determinar as condições entre , e A para que a reta r fosse paralela ao plano. Inicialmente “clicaram” na extremidade de um dos vetores e, segurando o mouse, tentaram experimentalmente deixar a reta r paralela ao plano . Depois, utilizando os comandos do software, pediram o produto escalar e, também, o ângulo entre os vetores e . Alterando a extremidade de um dos vetores foram tentando por cerca de três minutos, obter o ângulo de 90° e consequentemente o produto escalar igual a zero. Os alunos da Dupla 1 responderam o item c dizendo que: “para que a reta r seja paralela ao plano: “os vetores e devem ser ortogonais, ou seja produto escalar zero”. Eles comentaram o fato da não existência de ponto de intersecção, inclusive pedindo este ponto por meio do software. Somente após esta constatação concluíram este item da Tarefa c, conforme apresentado na seguinte figura 99.

Figura 99 – Sequência 1 da apresentação pela Dupla 1 da Tarefa 5c item a.

Salienta-se que no software Cabri 3D o ato de arrastar o mouse não traz a mesma precisão do comando de redefinição de objeto.

Para que a reta r ficasse contida no plano , os alunos da dupla redefiniram um ponto da reta r, colocando-o como coincidente com o ponto A do plano , conforme tela apresentada a seguir.

Figura 100 – Sequência 2 da apresentação pela Dupla 1 da Tarefa 5 c item b.

Apesar de na Tarefa 5 c observarem a condição de paralelismo entre reta e plano, não partiram desta condição no Cabri 3D. Eles verificaram que bastaria que

um ponto da reta pertencesse ao plano, uma vez que a reta e o plano já eram paralelos. Na produção escrita da Tarefa c, cometeram um erro de notação, ou seja, denominaram os pontos por letras minúsculas. São apresentadas a seguir as produções escritas da Dupla 1 dos itens a e b da Tarefa 5 c.

Figura 101 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 5 c, itens a e b

No item c da Tarefa c eram solicitadas as condições entre os vetores e para que a reta r fosse concorrente com o plano α. A tela da figura 102, apresentada a seguir, mostra a reta r interceptando o plano α. Para obter essa situação, os estudantes simplesmente redefiniram a extremidade do vetor , fazendo com que o ângulo entre e deixasse de ser 90° e, consequentemente, o produto escalar ficasse diferente de zero.

No item d da Tarefa c eram pedidas as condições entre os vetores e para que a reta r ficasse concorrente perpendicular ao plano α. Eles simplesmente redefiniram a extremidade do vetor colocando-o sobre o vetor , conforme mostra a tela a seguir.

Figura 103 – Sequência 4 da apresentação pela Dupla 1 do item d da Tarefa 5 c

São apresentadas a seguir as produções escritas da Dupla 1 nos itens c e d da Tarefa c.

Figura 104 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 5 c, itens c e d

Observando a produção escrita da dupla no item c da Tarefa c, é possível notar que, apesar de a mesma analisar corretamente a condição de concorrência no Cabri 3D eliminando a ortogonalidade entre e , ela não soube efetuar a

conversão para a língua natural escrita, uma vez que registrou que os vetores e deveriam pertencer a planos diferentes para que a reta r se tornasse concorrente com o plano . Novamente, observa-se a dificuldade da dupla em expor suas conclusões na língua natural escrita, partindo da analise gráfica.

Os elementos da Dupla 2 foram extremamente sucintos, quase não utilizaram o software, não houve uma sequência de telas como a realizada pela dupla anterior, como pode ser conferido na produção escrita presente na figura 105.

Figura 105 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 5 c

Eles descreveram o ponto A como sendo um ponto da reta e não do plano, mas no diálogo estabelecido notaram esse equívoco e, por este motivo, incluíram na produção escrita a observação de que o ponto A que consideraram pertencia à reta. O pouco que utilizaram do software foi para responder o item b e para isto utilizaram o plano de referência, como apresentado na figura 106, e, também os vetores de referência.

Figura 106 – Tela apresentada pela Dupla 2 no item b da Tarefa 5 c

Neste aspecto, a dupla já não necessitava do software para obter as conclusões solicitadas. Observa-se que ela teve uma preocupação maior em diferenciar reta paralela ao plano e reta contida no plano, por meio da análise do ponto A da reta.

Pode-se notar uma produção escrita correta, que procurou usar a simbologia matemática para expressar as condições solicitadas.

