o educador já não é o que apenas educa, mas o que, enquanto educa, é educado, em diálogo com o educando que, ao ser educado, também educa (FREIRE, 1996a, p. 39).
Nesta pesquisa, investigamos aprendizagens de alunos do ensino médio e da educação profissional durante a construção ou utilização de maquete eletrônica para ensino de grafos. Desdobramos nosso objetivo principal em objetivos específicos, que permitiram uma análise mais sistemática do processo educativo. Ao identificar aprendizagens de alunos-pesquisadores da educação profissional no movimento da pesquisa-ação, percebemos que estas ocorreram em três instâncias: (1) aprendizagens conceituais; (2) interação com as áreas de ciência e tecnologia; e (3) desenvolvimento do aluno em suas dimensões sociais e afetivas. Em relação aos conceitos, notamos que as aprendizagens referem-se a conhecimentos técnicos, como memória de micro controladores; de matemática, como combinatória, probabilidade e a própria Teoria de Grafos; e de História da Matemática. Sobre a interação entre ciência e tecnologia, concluímos que um grafo direcionado (digrafo) pode ser usado para representar as máquinas de estado finito, usadas para representar programas de computadores ou circuitos lógicos.
Quanto ao desenvolvimento dos alunos em suas dimensões sociais e afetivas observamos que durante o desenvolvimento do projeto houve diversas manifestações de afeto (curiosidade, prazer, alegria) que proporcionaram mudanças nas atitudes dos alunos (trabalho em grupo, confiança), que, por sua vez, repercutiram na forma como eles lidam com o conhecimento, de modo emancipado e autônomo. Nesse sentido, retomamos o projeto pedagógico freireano, que entende que “o homem se torna liberto à medida que for capaz de ser autônomo, [...] através da educação permeada pela afetividade, pelo diálogo, pelo questionamento” (DALLA VECCHIA, 2010, p. 27).
Com as experiências de ensino, procuramos analisar momentos de utilização da maquete eletrônica em sala de aula, relacionando-os aos pressupostos da Investigação Matemática. Na primeira experiência de ensino, validamos apenas proposta investigativa, uma vez que a maquete eletrônica apresentou problemas técnicos. A partir de atitudes dos alunos, confiamos ter estabelecido um cenário de
investigação do tipo (4), com referência à semi realidade (SKOVSMOSE, 2000). Neste cenário, foram utilizadas tarefas com a função explorar, de descobrir e de por em questão, segundo a tipologia de Goldenberg (1999). Ao final do processo investigativo, os alunos enunciaram o Teorema dos Caminhos Eulerianos, de 1736, sem saber previamente que se tratava de um teorema conhecido.
Com a utilização da maquete eletrônica, confirmamos nossa hipótese em relação a representação imagética dos grafos pelos alunos. Como não foi possível operar no modelo apresentado, o que ocorreu durante a atividade de validação, quando os alunos usaram pincel para simular caminhos na lousa onde a imagem da maquete foi projetada. Percebemos que este impedimento incentivou os alunos a construírem seus modelos no caderno e que, nessa transposição, rudimentos da representação gráfica dos grafos surgiram, potencializando assim o processo de construção dos conceitos relacionado a este conteúdo.
Durante a aula em uma das turmas, os alunos passaram a se levantar e a ficar próximos à maquete, para realizarem suas análises observando diretamente o recurso. Ao se levantarem das cadeiras e rodearem a maquete para tentar solucionar o Problema das Sete Pontes, os alunos fugiram da crença de uma “realidade estática” (SARTORI, 2010, p. 135), condenada na perspectiva freireana. Dessa forma, os estudantes assumiram o processo de exploração e explicação, fazendo com que o cenário de investigação se constituísse como um ambiente de aprendizagem (SKOVSMOSE, 2000).
A partir da observação participante, creditamos o sucesso da maquete principalmente ao layout com o estilo do jogo Super Mário World, com uso das imagens de castelos e de personagens e do esquema de cores. Outro fator importante foi a interação oportunizada pela existência de botões de lâmpadas de LED.
Ainda durante experiências na sala de aula do ensino médio, objetivamos apresentar algumas contribuições da História da Matemática na abordagem da Teoria dos Grafos, na perspectiva do Jogo de Vozes e Ecos. Ao analisarmos qualitativamente as respostas dos alunos, percebemos que os estudantes foram capazes de produzir ecos de diferentes tipos. Nas experiências com e sem a maquete eletrônica, os ecos superficiais, assim como observado em Sá (2014a),
aconteceram principalmente no emprego da notação da Teoria dos Grafos ou na confusão entre os termos dessa teoria e os da Geometria. O segundo grupo de ecos, denominados de mecânicos por Boero, Pedemonte e Robotti (1997), aconteceram quando alunos não se apropriaram do Teorema dos Caminhos Eulerianos, enunciando-o completamente quando apenas foi solicitado um de seus casos. O eco de assimilação foi detectado no caso do aluno que, além de selecionar o caso solicitado, conseguiu enuncia-lo parcialmente bem e ainda apresentar um exemplo simples e diferente dos apresentados em sala.
