UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO MARIA DE FÁTIMA DOS SANTOS MONTEIRO LEMKE

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

MARIA DE FÁTIMA DOS SANTOS MONTEIRO LEMKE

RETAS E PLANOS NA GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL:

UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES DE REGISTROS

SEMIÓTICOS COM O AUXÍLIO DE UM SOFTWARE DE GEOMETRIA

DINÂMICA

SÃO PAULO

2011

MARIA DE FÁTIMA DOS SANTOS MONTEIRO LEMKE

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

RETAS E PLANOS NA GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL:

UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES DE REGISTROS

SEMIÓTICOS COM O AUXÍLIO DE UM SOFTWARE DE GEOMETRIA

DINÂMICA

Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Monica Karrer.

SÃO PAULO

2011

L571r Lemke, Maria de Fátima dos Santos Monteiro. Retas e planos na Geometria Analítica Espacial: uma

abordagem envolvendo conversões de registros semióticos com o auxílio de um software de geometria dinâmica / Maria de Fátima dos Santos Monteiro Lemke – São Paulo: ,2011.

248f.;Il.; 30cm.

Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática.

Orientadora: Profa Dra. Monica Karrer

1. Retas e Planos 2. Registros de Representação Semiótica 3. Cabri 3D 4. Design Experiments I. Título.

CDD: 372.7

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos

Assinatura: ____________________________________ Local e Data: ___________________________________

René Descartes (1596-1650)

À Professora Doutora Monica Karrer, pelo trabalho de orientação desenvolvido com dedicação, empenho e amizade.

Ao Professor Doutor Luiz Gonzaga Xavier de Barros pelas contribuições, sugestões e críticas que ajudaram neste trabalho.

Ao Professor Doutor Marcos Antonio Santos de Jesus que aceitou o convite para participar da banca fornecendo importantes contribuições.

Aos Professores Doutora Tânia Maria Mendonça Campos e Ruy Pietropaolo pela iniciativa de fornecerem um curso de excelência no país e proporcionarem um ambiente agradável a todos os estudantes.

Aos professores do Programa de Ensino de Pós-Graduação em Educação

Matemática da UNIBAN-SP, por todo o incentivo dado durante o curso, em especial,

ao Professor Doutor Ubiratan D´Ambrósio e ao Professor Doutor Vincenzo

Bongiovanni pelos materiais que muito beneficiaram este estudo.

Aos estudantes voluntários da Instituição Etep Faculdades de São José dos Campos, que contribuíram no desenvolvimento do Design Experiment.

Aos meus pais, os quais forneceram apoio e estímulo na condução da pesquisa.

Ao meu companheiro que sempre me incentivou nas horas difíceis.

Em especial às minhas filhas que em todos os momentos me incentivaram, demonstrando compreensão, carinho e respeito pelo trabalho.

Este estudo refere-se ao processo de ensino e aprendizagem de retas e planos no R3 segundo uma abordagem vetorial, sendo tais conteúdos desenvolvidos na disciplina de Geometria Analítica da maioria dos cursos de ciências exatas. Esta pesquisa foi baseada no referencial teórico dos registros de representação semiótica de Duval (2000, 2003, 2006) e teve por objetivo, elaborar, aplicar e analisar situações sobre retas e planos no R3, explorando a relação entre seus diversos registros, com foco no registro gráfico. Para as conversões com gráficos, foi utilizado o recurso computacional Cabri 3D. A metodologia do Design Experiment de Cobb et al. (2003) norteou a elaboração e a condução desse experimento de ensino, o qual foi realizado nos ambientes papel & lápis e Cabri 3D. As situações foram aplicadas a seis estudantes do curso de Engenharia de uma Instituição Particular de Ensino Superior da cidade de São José dos Campos, no estado de São Paulo. Os resultados revelaram que, na maioria das atividades propostas, os sujeitos relacionaram, de forma independente, conhecimentos prévios de vetores com as tarefas de retas e planos, estabelecendo, de forma satisfatória, análises partindo do registro gráfico e relações entre representações provenientes de diferentes registros. Foram observadas dificuldades pontuais dos sujeitos em situações que envolviam o registro simbólico-algébrico. O software adotado representou um ambiente de motivação e favoreceu o estabelecimento de conversões pouco usuais no ensino, permitindo, por meio da elaboração e validação experimental de conjecturas, contatos diferenciados com os objetos matemáticos presentes no experimento.

Palavras-chave: Retas e Planos. Registros de Representação Semiótica. Cabri 3D. Design Experiments.

This study refers to the teaching and the learning of lines and plans, using a vector approach in the R3 space, topic studied in Analytical Geometry in the majority exact science courses. This research was referenced on Duval’s theory of Register of Semiotics Representation (2000, 2003, 2006) and aimed to prepare, apply and analyze situations about lines and plans in R3, exploring the relationship between its several registers, focusing on the graphic register. For conversions with graphic, the computational resource Cabri 3D was used. The Design Experiments Methodology developed by Cobb et al. (2003) has directed this teaching experiment, which was performed in the environments paper & pencil and Cabri 3D. The situations were applied to six students from the Engineering Course of a private college in the city of São José dos Campos, in the state São Paulo. The results have shown that, in most proposed activities, the individuals have related, in an independent way, previous vector knowledge with the activities of lines and plans, establishing, in a satisfactory manner, analysis based on the graphic register and relationship between convenient representations from different registers. Punctual difficulties were observed in situations that involved the symbolic-algebraic register. The software adopted has represented a motivating environment and collaborated for the establishment of unusual conversions in education, allowing, by means of the elaboration and experimental validation of conjectures, differentiated contacts with the mathematical objects presented in the experiment.

Keywords: Lines and Plans. Semiotics Representation Registers. Cabri 3D. Design

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO... 22

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA... 25

2.1 TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA... 25

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E DESCRIÇÃO DO SOFTWARE... ₃₁

3.1 REVISÃO DE LITERATURA REFERENTE À EXPLORAÇÃO DOS DIVERSOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA... 31

3.2 REVISÃO DE LITERATURA REFERENTE À INSERÇÃO DE RECURSO COMPUTACIONAL NO ENSINO... 49

3.3 O SOFTWARE CABRI 3D... 53

4 DESCRIÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO ... 57

4.1 APRESENTAÇÃO HISTÓRICA... 57

4.2 OS OBJETOS MATEMÁTICOS “RETAS E PLANOS” NOS LIVROS DIDÁTICOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA... 60

4.2.1 Reta no R3_{... 62}

4.2.2 Plano no R3_{... 63}

5 SUJEITOS, MÉTODOS E MATERIAIS... 66

5.1 CARACTERIZAÇÃO DOS SUJEITOS... 66

5.2 MÉTODO... 66 5.2.1 A proposta de estudo... 66 5.2.2 Problema de pesquisa... 67 5.2.3 Objetivos da pesquisa... 67 5.2.4 Variáveis... 68 5.2.5 Hipóteses de pesquisa... 68 5.2.6 Delineamento da pesquisa... 69