A discussão da dupla é apresentada a seguir.

Aluno C – “O que tem a ver o ponto A aqui, para que a reta r seja paralela ao plano, pra mim, basta que os vetores sejam perpendiculares, não vamos nem usar isto aqui (se referindo ao software).”

Aluno D – “Acho que para ser paralela não pode pertencer ao plano (estavam se referindo a reta r e ao plano α). Ichi!(sic) do jeito que respondemos (produção escrita), o ponto A é um ponto da reta e não do plano.”

Aluno C – “Escreve uma observação aí e dizendo que o ponto A pertence à reta.”

A Dupla 2, como esperado na análise preliminar, recorreu mais ao conhecimento sobre vetores do que ao software para desenvolver esta tarefa.

Isto pode ter ocorrido graças ao trabalho anterior no ambiente computacional. Pelas análises das tarefas anteriores foi possível observar que os estudantes da

Dupla 2 possuíam facilidades em coordenar representações de diversos registros, apresentando produções detalhadas e com qualidade.

Duval (2003) afirma que um aluno que possuiu a capacidade de percorrer entre os registros apresenta produções com maior qualidade.

Como já dito anteriormente, a única dupla que apresentou uma sequência de telas foi a Dupla 1.

As duplas 2 e 3 raramente utilizavam o software, recorrendo aos seus conhecimentos sobre vetores para determinar as posições relativas entre retas e planos.

Na sequência, apresenta-se a tela construída pela Dupla 3 para a resolução dessa tarefa.

Figura 107 – Tela apresentada pela Dupla 3 na Tarefa 5 c

A produção escrita desta dupla foi feita somente na linguagem natural, ou seja, ela não utilizou representações algébricas ou gráficas, conforme observa-se na figura a seguir.

Figura 108 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 5 c

Apesar de confusa e com problemas na escrita, a produção do item a revela que a dupla concluiu que para que r seja paralela ao plano α, é necessário que os vetores e sejam perpendiculares. No item b os estudantes da dupla relataram a necessidade de dois ou mais pontos da reta pertencerem ao plano, porém, não explicaram como fazer isto por meio do software nem levaram em conta que a reta r já era paralela ao plano α. Os itens c e d foram resolvidos de maneira satisfatória.

A Tarefa d da atividade cinco referia-se a um exercício para ser resolvido no ambiente papel & lápis. São dadas as equações de uma reta r na forma paramétrica e a equação de um plano α, sendo solicitado ao estudante avaliar se a reta r era concorrente ao plano ou não e, caso fosse, eles deveriam apresentar o ponto de intersecção.

Os estudantes da Dupla 1 determinaram o produto escalar e, notando que era diferente de zero, concluíram que a reta era concorrente ao plano. Em seguida, escreveram a equação simétrica da reta r e, partindo dela, determinaram as equações reduzidas deixando as variáveis x e y em função de z. Substituíram os

dados encontrados na equação do plano α, encontrando, assim, o ponto P de intersecção entre eles, conforme mostra a figura a seguir.

Figura 109 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 5 d

A Dupla 2 apresentou um procedimento semelhante, verificou o produto escalar e em seguida substituiu as equações paramétricas da reta, dadas em função de t, na equação do plano, encontrando o mesmo ponto P determinado pelos estudantes da Dupla 1. Segue a resolução apresentada por eles.

Figura 110 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 5 d

A resolução apresentada pela Dupla 3 é muito semelhante com as duas apresentadas anteriormente, ela somente se preocupou em indicar que, para obter a intersecção entre a reta e o plano, deveria realizar um sistema linear com as equações.

Nota-se que ela não apresentou a indicação do ponto de intersecção obtido, apenas achou os valores de suas coordenadas.

Figura 111 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 5 d

Nesta produção, nota-se que os estudantes concluíram equivocadamente que a reta r não era concorrente ao plano α, mas em seguida determinaram o ponto de intersecção. Tal fato revela que resolveram o problema sem estabelecer relações entre a análise da posição relativa e a determinação do ponto de intersecção.

No geral, observa-se que todos os estudantes não apresentaram dificuldades em obter o ponto de interseção, ou seja, eles sabiam que deveriam substituir as equações reduzidas ou paramétricas da reta na equação do plano. Possivelmente, isto ocorreu devido à revisão feita pelo professor-pesquisador sobre sistemas, e

também à resolução anterior de tarefas semelhantes, como por exemplo as presentes na atividade 2.