CAPÍTULO 4: AS ATIVIDADES E SUAS ANÁLISES
4.4 AS ATIVIDADES E SUAS ANÁLISES PRÉVIAS E A POSTERIORI
como ensinar melhor ou com mais significado a demonstração em Geometria. Todavia, objetivamos que as atividades propostas contribuam para que os professores de Matemática do Ensino Fundamental desenvolvam suas habilidades de
argumentação matemática e, desta forma, ampliem seus conhecimentos acerca da demonstração em Geometria.
Buscamos, nessas atividades, desenvolver, principalmente, as funções de
explicação e sistematização da demonstração sugeridas por De Villiers (2001;
2002) e esperávamos que algumas descobertas pudessem ser sinalizadas pelos professores, fomentando a função de descoberta sugerida por este pesquisador.
Acreditamos que um trabalho com professores, no que diz respeito às funções da demonstração, poderá contribuir na superação da problemática apresentada. É importante, entretanto, que os professores percebam que, por meio da demonstração, eles podem explicar o porquê de determinada afirmação ser verdadeira e, perceber também, que, através dela, pode descobrir novas propriedades, novos conceitos ou novas características relacionadas à afirmação em questão. Neste contexto, consideramos o obstáculo epistemológico destacado por Arsac (1988), ou seja, que a evidência da figura não é uma validação matemática.
Nesse sentido, acreditamos que o caminho, aquele que não vai das hipóteses à tese, não linear deverá ser o mais natural a ser seguido pelos professores em formação continuada, visto que parece estar mais próximo do trabalho do matemático ao se propor a descobrir e/ou validar novos resultados. Esses aspectos foram considerados na formação continuada que desenvolvemos, pois o objetivo não é repetir o curso que eles tiveram (se o tiveram) e esperamos, com isso, ampliar a autonomia do professor participante, contribuindo para minimizar suas angústias com relação ao trabalho com demonstrações e sua implementação na sala de aula de Matemática.
Com base nos trabalhos de Duval (2003), a conversão de registros de representação semiótica: linguagem natural, linguagem simbólica e linguagem figural serão focadas na seqüência de atividades; desta forma, esperamos que os professores utilizem e incorporem esse recurso na compreensão e demonstração de propriedades matemáticas.
A opção por construir a definição de mediatriz de formas equivalentes teve duas intenções: a primeira diz respeito à ruptura (com esses professores) de que um mesmo objeto matemático pode ser caracterizado de formas equivalentes, promovendo um debate sobre esse tema, discutindo inclusive que existem formas não
equivalentes de definir o mesmo objeto. Esta foi uma variável didática31 importante nesse trabalho. A segunda intenção é a de perceber como esses professores trabalharão com hipóteses e teses dentro desse contexto, ou seja, o que os professores usarão como justificativas. Nossa hipótese é que demonstrações circulares (uso da tese para demonstrar a tese) ocorrerão.
Tal escolha pode possibilitar aos professores a vivência do papel das definições dentro da matemática, inclusive de poder estabelecer diferença entre
definição e propriedade. Em momento posterior estes professores poderão eleger
uma delas, ou, até mesmo, optar por trabalhar com as duas, deixando clara sua opção, para que fique muito bem colocada no estatuto das definições e teoremas o uso do objeto geométrico mediatriz de um segmento.
Após a construção da definição e eleição da propriedade, será possível perceber a disponibilidade do objeto geométrico na solução de problemas de construção geométrica ao terem que justificar matematicamente as construções realizadas usando a definição ou a propriedade inerente a ele.
Fazendo referência a Duval e Egret (1989), ao defender que a aprendizagem da demonstração trata de um discurso diferente do que é praticado pelo pensamento natural, propusemos tarefas de organização dedutiva e posterior redação da demonstração, algumas delas no registro da língua natural. Nesse momento, focamos, também, a função de sistematização proposta por De Villiers (2001; 2002). Além disso, como nossos sujeitos são docentes, privilegiamos, em grande medida, as tarefas heurísticas32 por acreditarmos, sobretudo, em um trabalho que pode desenvolver a autonomia dos professores participantes dessa formação.
Apresentamos, a seguir, a seqüência das 12 atividades que foram elaboradas e aplicadas, juntamente com as análises prévias que contemplam os objetivos, as respostas esperadas, os comentários didáticos, e as respectivas análises a posteriori.
