CONSIDERAÇÕES FINAIS

7.2.1 Análise das hipóteses do estudo

Nesta seção, com base na análise realizada, serão avaliadas se as hipóteses previstas foram ou não confirmadas, destacando as evoluções observadas nos estudantes no decorrer do experimento.

Hipótese 1. Perceber as características dos objetos matemáticos na especificidade do registro utilizado.

Com base em Duval (2003), este experimento foi concebido de forma a envolver a integração entre os diversos registros de representação semiótica. Tal fato permitiu que os estudantes tivessem contato com os objetos matemáticos de diversas formas, evidenciando suas características em cada registro utilizado. O Cabri 3D, que permitia a análise conjunta entre os registros gráfico, simbólico-algébrico e numérico, representou um ambiente favorável para essas observações. Por exemplo, na Tarefa 4 e, a maioria dos estudantes apresentou uma análise escrita detalhada do parâmetro “d” da equação ax+by+cz+d=0 de um plano,

auxiliados, possivelmente, pelo dinamismo do software em apresentar a relação entre as representações gráficas e simbólicas. Os estudantes observaram a transformação das equações do plano quando redefiniram os vetores e para que os mesmos deixassem de ser secantes e se tornassem paralelos. E, ainda, por meio da manipulação da figura, observaram que quando os planos eram paralelos entre si, o parâmetro “d” recebia um significado de distância entre os mesmos. A possibilidade de obter relações simultâneas entre registros por meio de um software de geometria dinâmica já havia sido constatada por Karrer (2006) e Candido (2010). Ainda, é possível que a utilização desse tipo de recurso possa amenizar as dificuldades com conversões envolvendo o registro gráfico constatadas por Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006).

A concepção das tarefas normalmente partia de experimentações no registro gráfico seguidas de formalizações no registro simbólico-algébrico. A importância de uma abordagem envolvendo relações entre análises gráfica e algébrica foi também apresentadas por Lebeau e Schneider (2010). Foi constatado que o trabalho no software favoreceu a organização do pensamento algébrico requerido posteriormente nas atividades propostas no ambiente papel & lápis, porém, dificuldades pontuais nos registros simbólico-algébrico e da língua natural foram observadas. Apesar disso, no decorrer do experimento, uma parte dos problemas detectados foi superada.

Por exemplo, os sujeitos da Dupla 1, na Tarefa 1 c, apresentaram, na língua natural escrita, a seguinte afirmação: “As retas apresentadas não são paralelas e não possuem ponto de intersecção, portanto são reversas. Essa conclusão é reforçada pelo produto misto entre os vetores e retas, ou seja, com o resultado diferente de zero”. Observa-se nesta afirmação uma incoerência, uma vez que um produto misto é realizado entre vetores e não entre vetores e retas. Já nas Tarefas 2 d e 2 e, os estudantes da Dupla 1 apresentaram, na língua natural escrita, a seguinte produção: “vetores diretores das respectivas retas”. Tal fato aponta para uma evolução na forma de representar na língua natural escrita. Outro exemplo de evidência de dificuldade pontual em determinado registro, ocorreu com a Dupla 3. Na Tarefa 3 b, esta dupla apresentou a seguinte representação: “r = (1,3,-2)”. Outro problema detectado nas três duplas foi referente à obtenção da reta intersecção entre dois planos na Tarefa 4 c. Os sujeitos não conseguiram fazer um

tratamento satisfatório de maneira a obter a equação da reta nas formas usuais (simétricas, paramétricas, reduzida ou vetorial). E, ainda, apresentaram dificuldades no reconhecimento das equações de retas. Neste aspecto, o professor-pesquisador identificou a necessidade de um trabalho anterior mais efetivo com as diversas representações da equação da reta, caso o experimento seja aplicado a outros grupos. Outros pesquisadores, tais como Karrer (2006) e Cândido (2010) também detectaram dificuldades em lidar com tratamentos no registro simbólico-algébrico.

Desta forma, considerando as pequenas dificuldades detectadas, principalmente nos registros escritos da língua natural e simbólico, considera-se que a Hipótese 1 foi parcialmente confirmada.

