FASE EXPLORATÓRIA

A fase exploratória, na perspectiva da pesquisa-ação, consiste em “descobrir o campo de pesquisa, os interessados e suas expectativas em estabelecer o primeiro levantamento (ou diagnóstico) do problema” (THIOLLENT, 2011, p. 56). Nesse momento, os participantes estabeleceram o principal objetivo da pesquisa, que seria viabilizar a abordagem da Teoria de Grafos no Ensino Médio.

Na perspectiva da pesquisa-ação, o tema da pesquisa é a designação do problema prático da área de conhecimento a serem abordados. Do ponto de vista da Feira de Matemática, Silva e Tomelin (2008, p. 49) destacam que a escolha do tema “deverá ocorrer por meio de um consenso entre orientador e orientando, pois, fica difícil imaginar alguém pesquisando algo que não goste” (SILVA; TOMELIN, 2008, p. 49).

Esta reflexão também dialoga com os pressupostos da pesquisa-ação apresentados em Thiollent (2011), principalmente quando o autor afirma que:

Muitos autores consideram que são apenas as populações que determinam o tema. Outros dizem que há sempre uma adequação a ser estabelecida entre as expectativas da população e as da equipe de pesquisadores. A nosso ver, deve haver entendimento. [...] Um tema que não interessar aos pesquisadores não será levado a sério e eles não desempenharão um papel eficiente (THIOLLENT, 2011, p. 60).

Percebemos que a problemática desta pesquisa não afetava diretamente os alunos participantes, uma vez que o conteúdo de Teoria de Grafos não está presente explicitamente no currículo dos alunos participantes. Nesse sentido, percebemos um distanciamento da pesquisa-ação. Contudo, ao longo do período de acompanhamento, observamos que esta situação toca esses estudantes, principalmente em função das relações que estes possuem com estudantes do sistema escolar estadual.

Embora a experiência de um dos orientadores, autor desta dissertação, fosse na pesquisa com história da matemática, o grupo passou a negociar uma abordagem metodológica, que poderia ser com aplicações da teoria, sua história ou jogos associados ao conteúdo, conforme trecho de conversa Whatsapp apresentado abaixo:

12/01/2015, 15h36 - Lauro: Boa tarde, pessoal! Como tem passado de férias? Estou escrevendo os projetos dos demais grupos. Se quiserem participar da Semana da Matemática, vocês precisam definir um tema até o fim do mês, ok? Abraços

12/01/2015, 15h53 - Elis: Ok 😉 Abraços!

12/01/2015, 15h59 - Thiago: Pode deixar, abraço!

12/01/2015, 16h00 - João: Você tem algum tema enxerga como prioritário ou mais interessante pra gente, professor?

12/01/2015, 16h00 - João: Tipo aquele de LKC e matrizes ou algum outro? 12/01/2015, 16h47 - Lauro: O interessante é que tenha algo para visualizar

e manipular...

12/01/2015, 16h47 - Lauro: LKC e LKT são mais teóricos

12/01/2015, 16h47 - Lauro: Vcs poderiam fazer um stand com teorias e aplicações de Grafos

12/01/2015, 16h48 - Lauro: Aí poderiam falar da aplicação na Física

12/01/2015, 16h48 - Lauro: Na robótica (prof. Fernando estudou isso e pode ajudar vcs)

12/01/2015, 16h48 - Lauro: E o jogo sprouts que falei da outra vez 12/01/2015, 16h52 - Elis: Show de bola. Vai ficar bem criativo 👌

12/01/2015, 16h53 - Lauro: Se quiserem falar de outra coisa também... essas foram algumas idéias que tive

12/01/2015, 17h37 - Sabrina: Blz. Vamos olhar de forma mais detalhada e decidir

28/01/2015, 17h13 - Sabrina: Ei galera. Lembrei agora q precisamos decidir logo um tema pro nosso projeto. A uns dias, li sobre aquele, e por mim, tudo bem

28/01/2015, 17h26 - Elis: Eh vdd 28/01/2015, 17h59 - Thiago: Eh vdd

28/01/2015, 19h28 - Lauro: Podemos conversar na semana que vem?

A primeira proposta de trabalho, destacada na conversa, refere-se as Leis de Kirchoff das Correntes (LKC) e das Tensões (LKT), abordadas na disciplina de Análise de Circuito de Corrente Contínua (ACCC), do primeiro ano do curso técnico em automação industrial. Outra ideia surgida foi o Sprouts, que é um jogo de lápis e papel com propriedades matemáticas, que foi inventado por John Horton Conway e Michael S. Paterson, na Universidade de Cambridge, no início dos anos de 1960. A seguir, detalhamos cada um dos assuntos cogitados.