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A variável didática mencionada é “forma de definir”, que consiste em definir de formas diferentes (nesse caso diferente e equivalente) o mesmo objeto matemático; o valor dessa variável é que existe mais de uma forma de definir e que nossa escolha foi por uma definição equivalente.
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ATIVIDADE 1: CONSTRUINDO UMA DEFINIÇÃO
a) Trace um segmento AB33 qualquer no papel que recebeu. b) Faça uma dobradura, de modo que A e B coincidam.
c) Chame de “m” a reta representada pelo vinco deixado no papel e trace esta reta.
d) Que relações você pode fazer entre o segmento AB e a reta m? e) A partir dessas relações como você definiria a reta m?
Análises prévias
Essa atividade tem como objetivo obter uma definição de mediatriz de um segmento, ou seja, que os professores participantes definissem a reta “m”, como a reta que passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a ele, reconhecendo-a como a mediatriz do segmento.
Nossas previsões eram que os professores, após a realização do solicitado nos itens “a”, “b” e “c”, respondessem:
d) A reta “m” intercepta o segmento AB no seu ponto médio e é perpendicular a esse segmento.
e) A reta “m” é a reta que passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a ele, tal reta é chamada mediatriz do segmento.
Esperávamos que as verificações fossem realizadas de forma empírica (por exemplo: usando os instrumentos de Desenho Geométrico e/ou dobraduras). Destacamos que, a nossa experiência como professor da disciplina Desenho Geométrico nos ajudou a conceber essa atividade. A idéia de usar dobradura poderia permitir um maior envolvimento dos professores com a atividade e possibilitar que eles destacassem pontos importantes da definição do objeto matemático em questão, além de construir a definição de mediatriz.
Se entendermos esse processo de manipulação – fazer dobraduras – como um registro de representação semiótica, o qual chamaremos de registro material34, ________________
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Neste trabalho, ao nos referirmos ao segmento de extremidades A e B, usaremos AB, segmento AB ou segmento AB. E a sua medida será denotada apenas por AB.
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Não encontramos nos trabalhos de Duval, que consultamos, informações sobre a existência de tal registro de representação semiótica, porém notamos que este possui as características que um registro de representação semiótica exige (ver p. 29).
percebemos que, nesse registro, identificamos o objeto matemático mediatriz, por meio do tratamento dobrar – verificando que a reta passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento –, que só é possível nesse registro material, os professores fariam a conversão para o registro em língua natural da definição de mediatriz. Notamos que, apesar de termos uma figura – registro figural –, esse registro de representação semiótica, possui outras potencialidades, nos revelando mais, ao vislumbrarmos tratamentos por meio de dobraduras.
Optamos por não dar a definição de mediatriz, mas de construí-la, de modo a resgatar seu papel e suas características (existência e unicidade). As definições dadas pelos grupos seriam colocadas na lousa para provocar, nesse momento, algum tipo de debate. Assim, o formador coordenaria as discussões e institucionalizaria a definição de mediatriz com o grupo.
Análise a posteriori
Todos os participantes se envolveram na atividade e relataram com os seus pares as suas observações. Em um primeiro momento, foi pedido para trabalharem em grupo, e, em seguida, fez-se uma discussão, socializando as respostas. Notamos que os participantes não estavam acostumados a construir definições e apresentavam antecipações relativas a seus conhecimentos prévios, embora apenas dois participantes tenham desenhado o segmento AB na posição não vertical. Os relatos que seguem servem de ilustração.
Maria: Ela é a mediatriz (ao se referir à reta m). Angélica: m é a mediatriz.
Outros participantes seguiam as orientações da atividade sem fazer antecipações.
Mirtes: É perpendicular e passa pelo meio. José: m AB⊥ .
Eva: m divide o segmento AB em duas partes iguais formando um ângulo de 90°. José: Não seriam quatro ângulos de 90°?
Essa discussão de formar um ou quatro ângulos retos também ocorreu em outro grupo. Nesse momento o formador interrompeu e perguntou: O que são retas perpendiculares?
Renato: Um?
Carlos: Se forma um então formam quatro.
Formador: Não precisava justificar, já está implícito na definição e escreve: AB é perpendicular à reta m é equivalente a ângulo formado por AB e m mede 90°. Os grupos chamam o ponto de intersecção entre a reta m e o segmento AB de M, e iniciam a busca de relações solicitadas no item “d”.
Mirtes e José: MA=MB.