Hipótese 2. Determinar relações entre representações de diversos registros desse conteúdo.

Dada a forma como o experimento foi concebido, as relações entre as representações de diferentes registros foram estabelecidas em diversos momentos. A despeito das dificuldades ocasionais citadas anteriormente nos registros simbólico e da língua natural escrita, os estudantes frequentemente apresentaram condições de coordenar os diversos registros, revelando produções com qualidade. Neste aspecto, cita-se Duval (2003), o qual relata sobre a existência de uma relação entre a qualidade nas produções dos estudantes e a capacidade de coordenar entre os registros.

Foram observadas evoluções no estabelecimento dessas relações. Por exemplo, na Tarefa 1 c, a Dupla 3 não analisou a existência do paralelismo entre retas pela razão entre as coordenadas de seus vetores diretores e ainda apresentou problemas notacionais. Já na Tarefa 2 f, a mesma dupla, na busca de coordenar a situação com vários registros, fez a análise do paralelismo entre os vetores diretores das retas sem que isto fosse solicitado na tarefa.

Os estudantes da Dupla 1, desde o início das tarefas, recorria ao software mesmo quando este não era solicitado, efetuando conversões em duplo sentido entre os registros simbólico-algébrico e gráfico. Em particular, na Tarefa 1 d , proposta no ambiente papel & lápis, estes alunos simularam no Cabri 3D situação semelhante, para avaliar a coplanaridade de duas retas dadas. Para isso, eles

redefiniram as coordenadas de modo a encontrar as equações das retas propostas na tarefa. Em seguida, verificaram no software que as retas eram paralelas, pois a razão entre os vetores diretores era igual a 0,5. Por fim, analisaram a mesma situação no registro simbólico-algébrico, efetuando esta razão no ambiente papel & lápis, concluindo que as retas eram paralelas. Esta dupla se utilizou das diversas representações para chegar à conclusão.

A Dupla 2 foi a que apresentou melhor produção escrita. Observou-se, durante o experimento, que a mesma tinha grande habilidade em coordenar os diversos registros de representação. Como exemplo, pode-se citar a sua produção na Tarefa 5 c, na qual era necessário avaliar as posições relativas entre reta e plano, estabelecendo condições entre os vetores e (sendo um vetor normal ao plano e um vetor diretor da reta) e um ponto A pertencente ao plano. Esta dupla teve a preocupação em diferenciar a reta paralela ao plano e a reta contida no plano, por meio da análise dos vetores e e do ponto A. Ainda, ela utilizou corretamente a simbologia matemática para expressar as condições solicitadas.

Com isso, partindo-se dos dados analisados durante o experimento, é confirmada a Hipótese 2.

Hipótese 3: Estabelecer análises partindo do registro gráfico.

Na aplicação das primeiras atividades, como, por exemplo, na Tarefa 1a, foi observado que os estudantes focaram suas conclusões somente nos aspectos visuais do software, sem estabelecer uma análise vetorial da situação. Por exemplo, para relatarem que as retas eram concorrentes, fixaram-se apenas na imagem do Cabri 3D, a qual “sugeria” a existência de um ponto de intersecção. Como essas retas não tinham esse ponto comum, na tarefa seguinte os estudantes perceberam que cometeram um equívoco por se limitarem apenas ao aspecto visual e não a uma análise gráfica. A partir dessa constatação, todos os estudantes passaram a adotar uma posição mais cautelosa em suas análises, recorrendo a recursos que não se limitavam ao pólo do visto, ou seja, buscaram o pólo do sabido, na concepção de Parzisz (1988). O conflito entre o visto e o sabido desencadeou uma evolução nos sujeitos. Isto pôde ser constatado, por exemplo, na Tarefa 3 e. Os estudantes das duplas 1 e 2, que em tarefas anteriores se prenderam apenas ao aspecto visual, na