5.3 MATERIAIS E AMBIENTE DE TRABALHO... 72

5.4 PROCEDIMENTOS... 73

5.5 ATIVIDADES... 73

5.6 APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES... 83

5.6.1 Atividade 1 – Análise da posição relativa entre duas retas (parte 1).... 83

5.6.2 Atividade 2 – Análise da posição relativa entre duas retas (parte 2).... 86

5.6.3 Atividade 3 – Ângulo entre retas... 91

5.6.4 Atividade 4 – Posições relativas entre dois planos... 97

5.6.5 Atividade 5 – Posições relativas entre retas e planos... 100

6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DO DESIGN... 106

6.1 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO... 107

6.2 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE 1... 116

6.2.1 Introdução... 114

6.2.2 Apresentação da análise da atividade 1... 115

6.2.3 Conclusão da análise da atividade 1... 125

6.3 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE 2... 127

6.3.1 Introdução... 127

6.3.2 Apresentação da análise da atividade 2... 127

6.3.3 Conclusão da análise da atividade 2... 141

6.4 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE 3... 143

6.4.1 Introdução... 143

6.4.2 Apresentação da análise da atividade 3... 143

6.4.3 Conclusão da análise da atividade 3... 158

6.5.1 Introdução... 161

6.5.2 Apresentação da análise da atividade 4... 161

6.5.3 Conclusão da análise da atividade 4... 171

6.6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE 5... 173

6.6.1 Introdução... 173

6.6.2 Apresentação da análise da atividade 5... 174

6.6.3 Conclusão da análise da atividade 5... 191

7 CONCLUSÃO... 193

7.1 SINTESE DAS ETAPAS DA PESQUISA... 193

7.2 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 195

7.2.1 Análise das hipóteses do estudo... ₁₉₅

7.2.2 Análise da questão de pesquisa... ₂₀₁

7.2.3 Os papéis desempenhados pelos sujeitos de pesquisa... 202

7.2.4 O papel do recurso computacional no desenvolvimento do experimento... ₂₀₂

7.2.5 Perspectivas para novas investigações... 203

REFERÊNCIAS... 204

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Exemplo de Conversão... 27

Figura 2 – Exemplo de conversão – PAVLOPOULOU (1993, p. 84)... Fonte: Duval, 2000, p.64 32 Figura 3 – Registros de representação do objeto vetor no plano... Fonte: Castro, 2001, p. 21 33 Figura 4 – Registros de representação do objeto vetor no plano... Fonte: Castro, 2001, p. 22 33 Figura 5 – Exercício 1 do teste diagnóstico... Fonte: Castro, 2001, p. 28 34 Figura 6 – Exercício 2 do teste diagnóstico... Fonte: Castro, 2001, p. 29 34 Figura 7 – Atividade 1 da primeira sequência de atividades... Fonte: Castro, 2001, p. 54 35 Figura 8 – Parte da atividade 6 da segunda sequência de atividades... Fonte: Castro, 2001, p. 72 36 Figura 9 – IREM de Strasbourg. Exercício 24, p. 216... Fonte: Machado, 2003 p. 78 39 Figura 10 – Análise da direção do produto vetorial... Fonte: Cândido, 2010, p. 84 42 Figura 11 – Retas: da concorrência ao paralelismo... 50

Figura 12 – Tela do software Calc 3D... 52

Figura 13 – Retas concorrentes a um plano... 53

Figura 14 – Produtos entre vetores... 54

Figura 15 – Comando para construção de uma reta paralela a um vetor .. 55

Figura 16 – Comando para construção de um plano perpendicular a um vetor ... 55

Figura 17 – Exemplo de construção no Cabri 3D de posição relativa entre planos e retas... 56

Figura 18 – Equação vetorial da reta... Fonte: Venturi (2009), p. 187

62 Figura 19 – Plano definido por dois pontos e um vetor... Fonte: Venturi 2009, p. 158

63 Figura 20 – Exercício com o registro gráfico... Fonte: Venturi (2009), p. 170

64

Figura 21 – Apresentação da tela da atividade 1... 84

Figura 22 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 1 c... 85

Figura 23 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 2 b... 88

Figura 24 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 2 d... 90

Figura 25 – Redefinição da extremidade de um vetor para a obtenção de retas paralelas... 90

Figura 26 – Ângulo entre retas e vetores... 93

Figura 27 – Arquivo 2 para resolução da Tarefa 3 c... 94

Figura 28 – Análise da perpendicularidade entre retas... 95

Figura 29 – Arquivo 3 para resolução da Tarefa 3 e... 96

Figura 30 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 3 d com o auxílio do software... 97

Figura 31 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 4 b... 99

Figura 32 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 4 d... 100

Figura 33 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 4 f... 101

Figura 34 – Arquivo 3 da Tarefa 5 a... 102

Figura 35 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 5 a... 103

Figura 36 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 5 b... 103

Figura 37 – Análise dos itens a, b, c e d da Tarefa 5 c... 104

Figura 39 – Manipulação da tela pela Dupla 2... 111

Figura 40 – Tela apresentada pela Dupla 2, depois da utilização do comando redefinição... 111

Figura 41 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 a... 113

Figura 42 – Figura apresentada aos estudantes na tela do Cabri 3D... 116

Figura 43 – Tela de resultado dda Tarefa 1 c... 119

Figura 44 – Primeira estratégia adotada pela Dupla 3 na Tarefa 1 c... 120

Figura 45 – Simulação no Cabri 3D da situação da Tarefa d - Dupla 1... 122

Figura 46 – Parte da produção da Dupla 2 na Tarefa 1 d... 123

Figura 47 – Complementação da produção da Dupla 2 na Tarefa1 d ... 124

Figura 48 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 1 d... 124

Figura 49 – Tela apresentada pela Dupla 1 Tarefa 2 a... 128

Figura 50 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 2 a... 129

Figura 51 – Tela apresentada pela Dupla 2 na Tarefa 2 a... 130

Figura 52 – Tela apresentada pela Dupla 3 na Tarefa 2 a... 131

Figura 53 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 2 a e 2 b... 132

Figura 54 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 2 c... 134

Figura 55 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 2 c... 135

Figura 56 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 2 c... 136

Figura 57 – Sequência de telas apresentada pela Dupla 2 na Tarefa 2 d e e... 137

Figura 58 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 2 f... 138

Figura 59 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 2 f... 139

Figura 61 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 3 a... 144

Figura 62 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 3 a... 144

Figura 63 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 3 a... 145

Figura 64 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 a... 145

Figura 65 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 3 b... 146

Figura 66 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 3 b... 146

Figura 67 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 b... 147

Figura 68 – Arquivo no Cabri 3D para resolução da Tarefa 3 c... 147

Figura 69 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 3 d... 151

Figura 70 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 3 d... 152

Figura 71 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 d... 153

Figura 72 – Tela apresentada aos estudantes na Tarefa 3 e no Cabri 3D.... 154

Figura 73 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 3 e... 155

Figura 74 – Tela apresentada pela Dupla 3 na Tarefa 3 e... 155

Figura 75 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 3 f... 156

Figura 76 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 3 f... 157

Figura 77 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 3 f... 158

Figura 78 – Sequência de telas apresentada pela Dupla 1 nas Tarefas a e b... 162

Figura 79 – Produção da Dupla 1 nas Tarefas 4 a e 4 b... 163

Figura 80 – Tela apresentada pela Dupla 2 nas Tarefas 4 a e 4 b... 164

Figura 81 – Produção da Dupla 2 nas Tarefas 4 a e 4 b... 165

Figura 82 – Produção da Dupla 3 na Tarefas 4 a e 4 b... 165

Figura 83 – Sequência de telas das Tarefas a e b apresentada pela Dupla 3... 166

Figura 84 – Produção da Dupla 1 da Tarefa 4 c ... 167

Figura 85 – Produção da Dupla 2 da Tarefa 4 c ... 167

Figura 86 – Produção da Dupla 3 da Tarefa 4 c ... 168

Figura 87 – Tela da Tarefa 4 d apresentada pela Dupla 1... 169

Figura 88 – Produção da Dupla 1 nas Tarefas 4 d, 4 e e 4 f... 169

Figura 89 – Produção da Dupla 2 nas Tarefas 4 d, 4 e e 4 f... 170

Figura 90 – Produção da Dupla 3 nas Tarefas 4 d, 4 e e 4 f... 170

Figura 91 – Arquivo 3 – Tela apresentada aos estudantes no Cabri 3D... 174

Figura 92 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 5 a... 175

Figura 93 – Tela apresentada pela Dupla 1 na Tarefa 5 b... 176

Figura 94 – Produção da Dupla 1 nas Tarefas 5 a e 5 b... 176

Figura 95 – Produção da Dupla 2 nas Tarefas 5 a e 5 b... 177

Figura 96 – Produção da Dupla 3 nas Tarefas 5 a e 5 b... 177

Figura 97 – Tela apresentada pela Dupla 3 da Tarefa 5 b... 180

Figura 98 – Construção apresentada pelos estudantes da Dupla 1 na Tarefa 5 c, no Cabri 3D... 180