Rute: Posso dizer que A é imagem de B. Maria: A é simétrico de B em relação à reta m.
Notamos que houve alguma discussão nos grupos quanto a própria palavra “relação” que constava no item “d”, ficando a dúvida se dizer que m era mediatriz fosse a relação que o formador esperava.
Todos realizaram as atividades propostas nos três primeiros itens e desenharam a figura esperada.
Conhecimentos prévios aparecem no trabalho em grupo durante a realização do item “e” da atividade, como por exemplo:.
Maria: Todos os pontos da mediatriz são eqüidistantes das extremidades.
Joana: A reta m é o lugar geométrico de todos os pontos eqüidistantes a dois pontos fixos que são as extremidades do segmento.
Após todos encontrarem uma definição para a reta m, em seus grupos, o formador interrompe para fazer a socialização das respostas apresentadas na atividade, perguntando: Como vocês podem justificar as relações que fizeram?
Eva: Dobrei o papel, ficou um em cima do outro, logo é ponto médio e o ângulo é de 90°, logo é perpendicular.
Joana: A dobradura justifica o ponto médio e o perpendicularismo. Como já sabia que a reta é a mediatriz, posso afirmar que os pontos são eqüidistantes das extremidades.
Sueli: Poderia definir por lugar geométrico (essa professora chegou atrasada nesse encontro e não tinha participado da construção).
Pelas falas das professoras Eva e Joana foi possível notar a potencialidade do
registro de representação material, pois elas fizeram os tratamentos possíveis
nesse registro, ou seja, dobrar o papel para verificar a existência do ponto médio e a perpendicularidade que não seria possível ser construída apenas no registro figural.
Grupo 1: m é uma reta perpendicular ao segmento AB que divide em duas partes iguais e denominamos m mediatriz de AB .
Grupo 1: m é uma reta perpendicular ao segmento AB que passa por M (ponto médio de AB ), denominamos essa reta de mediatriz de AB .
Grupo 2: m é o eixo de simetria de todos os pontos do segmento AB, isto é, cada ponto de AB terá um simétrico em relação a m. Chamamos m de mediatriz do segmento AB.
Grupo 3: Dado o segmento AB, traçamos uma reta perpendicular a AB , passando pelo ponto médio de AB , define-se o lugar geométrico de todos os pontos eqüidistantes às extremidades do segmento dado.
A professora Paula questionou a definição apresentada pelo grupo 2 dizendo: Será que não é necessário explicar o que é eixo de simetria?
O formador deixou a questão em aberto, explicando que, no futuro, eles é que fariam a escolha pela definição mais adequada.
Sabemos, entretanto, que o eixo de simetria é definido a partir da mediatriz de um segmento e, sendo assim, a definição apresentada pelo grupo 2 seria circular. Esse aspecto não foi discutido com o grupo de professores nesse momento.
Com relação à definição apresentada pelo grupo 3, o formador foi construindo passo a passo na lousa:
Dado o segmento AB.
A M B
A B
Marcando o ponto médio M.
A M B
Construindo a reta perpendicular por M (Figura 4).
Figura 4: Mediatriz de um segmento
E perguntou: Será que eu preciso de tudo isso para definir a reta m? Para definir o que precisa?
Carlos: O necessário, não precisa ficar repetindo e nem falar a mais.
Embora não se tenha decidido qual definição seria adotada, podemos perceber o quanto foi importante para os professores essa atividade de construção de definição, para que, no futuro, ela possa ser utilizada de forma consistente. A atividade contribuiu, também, para que os professores se tornassem mais autônomos,
de modo a perceber que as definições em matemática podem ser construídas e, até mesmo, questionadas.
O formador ainda comentou que esse tipo de trabalho poderia ser realizado com os alunos para que eles pudessem decidir, também, que definição adotar.
Percebemos que os conhecimentos prévios dos professores, a respeito de mediatriz de um segmento, não representaram obstáculo para a construção da definição. Eles perceberam que não podiam definir a mediatriz como lugar geométrico baseados nas relações que eles fizeram a partir da dobradura.
Concordando com Buffet (2003), podemos concluir que foi importante construir as definições em matemática, pois os professores realizaram inferências e destacaram o que seria fundamental para caracterizar o objeto matemático mediatriz de um segmento. Nesse sentido, esperamos que o conceito de mediatriz de um segmento tenha sido ampliado e, como uma ferramenta, seja utilizada para resolver problemas futuros. E afirmamos que esta atividade contribuiu significativamente para a construção de uma definição em matemática.