Tarefa 3 e, apresentaram uma análise vetorial partindo do registro gráfico para avaliar se as retas eram ortogonais. Além de fazerem uma manipulação para um reconhecimento da situação, construíram um terceiro vetor com origem em uma das retas e extremidade em outra e depois verificaram que o produto misto entre esse vetor e os vetores e (diretores das retas r e s, respectivamente) era diferente de zero, concluindo que as retas eram reversas. Em seguida, determinaram o produto escalar entre os vetores 1 e 2 para avaliar a ortogonalidade das retas. Tal fato revela uma evolução por parte das duplas, refletindo uma maturidade de análise partindo do registro gráfico. A evolução dos estudantes da Dupla 2 já havia sido notada anteriormente, especificamente na Tarefa 3 d, na qual relacionaram satisfatoriamente os resultados obtidos pela teoria de vetores com a posição relativa das retas, tanto no registro da língua natural escrita como no gráfico. De uma forma geral, observou-se que as duplas apresentaram evoluções representacionais durante o processo das experimentações. Desta forma, as evidências observadas indicam a confirmação da Hipótese 3, ou seja, os alunos foram capazes de estabelecer análises partindo do registro gráfico.

Hipótese 4. Fazer conjecturas no ambiente Cabri 3D.

O caráter dinâmico do software foi fundamental para a realização deste experimento, pois favoreceu a independência e autonomia dos estudantes na construção do conhecimento. Todas as duplas buscaram constantemente elos entre aspectos visuais e algébricos. Cândido (2010) também observou que, com a utilização deste software, os estudantes demonstraram independência em suas construções. Tais evidências coincidem com a afirmação de Ramal (2002), relativa ao fato de que a utilização da tecnologia pode incentivar o entusiasmo e a autonomia nos estudantes.

Na presente pesquisa, notou-se que os estudantes não se prenderam apenas às tarefas estipuladas. Eles frequentemente buscaram investigar questões não previstas no experimento, como, por exemplo, na Tarefa 4 d, na qual a Dupla 3 observou que, se os planos forem paralelos, somente o parâmetro “d” da equação ax+by+cz+d=0 modifica. Isto aconteceu pelo fato de estes estudantes poderem observar os registros gráficos e algébricos simultaneamente. Salienta-se que este

tipo de exploração não aconteceria sem o auxílio do software de geometria dinâmica.

Nas Tarefas 2 d e 2 e, os estudantes mostraram habilidade na articulação das representações, auxiliados pelo ambiente do software. As duplas conjecturaram que, redefinindo a extremidade de um dos vetores diretores da reta para fora do plano de referência, as retas passariam de coplanares para reversas. Ao efetuar isso no software, puderam contemplar a mudança do produto misto de zero para um número diferente de zero, validando experimentalmente suas conclusões. Essa manipulação dinâmica no registro gráfico também não seria possível no ambiente papel& lápis.

Salienta-se a facilidade com que os estudantes elaboraram a Tarefa 5 c, relativa à análise das posições relativas entre reta e plano, utilizando o software para a simulação das questões. Estes estudantes construíram um plano perpendicular a um vetor , e uma reta r paralela ao vetor . Em seguida, eles puderam, por meio de manipulações nos vetores e , realizar conjecturas sobre as possíveis posições relativas entre a reta r e o plano . Cabe ressaltar que as análises ocorreram sem a necessidade de interferência do professor-pesquisador.

Destaca-se, ainda, que devido à faixa etária dos estudantes, estes apresentaram facilidade com os comandos do Cabri-3D. Tal fato pode ser justificado por Borba e Penteado (2010), ao relatarem que atualmente os indivíduos têm contato com a tecnologia desde muito cedo, sendo ela parte integrante da vida.

Diante das evidências apresentadas, confirma-se a Hipótese 4

Hipótese 5. Desenvolver compreensões distintas das comumente obtidas nas intervenções tradicionais desse conteúdo.

A forma como o experimento foi conduzido e o trabalho no ambiente computacional contribuíram para que os estudantes procurassem, sem a interferência do professor-pesquisador, construir seus conhecimentos por meio de estratégias diferenciadas. Observa-se que as intervenções do professor-pesquisador foram pontuais, principalmente na forma de questionamentos ou institucionalizações.

Notou-se a importância da utilização do software para o desenvolvimento de compreensões distintas das normalmente obtidas no ensino atual. De fato, Balacheff e Kaput (1996) relatam que a utilização do computador pode evidenciar