Figura 99 – Sequência 1 da apresentação pela Dupla 1 da Tarefa 5 c item a... 181

Figura 100 – Sequência 2 da apresentação pela Dupla 1 da Tarefa 5 c item b... 181

Figura 101 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 5 c, itens a e b... 182

Figura 102 – Sequência 3 da apresentação pela Dupla 1 da Tarefa 5 c item c... 182

Figura 103 – Sequência 4 da apresentação pela Dupla 1 da Tarefa 5 c item d... 183

Figura 105 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 5 c... 184

Figura 106 – Tela apresentada pela Dupla 2 na Tarefa 5 c, item b... 185

Figura 107 – Tela apresentada pela Dupla 3 na Tarefa 5 c... 186

Figura 108 – Produção da Dupla 3 na Tarefa 5 c... 187

Figura 109 – Produção da Dupla 1 na Tarefa 5 d... 188

Figura 110 – Produção da Dupla 2 na Tarefa 5 d... 189

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Exemplo de tratamento... 27

Quadro 2 – Coordenação entre sistemas de representação semiótica... Fonte: Passoni, 2002, p.12 29 Quadro 3 – Reconhecimento das equações - primeira etapa... Fonte: Lebeau e Schneider (2010), p. 22 44 Quadro 4 – Problemas de alinhamento – segunda Etapa... Fonte: Lebeau e Schneider (2010), p.24 45 Quadro 5 - Representação de um quadrado e uma pirâmide de base quadrada... Fonte: Parzysz, 1988, p. 82 48 Quadro 6 – Exemplos de registros e representações... 75

Quadro 7 – Revisão do conteúdo de vetores... 76

Quadro 8 - Introdução ao estudo de retas e planos... 80

Quadro 9 – Atividade 1: Análise da posição relativa entre retas (parte 1)... 84

Quadro 10 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 1 d... 86

Quadro 11 – Atividade 2: Análise da posição relativa entre retas (parte 2). 87 Quadro 12 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 2 c... 89

Quadro 13 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 2 f... 91

Quadro 14 – Atividade 3: Ângulo entre retas... 92

Quadro 15 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 3 b... 94

Quadro 16 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 3 d... 96

Quadro 17 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 3 f... 97

Quadro 18 – Atividade 4: Posição relativa entre planos/planos... 98

Quadro 19 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 4 c... 99

Quadro 21 – Resolução esperada do estudante na Tarefa 5 d... 105

Quadro 22 – Descrição das atividades da familiarização... 107

Quadro 23 – Atividade 1: Análise da posição relativa entre duas retas (parte 1)... 116

Quadro 24 – Atividade 2: Análise da posição relativa entre duas retas (parte 2)... 128

Quadro 25 – Atividade 3: Ângulo entre retas... 142

Quadro 26 – Atividade 4: Posições relativas entre dois planos... 161

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Primeiro exemplo de análise da congruência da atividade de

conversão... 28 Tabela 2 – Classificação dos diferentes registros com mobilização nos

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho visa apresentar um estudo referente ao conteúdo de Retas e Planos na Geometria Analítica do ensino superior, que consistiu em avaliar as produções dos estudantes diante de um experimento de ensino diferenciado sobre esta temática, construído de modo a explorar a diversidade de registros, tendo por base principal a teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2000, 2003, 2006). Além disso, teve-se a intenção de desenvolver situações no ambiente Cabri 3D, explorando, principalmente, tarefas envolvendo o registro gráfico.

Essa pesquisa fez parte de um projeto maior intitulado “Vetores, Retas e Planos no R³: uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos com o auxílio do software Cabri 3D”, que visou fazer o mesmo tipo de exploração com outros conteúdos de Geometria Analítica.

O ingresso nesse projeto deu-se em função de minha experiência docente atual, ou seja, pelo fato de ministrar aulas de Geometria Analítica e Cálculo Diferencial e Integral no ensino superior de Engenharia e Licenciatura em Matemática e Física. A pouca experiência no ensino superior, de cinco anos aproximadamente, já foi suficiente para perceber a difícil compreensão, pelos alunos, da Geometria Analítica no espaço. Estas dificuldades também foram observadas por Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006), as quais utilizaram a teoria de Duval em suas pesquisas, constatando principalmente problemas, por parte dos estudantes, em situações de exploração de relações entre os registros simbólico-algébrico e gráfico em conteúdos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, respectivamente. Ainda, Karrer e Barreiro (2009) verificaram a reduzida exploração do registro gráfico no conteúdo de vetores nos livros didáticos de Geometria Analítica frequentemente referenciados nos cursos de Licenciatura em Matemática do país.

Duval (2000) afirma que a Matemática, por si só, já possui uma complexidade cognitiva em relação às outras ciências, pois, enquanto estas podem ser baseadas na experimentação e na observação, a Matemática requer necessariamente o uso de registros semióticos. O acesso a objetos matemáticos não é possível por meios perceptivos ou instrumentais, dada a sua natureza “não real”. Segundo Duval (2000), as múltiplas representações devem ser exploradas no ensino para que o aluno possa reconhecer um objeto matemático.

Além disso, com base no estudo de Balacheff & Kaput (1996), evidenciou-se a necessidade de elaboração de pesquisas e novas abordagens que inserissem ferramentas computacionais e o uso de tecnologias. Ramal (2002) afirma que a inserção de tecnologia se tornou imprescindível nas escolas. A autora defende um novo conceito de práticas pedagógicas utilizando as diversas tecnologias. Ainda, Noss e Hoyles (1996) colocam a relevância da utilização dos recursos computacionais visando obter vantagens pedagógicas, pois os mesmos são capazes de permitir novas formas de promover conhecimentos.

Esses pesquisadores indicaram a necessidade de elaboração de pesquisas que gerassem abordagens diferenciadas de ensino integrando recursos computacionais, permitindo o trabalho com diferentes maneiras de lidar com os conteúdos ministrados.

Desta forma, o objetivo desse trabalho consistiu em elaborar, aplicar e analisar situações sobre retas e planos no R3, explorando a relação entre seus diversos registros, com foco no registro gráfico e no uso de uma ferramenta de geometria dinâmica.

Com base nas constatações de Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006) apresentadas anteriormente, as conversões em duplo sentido entre os registros algébrico e gráfico foram exploradas nesse experimento, no sentido de permitir formas adicionais de contato com o objeto matemático em questão.

Teve-se por hipótese que o uso da diversidade de representações semióticas, de um recurso computacional e, em especial, da atividade de conversão, auxiliaria o estudante a perceber as características dos objetos matemáticos na especificidade do registro utilizado, a determinar relações entre representações de diversos registros desse conteúdo e a estabelecer análises partindo do registro gráfico. Pelas características do Cabri 3D, que proporciona um trabalho com conversões pouco usuais, destacando-se aí aquelas existentes entre o registro gráfico e os demais, esperava-se que o sujeito desenvolvesse compreensões distintas das comumente obtidas nas intervenções tradicionais desse conteúdo.

Desta forma, definiu-se neste contexto a seguinte questão de pesquisa:

Em que aspectos uma abordagem sobre retas e planos no R3, elaborada com a preocupação de explorar a diversidade de registros nos ambientes papel & lápis e

Cabri 3D, influencia na compreensão deste conteúdo por parte dos estudantes participantes desse estudo?