ATIVIDADE 2: FORMULANDO UMA CONJECTURA
a) Marque um ponto P (P diferente do ponto médio do segmento AB) sobre a reta “m” da atividade 1.
b) Trace os segmentos PA e PB.
c) Volte a dobrar sobre a reta “m”. O que você observou?
d) Marque outros pontos sobre a reta “m” e proceda da mesma forma anterior. e) O que você observou?
f) Nessa atividade, você observou uma propriedade da mediatriz. Escreva seu enunciado.
Análises prévias
O objetivo dessa atividade é enunciar a propriedade que diz: todo ponto que pertence à mediatriz de um segmento é eqüidistante das extremidades desse segmento.
Dentre as possíveis soluções que poderiam aparecer, após os professores terem realizado o que foi solicitado nos itens “a”, “b” e “d”, destacamos:
e) Os pontos da mediatriz de um segmento eqüidistam das extremidades desse segmento.
f) Todo ponto da mediatriz de um segmento eqüidista das extremidades desse segmento.
A atividade sugere que as verificações sejam feitas de forma empírica – tratamento no registro material – e possam despertar nos professores a formulação da conjectura que diz que todo ponto da mediatriz eqüidista das extremidades do
segmento e que a possam escrever em linguagem natural. Com a conjectura
formulada, esperávamos que os professores buscassem uma justificativa para validá- la, indo além da convicção, ou seja, não ficassem só convencidos, mas procurassem saber por que tal fato ocorre, fomentando, dessa forma, a função de explicação proposta por De Villiers (2001; 2002). Acreditávamos que a troca de informações entre os professores constituía-se um momento rico, que os levasse a refutar conjecturas não precisas e a buscarem uma justificativa matemática com base na Geometria plana. O formador poderia socializar as idéias e propor (instigar) a busca de uma demonstração, a partir do debate, por meio de devolução35 dos problemas que surgirem ao grupo.
Análise a posteriori
Todos participaram ativamente da atividade e seguiram as orientações dadas na atividade.
A professora Maria antecipa, falando: “Agora vai aparecer que são eqüidistantes”.
Mirtes: Eles têm a mesma medida, são congruentes. (ao se referir aos segmentos PA e PB).
Mirtes concluiu que os segmentos PA e PB são coincidentes, porém a professora Maria chamou atenção que não, pois eles não estão no mesmo lugar, eles possuem a mesma medida. O formador intervém dizendo que, nesse caso, é melhor usar a palavra sobrepõe, em vez de coincidente.
Mirtes após verificar – registro material – que os segmentos possuem a mesma medida, já se preocupa em justificar (função de explicação segundo De
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Villiers) e pergunta a Maria: Tenho dúvida em explicar a congruência LAL, não sei qual lado posso usar. Maria explicou.
Notamos também que a função de explicação aparece na fala da professora Angélica, após ter feito o seguinte registro figural (figura 5):
Figura 5: Solução da atividade 02
Angélica: Os triângulos AMP e BMP são congruentes pelo caso LAL.
Paula: Não é preciso citar o caso de congruência uma vez que os triângulos já são congruentes.
José: Os segmentos MB e PB são congruentes?
Angélica: Não. Pois o segmento PB é hipotenusa e, portanto, maior que o cateto MB.
Percebemos, nesse momento, certa incompreensão em relação às congruências garantidas e aquelas que precisam ser verificadas. E Angélica explica aos professores: Paula, José e Eva, escrevendo:
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≡ ≡ comum é PM P Mˆ B P Mˆ A MB AM
, então os triângulos são congruentes pelo caso LAL.
Em outro grupo, percebemos a professora motivada a aplicar as atividades com seus alunos. Será que temos uma possível mudança de prática? Não podemos afirmar, porém acreditamos que as atividades estão remetendo os professores a sua sala de aula.
Joana: Imagina se não vou brincar com meus alunos com isso aqui.
Renato: Vamos fazer no Cabri, e depois é só deslizar. Ao se referir aos vários pontos.
Joana: Aí não vai dar para dobrar. Carlos: Vai dobrar a tela?
Joana: E ainda mais que não temos um computador nem para cada dupla de alunos.
Para o item “e” da atividade, os professores enunciam em seus grupos a conjectura esperada.
