Avaliação da aprendizagem e produção de ecos pelos alunos

Em momento posterior, no dia 04 de dezembro de 2015, a professora de matemática da turma optou por incluir em sua avaliação trimestral duas questões sobre Teoria

de Grafos. Isto mostra um reconhecimento das discussões pela professora da turma e faz com que os estudantes também valorizem o conhecimento construído na perspectiva da investigação, uma vez que “os instrumentos de avaliação podem romper ou reforçar certos mitos relativos ao ensino de matemática” (SANTOS, 1997, p. 7).

Embora as questões não fossem, inicialmente, parte da pesquisa, optamos por analisa-las de modo a verificar o aproveitamento das turmas no instrumento avaliativo e compreender, por meio da questão discursiva, os ecos produzidos pelos alunos após a intervenção em sala de aula. Cada uma das questões possui duas versões, que foram colocadas em duas provas (I e II). A primeira questão sobre grafos, quarta do instrumento avaliativo, avalia por meio de cinco alternativas se os alunos conseguem retomar a definição de grau de um vértice em um grafo dado. Apesar de não serem graficamente parecidos, ambos os grafos apresentados na avaliação foram discutidos em sala, durante a resolução da lista de problemas.

Quadro 7 – Questões objetiva sobre grafos na prova trimestral de matemática.

Prova I Prova II

QUESTÃO 04 (1,5 pontos)

Analisando o grau dos vértices do grafo abaixo é correto afirmar que:

a) Apenas dois dos vértices possuem grau par. b) Todos os vértices possuem grau ímpar. c) Todos os vértices possuem grau par. d) Apenas três vértices possuem grau ímpar. e) Dois vértices possuem grau par e três possuem grau ímpar.

QUESTÃO 04 (1,5 pontos)

Analisando o grau dos vértices do grafo abaixo é correto afirmar que:

a)

a) Apenas dois dos vértices possuem grau par. b) Todos os vértices possuem grau par. c) Todos os vértices possuem grau ímpar. d) Apenas três vértices possuem grau ímpar. e) Dois vértices possuem grau par e três possuem grau ímpar.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Ao analisar o desempenho dos alunos nas questões sobre Teoria de Grafos da avaliação trimestral, percebemos que, de forma geral, 80% dos alunos acertaram a questão objetiva sobre o assunto. Essa razão chegou a 92% em umas das turmas, conforme apresentado na tabela 1.

Tabela 1 – Desempenho das turmas na questão objetiva sobre grafos.

Acertaram Erraram Total de alunos

Turma A 14 6 20

Turma B 21 2 23

Turma C 19 5 24

Total de respostas 54 13 67

Fonte: Elaborado pelos pesquisadores, 2015.

A segunda questão sobre grafos, sétima do instrumento avaliativo, retomou o Teorema dos Caminhos Eulerianos. Em uma das versões, solicitou a condição de existência do caminho euleriano aberto e, na outra versão, do caminho fechado.

Quadro 8 – Questões discursivas sobre grafos na prova trimestral de matemática.

Prova I Prova II

QUESTÃO 07(1,0 ponto)

Considerando as ideias discutidas sobre a teoria de Grafos, explique qual seria a condição para que se tenha um caminho euleriano aberto.

QUESTÃO 07 (1,0 ponto)

Considerando as ideias discutidas sobre a teoria de Grafos, explique qual seria a condição para que se tenha um caminho euleriano fechado. Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Nesta questão, 65% dos alunos enunciaram corretamente a condição, 7,7% cometeram pequenos equívocos, 19,6% não acertaram e 7,7% não responderam. Analisando somente os alunos que apresentaram alguma solução para a questão, verificamos que 79% dos estudantes conseguiram se apropriar das discussões realizadas em sala de aula. Os valores absolutos são apresentados na tabela a seguir:

Tabela 2 - Desempenho das turmas na questão discursiva sobre grafos. Acertaram totalmente Acertaram parcialmente Erraram Não responderam Total Turma A 11 1 7 1 20 Turma B 18 1 1 3 23 Turma C 15 3 5 1 24 Total 44 5 13 5 67

Fonte: Elaborado pelos pesquisadores, 2015.

Ao analisarmos qualitativamente as respostas dos alunos, percebemos que os estudantes foram capazes de produzir ecos de diferentes tipos. A seguir,

apresentamos enunciados dos alunos e os classificamos como ecos superficiais, ecos mecânicos e ecos de assimilação, de acordo com o Jogo de Vozes e Ecos (BOERO; PEDEMONTE; ROBOTTI, 1997).

A primeira categoria apresentada é a dos ecos superficiais, que são produzidos quando o aluno não consegue compreender a voz. Os ecos desse tipo podem ser reconhecidos pelo uso inadequado de termos e expressões decorrentes da voz, nas contradições e na confusão entre os conceitos. Nesta pesquisa, a exemplo do que foi observado em Sá (2014a), os ecos superficiais aconteceram principalmente no emprego da notação da Teoria dos Grafos ou na confusão entre os termos dessa teoria e os da Geometria, conforme ilustrado a seguir. À luz da teoria de Bakhtin (2008) e de Wittgenstein (1975), dizemos que este discurso se apropria, indevidamente, de outras vozes.

Figura 27 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova I.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

A confusão entre os conceitos também foi observada neste grupo de alunos. No exemplo da figura 28, o aluno não especifica o que precisa ter grau par. Além disso, o estudo afirma, equivocadamente, que “com grau ímpar, o caminho é aberto”. Na verdade, de acordo com o Teorema dos Caminhos Eulerianos, se a quantidade de vértices com grau ímpar for superior a dois, o grafo não contém caminho euleriano.

Figura 28 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova II.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Outra característica observada no conjunto de enunciados com ecos superficiais é a imprecisão dos conceitos apresentados. No caso da figura 29, por exemplo, a quantidade de vértices com grau ímpar deve ser exatamente dois, uma vez que com nenhum vértice de grau ímpar o caminho é fechado.

Figura 29 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova I.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

O segundo grupo de ecos, denominados de mecânicos por Boero, Pedemonte e Robotti (1997), acontecem quando os alunos precisam repetir ou parafrasear uma voz ou a solução correta de um exercício padrão. Em relação a Bakhtin (2008), podemos dizer que há um discurso objetivado que demonstra identificar as informações e o contexto no qual o enunciado está inserido, mas não há apropriação dessas informações e nem inserção no contexto do citado. Percebemos isso quando notamos que alguns alunos não se apropriaram do Teorema dos Caminhos Eulerianos, enunciando-o completamente quando apenas foi solicitado um de seus casos, conforme exposto a seguir (figura 30).

Figura 30 – Exemplo de eco mecânico na questão discursiva da prova I.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Os ecos de assimilação podem ser detectados quando o aluno é capaz de transferir o conteúdo e/ou método transmitido pela voz para outras situações-problemas propostas, que são parcialmente semelhantes ao que é transmitido pela voz. Com efeito, notamos que o aluno produz um discurso bivocal que evidencia a compreensão e apropriação dos enunciados anteriores. Na próxima ilustração, por mais que o aluno tenha cometido equívocos de notação, percebemos que houve um eco de assimilação em relação ao Teorema dos Caminhos Eulerianos, uma vez que ele consegue selecionar o caso solicitado, enuncia-lo parcialmente bem e ainda apresentar um exemplo simples e que difere dos apresentados em sala.

Figura 31 – Exemplo de eco de assimilação na questão discursiva da prova II.