A seguir, serão apresentados os pontos principais de cada capítulo que compõe essa dissertação. No Capítulo 1, foi apresentada a introdução, contendo as informações básicas dessa pesquisa. No Capítulo 2, será apresentada a fundamentação teórica que embasou o presente estudo. No Capítulo 3, serão descritos a revisão bibliográfica e aspectos do software Cabri 3D. No capítulo 4, será apresentado um breve relato histórico do objeto matemático e sua caracterização no ensino atual. No capitulo 5, será apresentada a metodologia utilizada e sua relação com o presente estudo, além da descrição do experimento, acompanhado de uma análise preliminar. O Capítulo 6 conterá a análise dos dados e o Capítulo 7 a conclusão do estudo.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Para a aquisição dos conhecimentos matemáticos fez-se necessária a criação e a diferenciação entre os diversos registros de representações semióticas e a elaboração de regras para a sua utilização.

Gottlob Frege (1978), lógico e matemático alemão (1848-1925), ao elaborar os Fundamentos da Aritmética, conduziu uma discussão sobre a natureza semântica das representações semióticas, ao reconhecer mais de um tipo de representação para um mesmo objeto matemático. Frege estabeleceu uma distinção entre o sentido e a referência.

Charles Sanders Peirce (1839-1914) foi doutor em Química pela Universidade de Harvard. Ensinou Filosofia nesta instituição e na Universidade de John Hopkins. Ele foi um dos precursores da semiótica. A Semiótica Peirciana pode ser considerada uma filosofia científica da linguagem, permeada pela ciência da Fenomenologia, que Pierce afirma ser a descrição e análise das experiências do homem em sua vida, ou seja, o fenômeno é tudo que pode ser percebido pelo homem, seja real ou não.

Um pesquisador que tratou da importância da semiótica na Educação Matemática, em um sentido distinto de Peirce, foi o filósofo e psicólogo Raymond Duval, autor de muitos trabalhos envolvendo a psicologia cognitiva e o papel dos registros de representação semiótica para a apreensão do conhecimento matemático. Sua principal obra é Sémiosis et pensée humaine (1995).

A teoria de Duval (1995, 2000, 2003, 2006) fundamentou este trabalho, mais especificamente, os seus pressupostos teóricos a respeito dos registros de representações semióticas e sobre o funcionamento cognitivo da compreensão matemática.

Duval salienta a importância do trabalho com os vários tipos de representações no ensino da Matemática. Para Duval (1995), não é possível estudar os fenômenos relativos ao conhecimento matemático sem recorrer à noção de representação.

Duval (2000) aponta uma importância primordial nas representações semióticas no desenvolvimento e na evolução da Matemática, conforme descrito a seguir.

É suficiente observar a história da matemática para ver que o desenvolvimento das representações semióticas foi condição essencial para a evolução do pensamento matemático. (DUVAL, apud MACHADO, 2003, p. 13).

A sua teoria enfatiza a importância da diversidade de registros e a articulação entre eles no ensino de conceitos matemáticos. Como exemplos de registros semióticos têm-se os registros simbólico, numérico, da língua natural, gráfico, dentre outros.

A semiótica teve origens quase simultâneas nos Estados Unidos da América, na União Soviética e na Europa Ocidental. Salienta-se que, nos Estados Unidos, Peirce é considerado o pai desta ciência.

Duval (1995) concebe a aprendizagem matemática por meio da relação entre semiosis e noesis, sendo a semiosis a apreensão ou a produção de uma representação semiótica e a noesis o ato cognitivo, como a apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou a compreensão de uma inferência. Para o autor, não há noesis sem semiosis. A capacidade de coordenar a semiótica não é uma conseqüência da conceituação. A semiose (que envolve a coordenação e a pluralidade de registros semióticos) determina o âmbito e a profundidade de campo para conceituar uma pessoa. “Semiose é intrínseca ao funcionamento do pensamento humano”1_.

A língua que falamos e que utilizamos no nosso cotidiano não pode ser a única forma de comunicação entre dois indivíduos. A comunicação pode ser feita por meio de gráficos, imagens, números, sons, dentre outras maneiras.

A Matemática possui uma complexidade cognitiva diferenciada se comparada com outras ciências, pois o acesso a um objeto matemático depende de um sistema de representação semiótica, ou seja, não é possível acessá-lo por meios perceptivos ou instrumentais, dada sua natureza “não real”. Em contrapartida, em outras

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Por Raymond DUVAL, publicado por Peter Lang Editoras - G.KUNTZ IREM (Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques) de Strasbourg. (2004)

ciências, como por exemplo, Física ou Biologia, é possível acessar um objeto por meio da experimentação ou da observação.

Para favorecer a aprendizagem e o reconhecimento de um objeto matemático, torna-se necessário o uso das múltiplas representações, provenientes de diferentes registros de representação semiótica.

Em um sistema de representação semiótica, as atividades cognitivas são classificadas como atividades de formação, de tratamento e de conversão. O sistema que permite essas três atividades é denominado, por Duval (1995), de registro de representação semiótica. Quando se faz uma transformação de uma representação para outra, pode-se fazer um tratamento ou uma conversão.

Um tratamento é uma atividade que envolve uma transformação de uma representação para outra no interior de um mesmo registro. Por exemplo, a situação seguinte ilustra um tratamento no registro numérico do objeto matemático vetor. Considerando os vetores dados em relação ao sistema de coordenadas S= , ), observa-se uma transformação no interior do registro numérico.

(-1,3,5) + (2,3,7) – (1,0,3) = (1,6,12) – (1,0,3). Quadro 1 – Exemplo de tratamento

A conversão é uma atividade em que se realiza uma transformação que produz outra representação em um registro distinto do qual se partiu. Como exemplo, apresenta-se a transformação do registro simbólico para o gráfico de um dado vetor. k j i v35 (registro simbólico) (registro gráfico)

Na visão de Duval (2003), o ensino de Matemática privilegia a atividade de tratamento. O autor justifica essa afirmação com base na diferença entre a atividade desenvolvida por matemáticos e a desenvolvida no ensino. Segundo o autor citado, do ponto de vista matemático, a conversão intervém somente para escolher o registro no qual os tratamentos a serem efetuados são mais potentes, ou para obter um segundo registro que possa servir de suporte aos tratamentos que se efetuam no primeiro registro. Por este motivo, o autor considera que a conversão não é tão privilegiada, ou seja, esta atividade não chama a atenção dos professores.

Uma conversão é dita congruente quando a transformação de uma representação para outra se faz de maneira espontânea. De acordo com Duval (1995), para que exista congruência na conversão, três condições devem ser satisfeitas: correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, uma mesma ordem possível de apreensão das unidades das duas representações e conversão de uma unidade significante de representação de partida para uma unidade significante correspondente no registro de chegada. Se pelo menos uma destas condições não acontecer, a conversão é classificada como não congruente. Há conversões que podem ser congruentes em um sentido e não congruentes no sentido oposto, o que o autor classifica como “fenômeno da heterogeneidade da congruência”

A seguinte tabela mostra exemplos fornecidos por Duval (2000) de fenômenos característicos da atividade de conversão.

Tabela 1 – Primeiro exemplo de análise da congruência da atividade de conversão

TIPO DE CONVERSÃO SISTEMA OU REGISTRO DA ESCRITA NATURAL SISTEMA SIMBÓLICO-ALGÉBRICO Conversão congruente

Conjunto de pontos com

ordenada maior que abscissa. y>x Conversão

não congruente

Conjunto de pontos cujas ordenadas e abscissas têm o

mesmo sinal.

x.y>0 Fonte: Duval, 2000, p. 632

Duval (2003) relata que, se um estudante estabelece uma conversão em um sentido, não é possível afirmar que ele terá condições de converter no sentido oposto, pois a conversão pode ser afetada pelo fenômeno da heterogeneidade.