Mirtes: Todos os pontos estão assim, ou seja, estão a igual distância das extremidades do segmento AB.
Maria: Eqüidistam do segmento AB.
A professora Eva apresentou a construção da figura 6.
Figura 6: Solução da professora Eva
Angélica: Os pontos P’, P’’ e P’’’ são eqüidistantes das extremidades. Paula: ∀P ∈ m ⇒ dPA = dPB.
Rute, Sueli e Mirtes conversam sobre qual deverá ser a propriedade. E escrevem: Todos os pontos da reta m eqüidistam dos extremos A e B do segmento AB.
A professora Maria insiste que não são dos extremos, pontuando que a eqüidistância é em relação ao segmento, e fala: “Todo ponto do segmento AB é eqüidistante da mediatriz”, voltando à definição por simetria apresentada na atividade 1.
Realizado o item “f” da atividade, o formador inicia a socialização dos trabalhos destacando as conclusões dos grupos. Para alguns professores a sobreposição era suficiente, enquanto para outros houve a necessidade de justificar matematicamente a conjectura elaborada.
O formador inicia a discussão desenhando na lousa a figura 7 a pedido dos professores e destaca a propriedade que cada grupo elaborou, mostrando que a propriedade decorre da definição.
Embora a propriedade apresentada pela maioria dos participantes fosse a esperada, os que estavam relacionando a definição de mediatriz ao eixo de simetria tiveram dificuldade de abandoná-la:
Figura 7: Representação da conjectura
Maria e Sueli: Os pontos da reta m são eqüidistantes de qualquer par simétrico de AB em relação a m, ou seja, dado um segmento qualquer e sua mediatriz, qualquer ponto desse segmento e o seu simétrico em relação a ela eqüidistarão de qualquer ponto dessa mediatriz.
O formador propõe a discussão dessa propriedade e o grupo se manifesta: Eva: Nesse caso, percorrem-se os pontos de m e também os do segmento AB. Sueli: A eqüidistância deveria se referir não à mediatriz, mas a qualquer ponto dela.
Sueli comenta que, ao trabalhar com seus alunos, costuma enunciar as propriedades, o mais geral possível, pois acredita que devem abranger todos os casos. A seguir, o formador comenta que existem propriedades específicas que são enunciadas, em geral, para facilitar aplicações futuras e que, às vezes, uma propriedade muito geral pode não dar margem a resolver problemas.
Sueli: No caso desse enunciado, os pontos A e B seriam casos particulares, um caso de um par simétrico em relação à reta m.
Maria e Sueli ainda comentam que o uso das extremidades do segmento pode fazer o aluno não entender situações em que os pontos considerados sejam outros e exemplificam com C e C’ (figura 8).
O formador comenta que, nesse caso, m é mediatriz do segmento CC’ e, para mencionar simetria, nas condições propostas por elas, seria mais adequado falar da simetria central em vez de axial, uma vez que, a reta m não interfere nas simetrias observadas. A partir dessa discussão, as professoras não mais apresentam essa definição e assumem a definição do grupo.
O formador conclui a atividade dizendo que qualquer um dos enunciados pode ser considerado propriedade, mas o que vai tornar tais propriedades válidas são as demonstrações. Porém, o que garantirá a propriedade ser mais adequada ou não será sua aplicação na resolução de problemas.
Acreditamos que o trabalho desenvolvido nessa atividade contribuiu em grande medida na formação dos professores participantes acerca dos conteúdos geométricos, visto que eles tiveram a oportunidade não só de formular a propriedade, mas vislumbrar uma explicação de sua validade. Além disso, puderam perceber a importância da definição, pois uma das perguntas da professora Joana foi: Qual a diferença entre definição e propriedade?
Ressaltamos, ainda, que, durante essa atividade, os professores vivenciaram as fases de ação e formulação propostas pela TSD, destacando que alguns avançaram para uma validação, mesmo que de forma localizada, quando mostraram a congruência de triângulos e validaram que os segmentos PA e PB eram congruentes.
ATIVIDADE 3: DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE
a) Podemos escrever uma mesma propriedade matemática em linguagens diferentes. Em matemática, em geral, utilizamos a linguagem natural, a linguagem simbólica e a linguagem figural. Escreva a propriedade da atividade 2 nessas linguagens.
• Linguagem natural. • Linguagem simbólica. • Linguagem figural.
b) Como sabemos, no enunciado de uma propriedade ou teorema constam as