As Leis de Kirchhoff foram criadas e desenvolvidas pelo físico Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), em 1847, sendo uma das primeiras aplicações da Teoria dos Grafos (BOAVENTURA NETTO, 2006). Curiosamente, segundo o portal MacTutor

History of Mathematics archive, Kirchhoff nasceu em 12 de março de 1824 em

Königsberg, Prússia, cidade de surgiu o problema que deu origem a Teoria de Grafos.

A Lei de Kirchhoff para Circuitos Elétricos, que mais nos interessa neste estudo, foi criada para resolver problemas de circuitos elétricos com mais de uma fonte de resistores estando tanto em série quanto em paralelo. Para criar a Lei, Kirchhoff introduziu o conceito de nó (também utilizado na Teoria de Grafos) e malha (que são os próprios Grafos). Tais conceitos dividem a lei em outras duas, enunciadas como:

Lei de Kirchhoff para Nós e Lei de Kirchhoff para Malhas11_.

Segundo a 1ª Lei de Kirchhoff para circuitos elétricos (Leis dos Nós ou Lei das Correntes – LKC), a soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula, ou seja, um nó não acumula carga (NILSSON; RIEDEL, 2003). A demonstração desta lei parte do Princípio da Conservação da Carga Elétrica, o qual estabelece que, num ponto qualquer, a quantidade de carga elétrica que chega (δQ1) deve ser exatamente igual à quantidade que sai (δQ2 e δQ3), ou seja, δQ1 =

11 _{As leis de Kirchhoff são baseadas no eletromagnetismo e só são válidas quando o tamanho da}

δQ2 + δQ3. Daí temos que, se dividirmos ambos os membros da equação por δt, I1 = I2 + I3, onde I é a corrente elétrica, conforme quadro 4.

Quadro 4 – Primeira lei de Kirchhoff. ∑ 𝑖𝑘

𝑁

𝑘=1

= 0

A partir do exemplo ao lado, temos que: I1 + I2 = I3+ I4

Sendo a corrente elétrica 𝐼 =𝛿𝑄

𝛿𝑡

Fonte: Adaptado de Nilsson e Riedel (2003).

A 2ª lei de Kirchhoff para circuitos elétricos (Lei das Malhas ou Lei das Tensões – LKT) determina que a soma algébrica da diferença de potencial elétrico (d.d.p.) ou tensão elétrica (V) em qualquer malha de um circuito é sempre nula (NILSSON; RIEDEL, 2003).

Quadro 5 – Segunda lei de Kirchhoff ∑ 𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

= 0

A partir do exemplo ao lado, temos que: V1 + V2 + V3 = V4

Sabendo que a tensão elétrica (V) é quase sempre proporcional a corrente (I), sendo a constante de proporcionalidade a resistência (R):

𝑉 𝐼 = 𝑅

Além da aplicação da Teoria de Grafos por meio das leis de Kirchhoff, o grupo de alunos cogitou a abordagem do Jogo Sprouts, que pode ser utilizado por várias pessoas, mas que normalmente é jogado por duas. No início do jogo, há uma quantidade de pontos (definida pelos jogadores) numa folha de papel. A partir de cada ponto, no máximo três linhas podem ser tiradas, unindo um ponto a outro ou a si mesmo. Depois de desenhar a curva desejada, um novo ponto é colocado ao longo da linha. Quando se desenha uma curva, não é permitido atravessar outra curva já desenhada. Assim, vence o jogador que faz a última ligação possível.

Figura 7 – Possíveis jogadas no Sprouts com 2 pontos iniciais.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Não é evidente, a partir das regras, que o jogo Sprouts sempre termina, uma vez que o número de pontos aumenta em cada jogada. Entretanto, a partir das estratégias dos jogadores, alguns pontos (vértices do grafo) podem ser inutilizados, como os dois pontos com apenas 2 ligações, no último quadro da figura 7. Ao considerar o número de oportunidades para conectar uma linha, mostramos que, se o jogo começa com n pontos, terminará com mais de 2n movimentos e menos de 3n-1 movimentos.

Sem determinar a abordagem que seria dada, o grupo de alunos optou por apresentar, no primeiro seminário, a Teoria de Grafos por meio das Leis de Kirchoff, do Sprouts e da História da Matemática.