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Pavlopoulou (1993) realizou um estudo sobre vetores que ilustrou essa afirmação. Nele, o índice de acerto em uma questão na conversão da representação do registro tabular para o gráfico foi de 0,83 e, no sentido contrário de conversão, o índice de acerto foi de 0,34.

Infelizmente, segundo Duval (2003), no ensino de Matemática não se percebe essa problemática, privilegiando-se um sentido de conversão. São pouco freqüentes os exemplos propostos aos alunos que se preocupam em explorar o duplo sentido de conversão.

Concluindo, para o autor, é necessário estabelecer uma constante coordenação entre os diversos registros matemáticos, o que é apresentado resumidamente no quadro seguinte.

Quadro 2 – Coordenação entre sistemas de representação semiótica Fonte: Passoni, 2002, p.123

O quadro 2 indica que um objeto matemático pode ser denotado por representações de sistemas semióticos distintos, sendo necessária a coordenação entre eles para compreender a matemática.

Os registros podem ser classificados com relação a sua natureza em multifuncionais ou monofuncionais. Os multifuncionais são aqueles usados para fins de comunicação em vários campos da cultura, como exemplo a língua natural e a configuração de formas. Os registros monofuncionais estão sendo utilizados com a finalidade de se obter melhores desempenhos, pois admitem tratamentos mais

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Traduzido do original em Inglês de DUVAL, 2000, composição da figura 2, p.59 e da figura 6, p.65.

algoritmizáveis. Como exemplo de registros monofuncionais, podemos citar os sistemas numéricos. O quadro seguinte, extraído de Duval (2006), contém exemplos desta classificação.

Tabela 2 - Classificação dos diferentes registros com mobilização nos processos matemáticos Representação discursiva Representação não discursiva Registros Multifuncionais:

Processo que não pode ser feito através de algoritmos Linguagem natural Associação verbal (conceitual) Raciocínio: - argumentos através de observação, crença... - deduções validadas por definições ou teoremas Plano ou perspectiva de figuras geométricas (configurações de 0, 1, 2 e 3 dimensões)

Operação e não somente apreensão perceptiva Construções com régua e compasso

Registros

Monofuncionais: A maior parte do processo feito através de algoritmos Sistema de notação: numérica (binária, decimal, fracionária...) algébrica simbólica (linguagem formal) Gráficos cartesianos mudanças de sistemas de coordenadas interpolação, extrapolação Fonte: Duval, 2006, p.34

A teoria de Duval (1995, 2000, 2003, 2006) fundamentou todo esse estudo, desde a concepção das situações até a análise dos dados coletados.

No próximo capítulo, serão apresentadas as pesquisas que compuseram a revisão bibliográfica do presente estudo, além de uma breve descrição do software Cabri 3D.

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3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E DESCRIÇÃO DO SOFTWARE

Neste capítulo serão apresentados os estudos que compuseram a revisão de literatura deste trabalho. A descrição da ferramenta computacional adotada também compõe essa seção.

3.1 REVISÃO DE LITERATURA REFERENTE À EXPLORAÇÃO DOS DIVERSOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Como primeira etapa de nossa revisão bibliográfica, foram analisados dois trabalhos relacionados ao ensino de vetores, as pesquisas de Pavlopoulou (1993) e de Castro (2001).

O estudo de Pavlopoulou (1993) sobre vetores foi realizado na França, sendo norteado pela teoria dos registros de representação semiótica de Duval.

A sua pesquisa trabalhou com os registros gráfico, simbólico e tabular do objeto matemático “vetor”, sendo observado que o grau de dificuldade dos estudantes variava ao se alterar o sentido da conversão em um mesmo tipo de tarefa.

A pesquisadora observou, ainda, que os livros didáticos com freqüência enfatizam o uso do registro simbólico, sendo que os outros registros são pouco explorados. Assim, verificou que a atividade de conversão provavelmente fica prejudicada.

A autora trabalhou, em sua pesquisa, com estudantes do primeiro ano universitário do sistema educacional francês (DEUG). Constatou que estes alunos apresentavam dificuldades de relacionar o objeto estudado com uma de suas representações. Verificou, também, desempenhos distintos nos dois sentidos da conversão.

Exemplificando, Pavlopoulou (1993) observou, em uma atividade específica, que no sentido da conversão da representação do registro tabular para o gráfico, o índice de acerto foi de 83% e, quando a mesma atividade foi aplicada no sentido contrário, o índice de acerto caiu para 34%, conforme mostra a figura 2 a seguir.

Conversão Registro de partida Registro de chegada 144 estudantes (2D Rep.) TG 1 0 k p 0 1 m 0 0.83 GT 1 0 a c 0 1 b d _0.34

Figura 2 – Exemplo de conversão – PAVLOPOULOU (1993, p. 84) Fonte: Duval, 2000, p.645

A figura 2 mostra que na conversão proposta no sentido do tabular para o gráfico, era esperado que o aluno partisse da análise dos vetores no plano (1,0), (0,1), (k,m) e (p,0), com as condições k<0, m<0 e p>0 para determinar os vetores e . Os vetores gráficos e eram identificados como os vetores (1,0) e (0,1), cabendo ao estudante identificar os vetores gráficos e , ou seja, os vetores =(k,m), com k<0 e m<0, e , =(p,0), com p>0. A maioria dos estudantes não teve dificuldades em estabelecer este tipo de conversão, uma vez que o índice de acerto foi de 83%. Já na conversão no sentido do gráfico para o tabular, com as condições, a<0, b<0, c>0 e d<0, o índice de acerto reduziu consideravelmente, o que foi justificado, pela pesquisadora, como um efeito do fenômeno da heterogeneidade da conversão. Neste contexto, quando a atividade de conversão é privilegiada, ainda é necessário verificar se os dois sentidos estão sendo explorados, uma vez que não se pode afirmar que se a mudança de registro é feita num determinado sentido, o estudante facilmente realizará a mesma atividade em sentido contrário.

Outra pesquisa analisada foi a dissertação de Castro (2001) a qual se apresenta no âmbito das investigações sobre o processo de ensino e aprendizagem de Geometria Analítica, tendo por foco a noção de vetor. Este trabalho, além de ter proximidade temática com a presente pesquisa, utiliza a mesma base teórica, ou seja, a teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2000, 2003).

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Castro (2001) partiu do trabalho de Pavlopoulou (1993) com intenção de desenvolver um estudo diagnóstico comparativo, utilizando os dados dessa tese para estudantes brasileiros. O objetivo inicial de seu estudo foi o de identificar dificuldades que uma amostra de alunos iniciantes na universidade apresentaria sobre o conceito de vetor.

Castro (2001) utilizou três categorias de registros; simbólico, gráfico e língua natural, conforme exemplificado nas seguintes figuras.

Figura 3 – Registros de representação do objeto vetor no plano Fonte: Castro, 2001, p. 21

Figura 4 – Registros de representação do objeto vetor no plano Fonte: Castro, 2001, p. 22

Ainda, sua pesquisa investigou se uma abordagem de ensino integrando representações auxiliaria no enfrentamento das dificuldades detectadas.

Estas dificuldades foram reveladas nos testes aplicados por Castro numa população de alunos de cursos de Engenharia. Os resultados indicaram que a dificuldade se concentrou na conversão em que um dos registros envolvido era o registro gráfico. Indicaram, também, ao contrário de Pavlopoulou (1993), que a dificuldade era maior quando este registro era o de chegada. Castro aplicou um teste diagnóstico com sete exercícios propostos no plano e no espaço, sendo apresentados dois destes testes trabalhados pela autora na figura a seguir.

Figura 5 – Exercício 1 do teste diagnóstico Fonte: Castro, 2001, p. 28

Figura 6 – Exercício 2 do teste diagnóstico Fonte: Castro, 2001, p. 29

Esta pesquisadora concluiu que é possível interferir, por meio de ensino, na evolução do funcionamento representacional dos alunos.

Castro (2001) afirma, também, que muitos erros cometidos pelos alunos possam estar relacionados à visualização no espaço. Numa primeira seqüência trabalhada pela pesquisadora, a diferença na porcentagem de acertos entre o teste diagnóstico e o pós-teste, este último realizado após a aplicação da seqüência, foi de 33,3% para 47%.

A figura 7 traz a primeira atividade da sequência didática sugerida pela pesquisadora.

Figura 7 – Atividade 1 da primeira sequência de atividades Fonte: Castro, 2001, p. 54

Segundo Castro, houve uma pequena evolução por parte dos alunos após a aplicação da sequência, apesar de ainda não ser satisfatória. Partindo disto, ela elaborou e aplicou uma segunda seqüência, onde os alunos tiveram uma evolução no que se refere à passagem do registro das n-uplas para o registro gráfico, com um índice de 70,5% de acertos.

Figura 8 – Parte da atividade 6 da segunda sequência de atividades Fonte: Castro, 2001, p. 72

Apesar de Pavlopoulou (1993) e Castro (2001) trabalharem com a Geometria Analítica tendo a mesma fundamentação teórica adotada no presente estudo, o diferencial do mesmo está em avaliar especificamente os conteúdos de retas e planos, segundo uma abordagem vetorial, além de investigar o papel do software de geometria dinâmica Cabri 3D no desenvolvimento do experimento.

O presente trabalho enfatizou conversões envolvendo o registro gráfico, pois a análise do conteúdo de vetores de dois livros didáticos de Geometria Analítica freqüentemente presentes nas referências bibliográficas dos cursos de Matemática de nosso país, realizada por Karrer e Barreiro (2009), revelou uma reduzida exploração do registro gráfico nessas obras, fato que provavelmente não favorece o estabelecimento de relações entre aspectos visuais e analíticos.

Ainda, as pesquisas de Pavlopoulou (1993) e de Castro (2001) apontaram as dificuldades dos estudantes em estabelecer conversões envolvendo o registro gráfico nos conteúdos de Geometria Analítica.

Karrer e Barreiro (2009), no referido trabalho, avaliaram o conteúdo de vetores presente em dois livros didáticos de Geometria Analítica, a obra de Boulos e Camargo (2005) e a de Steinbruch e Winterle (1987). O objetivo dessa análise consistiu em verificar como tais obras exploram os diversos registros e conversões e, especificamente, se suas abordagens favorecem o estabelecimento de relações

entre aspectos visuais e analíticos, tanto na exposição teórica como nos exercícios propostos.

Tais análises mostraram lacunas com relação à exploração de representações, principalmente quando se tratou da representação gráfica. Salienta-se que o registro gráfico de vetor foi assumido pelas autoras como aquele em que o objeto estava sendo dado em relação a um sistema de coordenadas cartesianas e, o registro geométrico, aquele em que se trabalhava com a “figura” desvinculada de um sistema de eixos.

Na análise de Boulos e Camargo (2005), cujo conteúdo de vetores é subdividido em quatro capítulos, verificou-se, na exposição teórica, a predominância dos registros simbólico-algébrico e da língua natural de uso especializado. Ainda nesta obra, foi notado que há grande exploração do registro geométrico, mas inexistência de exploração do registro gráfico.

A sessão dos exercícios propostos desta obra é permeada pelos registros da língua especializada, da língua natural, do simbólico e do geométrico. Com isso, as autoras concluíram que, nesta obra, o registro gráfico não é explorado, fato este que poderá assim dificultar a aprendizagem dos alunos em conteúdos posteriores de Geometria Analítica, nos quais são requisitadas relações entre aspectos gráficos e algébricos.

No livro de Steinbruch e Winterle (1987), o conteúdo de vetores é abordado em dois capítulos. No primeiro capítulo, os autores apresentam a introdução, os conceitos e as operações sobre vetores. São enfatizados os registros simbólico-algébrico, da língua natural e geométrico. Nos exercícios propostos deste capítulo, foi observada a predominância das conversões entre os registros simbólico-algébrico e numérico. Já no segundo capítulo, os vetores estão associados aos sistemas de coordenadas cartesianas e a partir daí, o registro gráfico passa a ser explorado. Apesar disso, os exercícios desta sessão privilegiam os tratamentos no registro numérico e conversões entre os registros simbólico e numérico. A análise deste livro apontou uma significativa diversificação de registros na parte teórica, inclusive presença do registro gráfico, porém, nos exercícios propostos, não há exploração deste registro, o que pode também acarretar em problemas nas situações em que este registro deve ser mobilizado.

Desta forma, Karrer e Barreiro (2009) concluíram que as abordagens feitas nos livros didáticos analisados não auxiliam os alunos no estabelecimento de relações entre questões algébricas e gráficas, o que provavelmente pode gerar dificuldades aos estudantes na aprendizagem de conteúdos posteriores de Geometria Analítica.

Tendo em vista a estreita relação entre Geometria Analítica e Álgebra Linear, serão apresentados, também, estudos dessa segunda disciplina.

Dorier (1990) em um de seus estudos sobre o desenvolvimento da aprendizagem, mostra as relações entre vetores e a geometria no surgimento da Álgebra Linear e, tendo como base algumas questões ligadas à Geometria Analítica, mostra que apesar da estreita relação entre a Álgebra e a Geometria, para que a Álgebra adquira sentido é preciso, em momento oportuno, separá-la da Geometria.

Bittar (1998) comprovou o mesmo, afirmando que a geometria nos ensinos fundamental e médio da França é apresentada fortemente baseada nas propriedades geométricas e que este tipo de apresentação pode provocar dificuldades nos estudantes na aprendizagem do objeto vetor como um elemento do espaço vetorial. Apesar disso, na fase de ensino da Geometria Analítica, ainda é vital que o aluno possa trabalhar com os recursos gráficos, adquirindo, assim, condições de observar as especificidades desse registro e as relações entre esses registros e os demais.

A autora analisou uma amostra de livros-textos utilizados na França, visando avaliar o que era ensinado aos alunos sobre este conteúdo e verificou que a noção de vetor era iniciada na penúltima série do Ensino Fundamental na França, sendo apresentado somente na forma geométrica.

Bittar verificou que o estudo de vetores para estudantes franceses, com faixa etária de treze e quatorze anos, consistia em ferramenta para resolução de problemas de geometria.

A figura seguinte apresenta um problema que poderia ser resolvido por meio de vetores.

Figura 9 – IREM de Strasbourg. Exercício 24, p. 216 Fonte: Machado, 2003 p. 78

A autora afirma que este tipo de exercício trabalha a mobilidade entre registros no ensino secundário. Os registros no enunciado deste exercício são o simbólico vetorial e o gráfico.

Bittar (1998) também avaliou o desempenho de estudantes universitários brasileiros e observou que tanto os estudantes franceses como os brasileiros apresentaram dificuldades semelhantes na aprendizagem sobre o objeto matemático vetor, por exemplo o equívoco dos estudantes entre as coordenadas do vetor e as coordenadas de um ponto. A autora observou que quando um problema era traduzido para a linguagem vetorial, com a utilização deste registro, o índice de erros foi menor. Em compensação, no registro simbólico-geométrico, considerado pela autora o registro que envolve uma escrita simbólica sobre uma propriedade geométrica (Exemplo: retas AB // CD), apareceram muitos erros conceituais. A pesquisadora aplicou algumas atividades com o auxílio do software Cabri-Géomètre II. A tarefa consistia em propor aos estudantes um problema, representando um vetor independentemente de sua posição no plano e no espaço, porém nenhum aluno obteve êxito na resolução e o professor teve que intervir para que eles obtivessem a solução. Bittar (1998) afirma que a dificuldade dos estudantes pode estar ligada ao fato de a conversão ser feita de modo automático, sem se refletir sobre o significado da mesma e, também, à ausência de um estudo significativo sobre os tratamentos requeridos no interior dos registros. A autora observou que a abordagem usual de vetores fica restrita a idas e voltas automáticas entre os diversos registros de representação semiótica.

As dificuldades apresentadas pelos estudantes franceses na aprendizagem de Álgebra Linear também são relatadas por Dorier (1997, 2000). Estudos desse

pesquisador constatam forte dificuldade na compreensão, por parte dos estudantes, dos funcionamentos dos conceitos de Álgebra Linear ensinados dentro dos padrões formais, e classifica esta dificuldade como obstáculo do formalismo. Uma de suas sugestões como a busca do tratamento destas dificuldades, consiste na utilização de recursos informatizados.

Celestino (2000) coletou e apresentou pesquisas sobre o ensino de Álgebra Linear na década de 90. A contribuição brasileira foi inserida no contexto das pesquisas feitas em nível mundial. O objetivo de seu trabalho foi fornecer um panorama das pesquisas realizadas por autores brasileiros sobre o ensino e a aprendizagem dessa disciplina. Segundo Celestino, a Álgebra Linear aparece ligada a diferentes domínios. Como exemplo, o autor cita os sistemas de equações lineares, a geometria, a aritmética, as transformações lineares, dentre outros.

No Brasil, uma equipe da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) realizou uma pesquisa com intenção de identificar as “disciplinas problemas” no período de 1993 a 1997. Celestino (2000) apresentou os resultados dessa pesquisa, que identificou três disciplinas neste contexto: Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica. O pesquisador constatou que a Álgebra Linear é uma das disciplinas que apresenta alto nível de reprovação (entre 25% e 50%) em três universidades nacionais: Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Universidade Estadual de São Paulo (UNESP) e Universidade de São Paulo (USP) e a Geometria Analítica também apresenta, nestas mesmas universidades, um alto índice de retenção. O autor cita que isto não acontece somente no Brasil. Dorier (1994) revela que os alunos franceses apresentam dificuldades na compreensão dos principais conceitos de Álgebra Linear e que isto interfere, também em seus aproveitamentos. Celestino (2000) fez comparações entre pesquisadores brasileiros e internacionais, detectando semelhanças sobre os resultados obtidos nas análises do ensino e da aprendizagem de Álgebra Linear, sendo que estas reforçam conclusões relevantes nesta área de pesquisa.

Dias (1995, 1998) apresenta estudos que apontam a flexibilidade cognitiva e o fenômeno da articulação dos pontos de vista paramétrico e cartesiano no tratamento das representações, em especial sobre conceitos de subespaços vetoriais, os quais desempenham um papel fundamental na aprendizagem de Álgebra Linear. Ainda, a pesquisadora alerta para que estas articulações não sejam reduzidas a aptidões do

tipo semiótico. Neste sentido, Celestino (2000) deixa registrado que, baseado nesses trabalhos, deve-se considerar a articulação entre as diferentes formas de registro durante o processo de ensino e aprendizagem de Álgebra Linear, sugerindo diretrizes para futuros trabalhos nesta área.

Cândido (2010) abordou o processo de ensino e aprendizagem de produtos de vetores da Geometria Analítica, explorando o dinamismo do software Cabri 3D, utilizando a teoria de Duval (2000, 2003, 2006) e a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003). Esse trabalho tem uma grande proximidade com o presente estudo e faz parte do mesmo projeto de pesquisa, diferenciando-se no conteúdo abordado e nos sujeitos de pesquisa. Candido (2010) teve por objetivo construir, aplicar e analisar as produções de estudantes diante de situações inovadoras sobre produtos de vetores que exploraram as relações entre os diversos registros, em especial o gráfico.

Cândido (2010) elaborou um experimento de ensino composto de nove atividades e o aplicou a dois alunos voluntários do curso de Licenciatura em Matemática de uma instituição do ensino particular de São Paulo.

As tarefas procuraram explorar principalmente conversões com gráficos, no intuito de fornecer formas adicionais de contato com o objeto vetor e, tendo por base os estudos de Pavlopoulou (1993), Castro (2001) e Karrer (2006), que revelaram que os estudantes demonstram dificuldades neste tipo de conversão.

Neste aspecto, Cândido (2010) teve por hipótese que o software Cabri 3D, por permitir o dinamismo e a exploração simultânea das representações gráfica, numérica e simbólica, representaria um farto ambiente para exploração de conjecturas e para análise experimental das propriedades dos produtos entre vetores. Ainda, uma abordagem que procurou explorar os diversos registros, provavelmente forneceria ao estudante uma visão integrada e mais ampla do conteúdo abordado.

Por exemplo, uma das tarefas aplicadas e análisadas por Cândido (2010) é apresentada na figura 10. Esta atividade teve por objetivo explorar a direção e o sentido do vetor obtido por produto vetorial de dois vetores.

Figura 10 – Análise da direção do produto vetorial. Fonte: Cândido, 2010, p. 84

Para resolver esta atividade, os estudantes realizaram conversões entre os registros gráfico, numérico e algébrico e tratamentos no registro simbólico-algébrico.

Cândido (2010) constatou que a visualização simultânea e o dinamismo do software favoreceram o estabelecimento de conversões com gráficos.

Em um aspecto mais geral, Cândido (2010) concluiu que, apesar das dificuldades detectadas nos estudantes pesquisados, principalmente com situações que envolviam o registro simbólico-algébrico, eles demonstraram evoluções nas transformações que envolviam os diversos registros. Por diversas vezes foi necessária a intervenção do professor-pesquisador, como previsto na metodologia do Design Experiment de Cobb et al. (2003), de forma a questioná-los, sem no entanto fornecer respostas diretas para suas dúvidas. Por fim, ele também destaca a possibilidade de se lidar de uma nova maneira com o objeto matemático vetor, uma vez que a abordagem por ele apresentada não é usual.

Lebeau e Schneider (2010) realizaram um trabalho sobre as equações incompletas de planos, identificando as dificuldades dos estudantes no reconhecimento deste tipo de equação. Essas autoras relataram sobre a importância de um trabalho que diversifica as representações como forma de minimizar essas dificuldades, além de uma entrada geométrica aliada à algébrica. Essa pesquisa seguiu a metodologia da engenharia didática, constituindo um primeiro ensino da

Geometria Analítica de três dimensões a alunos do ensino secundário e estudantes universitários do curso Licenciatura em Matemática.

Esta engenharia se serviu de três experimentos, compreendendo, cada um, quinze horas de aula.

O primeiro foi aplicado no último ano do ensino secundário a uma sala de alunos com dificuldades. O segundo foi aplicado em uma sala de último ano secundário, julgada heterogênea pelo professor, e o terceiro em um grupo de estudantes do primeiro ano de um curso de formação de futuros professores (licenciatura).

Destes três públicos, só o terceiro recebera um ensinamento sobre o assunto ao longo de sua passagem no ensino secundário.

Os estudantes trabalharam em grupos de quatro elementos. Neste artigo só foram avaliadas as produções dos estudantes sem interferências do pesquisador, sendo que alguns já tinham se deparado com equações incompletas de retas e/ou planos.

As dificuldades dos estudantes diante das equações incompletas de planos já tinham sido notadas por outros pesquisadores, dentre eles, Sackur et al. (2005) e Schneider (1998).

Segundo Sackur et. al (2005), as equações de plano incompletas levantam dificuldades resistentes de aprendizagem. Isto porque uma equação do primeiro grau em x e y representa uma reta em um plano munido de uma referência Oxy. Já no espaço, munido de uma referência Oxyz, ela representa um plano paralelo no eixo Oz.

Na pesquisa de Lebeau e Schneider (2010), primeiramente, foram aplicadas situações que solicitaram dos estudantes o reconhecimento de equações. Neste momento, o objetivo consistiu em avaliar os conhecimentos locais dos estudantes, fazendo-os trabalhar em pequenos grupos com a intenção de que estes observassem o fato de que uma mesma equação a duas variáveis (ou menos) no plano ou no espaço não representa um conjunto de pontos de mesma natureza. Tratou-se precisamente de fazer interpretar geometricamente conjunto de pontos a partir de suas leis, conforme apresentado a seguir.

Dê o lugar dos pontos do espaço cujas coordenadas(x,y,z) verifiquem as equações seguintes. 1. y = -3/2 x + 3 2. y = x2 3. z = y2 4. z = x2+y2

Dê alguns pontos verificando a equação, justifique suas respostas.

Quadro 3 – Reconhecimento das equações - primeira etapa Fonte: Lebeau e Schneider (2010), p. 226

Os exemplos escolhidos foram elaborados de forma a observar nos alunos a dificuldade descrita anteriormente, concernente à reinterpretação no espaço a três dimensões de equações cartesianas conhecidas no espaço de duas dimensões.

A seguir, apresenta-se a interpretação dos autores com relação às reações dos estudantes e suas evoluções:

“O conhecimento sobre as equações de planos no espaço foi modificado no sentido desejado. Além disso, seu caráter de necessidade apareceu em um número suficiente de estudantes para que, mais tarde durante o ano, se um estudante cometesse o erro os outros teriam a capacidade de lhe dizer: lembre-se, nós já estudamos que esta equação não pode ser a equação de uma reta. Podemos, também, abordar através desta experiência, questões relativas às regras semióticas das quais pode-se constatar nesta ocasião o quanto elas estavam longe de ser bem dominadas”.6

A segunda etapa consistiu em aplicar o alinhamento de pontos e a terceira etapa visou trabalhar a coplanaridade. Na segunda etapa foi pedido aos estudantes para encontrar três ou mais pontos alinhados.

As autoras completaram esta tarefa com outro pedido: encontrar o maior número de pontos possíveis pertencentes a certa reta determinada por dois pontos ou a certo plano determinado por três pontos e, em seguida, encontrar uma relação de todos os pontos desta reta ou deste plano.

No quadro a seguir estão descritos fragmentos das atividades da segunda e da terceira etapas do trabalho.

6

1. 1. Os pontos O(0,0,0), A(-4,2,5), B(-9,2; 4,6; 11,9) estão alinhados? Justifique sua resposta.

2. 2. Os pontos O(0,0,0), A(3,2,5), B(5,34; 3,56; 8,9) estão alinhados? Justifique sua resposta.

3. 3. Sejam os pontos O(0,0,0) e A(1,-2,3). Encontre um ponto alinhado com O e A. 4. 4. Encontre um segundo ponto alinhado com O e A, depois um terceiro.

5. Encontre todos os pontos alinhados com O e A. Justifique sua resposta. 6. Os pontos A(1,-2,1), B(-5,10,-5), C(2,9; -5,8; 2,9) estão alinhados? 7. Justifique sua resposta.

8. Os pontos A(1,2,1), B(3,4,7), C(5, 6, 13) estão alinhados? 9. Justifique sua resposta.

10. Sejam A(1,2,7) e B(-2,-4,-14), encontre um ponto alinhado com A e B, em seguida, encontre um segundo ponto alinhado com A e B. Encontrar todos os pontos alinhados com A e B.

Quadro 4 – Problemas de alinhamento – segunda Etapa Fonte: Lebeau e Schneider (2010), p.247

As pesquisadoras solicitaram situações de pontos alinhados com a origem, os quais representaram uma etapa preliminar para o posterior trabalho com casos não alinhados com esse ponto. A idéia era conduzir o segundo caso ao primeiro transladando os pontos de forma que um dentre eles coincidiria com a origem.

Lebeau e Schneider (2010) observaram que os estudantes demonstraram dificuldades quando se tratou de equações do tipo y = ax + b e x = k no R3. Observaram que os estudantes universitários pesquisados faziam interpretações corretas de equações do tipo ax+by+cz+d=0 completas. As dificuldades se apresentavam, realmente, quando faltava uma das variáveis.

Segundo Rouy (2007), a transposição do discurso teórico, pelos professores se faz de maneira específica das definições do plano e da reta em termos vetoriais, utilizando somente os aspectos julgados acessíveis aos alunos. Embora a Geometria Analítica esteja subordinada à Álgebra Linear, faz-se necessário, então, um elo importante do edifício teórico, que permite traduzir as propriedades dos vetores em termos de técnicas próprias ligadas à Geometria Analítica. Como exemplo, cita que para determinar as equações paramétricas de uma reta perpendicular a uma reta dada e passando por um ponto dado, pode ser esclarecedor estabelecer um plano de cálculo, raciocinando no caso da geometria sintética. Ainda, Rouy (2007) diz que na verdade, a maioria dos estudantes envolvidos com esta questão se apega a aspectos propriamente calculáveis,

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traduzindo indevidamente a propriedade de perpendicularidade por anulação do produto escalar sem se dar conta que fixando arbitrariamente um dos parâmetros eles arriscam de desprezar uma reta ortogonal à reta dada.

As autoras resumem esse balanço como tendendo mais para a negatividade, levando a defender uma abordagem que permita trabalhar as características cartesianas e paramétricas, sem deduzi-las à primeira vista como caracterização vetorial. Enfim, os estudantes observados neste trabalho demonstraram uma grande dificuldade em trocar de cenário, uma vez que isto se revelaria útil para a resolução do problema proposto. Os estudantes resistiram a todo discurso teórico e requeriam um tipo de retorno às fontes. Segundo Lebeau e Schneider (2010) a dificuldade encontrada aqui é tenaz, para combatê-la, não se pode contentar em dar mais uma vez as explicação conhecidas que os estudantes já ouviram no ensino secundário e já revistas no início da faculdade no ensino de tronco comum.

No projeto de Lebeau e Schneider (2010), o ponto fundamental foi esclarecer e justificar as caracterizações algébricas do sistema “Pontos, retas e planos no espaço usual de 3 D” para fazer passar os objetos desse sistema do estatuto de objetos pré construídos ou objetos trabalhados no âmbito da geometria sintética ao âmbito de conceitos da Geometria Analítica. Em uma primeira fase foram trabalhadas certas equações como regra sobre as coordenadas de pontos de um conjunto, sem se valer da semiótica nem de instrumentação, simples demonstrações dos objetos geométricos, o que fez com que os alunos não compreendessem o sentido disto.

Lebeau e Schneider (2010) não fizeram uma conclusão final sobre este assunto, apenas citaram a necessidade de uma pesquisa mais global que mostrasse a importância de se trabalhar os registros cartesiano e paramétrico sem lhes fazer resultar a primeira vista do registro vetorial. Estes autores relatam, também, que estas situações propostas aos alunos não são, em sua globalidade, situações adidáticas, mas as experiências relatadas aqui permitem entrever as possibilidades de uma atividade semiótica que estas situações oferecem. Eles perceberam que o papel desempenhado por “gestos”, em particular no momento em que os alunos conceberam um plano como uma sobreposição de retas ou como gerado pelo movimento de uma delas, foi primordial para a compreensão. Segundo estes pesquisadores, uma análise aprofundada dos gestos feitos em tais ocasiões, aliado