Uma enunciação, em especial, nos chamou a atenção. Na segunda experiência de ensino, um aluno além de evidenciar a compreensão e apropriação dos enunciados, trouxe em seu discurso elementos da história que foram explorados durante a atividade. Ao dizer que o caminho euleriano é o “nome dado quando o suíço Euler tentou fazer um caminho (trajeto) sem repetir as 7 pontes existente [sic] na cidade de Konigsberg em 1736”, o aluno produz um eco de assimilação e mostra que compreendeu o conceito de grafo euleriano como uma produção humana, pois foi estabelecida por Euler, e cultural, pois se deu em determinado local e momento da história.
Nosso último objetivo específico consistiu em sistematizar atividades histórico- investigativas que oportunizem o ensino de grafos na Educação Básica. Nesse caso, os referenciais teóricos adotados e a proposta validada nesta dissertação constituíram o guia didático “Ensino de Grafos por meio de uma abordagem histórico-investigativa”, produto educacional desta pesquisa. O guia atende aos principais critérios de qualificação apresentados no Documento de Área (CAPES, 2013): validação obrigatória, acesso livre e incorporação ao sistema educacional. Após a defesa da dissertação e do produto, o material estará disponível na página de Produtos Educativos do Programa Educimat, no link
http://educimat.vi.ifes.edu.br/?page_id=1409.
Sobre a maquete eletrônica, sugerimos que, em ações futuras, seja inserido um recurso para registro de atividades, de modo que ações realizadas pelos alunos durante a utilização da maquete sejam registradas em arquivo de texto. Acreditamos que isso ajudará o professor a compreender os raciocínios dos alunos, para retomá- los e ampliá-los em outras atividades em sala de aula. Também apresentamos,
como possibilidade, uma adaptação da maquete para ambiente computacional, oportunizando a instalação do simulador em dispositivos touchscreen, como tablets e smartphones. Dessa forma, ampliaremos a disponibilidade do recurso em sala e as características desse recurso de ensino, valorizando ainda mais a autonomia de professores e estudantes e oferecendo elementos característicos do uso de computadores em rede.
Após a primeira experiência de ensino e validação da proposta investigativa, percebemos que o instrumento avaliativo utilizado pela professora, o teste escrito, não contemplou a História da Teoria de Grafos na perspectiva que apresentamos neste trabalho. Certamente, acreditamos que a avaliação deve ser feita em vários momentos do processo educativo. Assim, considerando que “o professor precisa estar atento para que haja coerência entre seu trabalho pedagógico e a forma de avaliação” (SANTOS, 1997, p. 7), é importante que comecemos a refletir sobre como podemos avaliar utilizando História da Matemática.
Por fim, defendemos que a dinâmica realizada se apresenta como possível abordagem de sala de aula e, dessa forma, aponta novos caminhos para investigações em Educação Matemática. Sobre Teoria dos Grafos, torna-se oportuno pesquisar contribuições de outras metodologias na abordagem desse tema no Ensino Médio e até mesmo no Ensino Fundamental. Além disso, acreditamos que o referencial teórico do Jogo de Vozes e Ecos constitui-se como norteador para discussões de outros temas da matemática, por meio de sua história.
Sobre nossa pergunta de pesquisa “que contribuições de uma abordagem histórico-investigativa ao processo educativo são identificadas durante a construção e utilização de uma maquete eletrônica para ensino de Teoria de Grafos?”, observamos que, ao final do processo educativo, os alunos da rede estadual enunciaram o Teorema dos Caminhos Eulerianos, de 1736, e formalizaram conceitos relativos à Teoria de Grafos, a partir da História da Matemática e da Investigação Matemática. Já com os alunos-pesquisadores da educação profissional, corroboramos a tese de que os conteúdos são conceitos e teorias que constituem sínteses da apropriação histórica da realidade material e social pelo homem. Além disso, verificamos que esses estudantes, em especial, reconheceram a Teoria de Grafos como conhecimento construído historicamente, a partir do qual
pode-se construir novos conhecimentos, inclusive técnicos, no processo de investigação e compreensão do real. Com isso, concluímos que a abordagem histórico-investigativa proporcionou aos alunos, tanto na construção quanto na utilização da uma maquete eletrônica, uma atividade de aprendizagem semelhante à dos matemáticos, permitindo-lhes o prazer da descoberta e apresentando-lhes a matemática como produção humana.
Retomando a epígrafe deste capítulo, durante esta pesquisa de mestrado, notei muitas vezes que não era mais o único que educava. Apesar de ter uma formação inicial preocupada com questões vinculadas à educação, a proposta da pesquisa- ação, adotada como marco metodológico deste estudo, exigiu uma negociação de papéis e uma cumplicidade em tal nível que se tornou impossível que eu me percebesse como único detentor de qualquer tipo de conhecimento – matemático, técnico ou de pesquisa. Assim, concluí que, enquanto educava, por meio dos projetos de Feira de Matemática, também era educado, em diálogo com os alunos que, ao serem educados, também me educavam.
Para finalizar, trago relatos de dois alunos do Curso Técnico em Administração que participaram das Feiras de Matemática no mesmo período que os alunos- pesquisadores do curso de Automação Industrial. Os textos foram escritos após divulgação do resultado do Sistema de Seleção Unificada (Sisu) do Ministério da Educação, quando seis dos oito alunos dos projetos foram aprovados em instituições públicas do sudeste. Apesar dos autores dos relatos abaixo não serem participantes da pesquisa de mestrado em tela, em suas falas, trazem à tona questões comuns entre os expositores de Feira de Matemática:
Lauro, muito obrigada! Não sou nada exatas, mas isso tudo me ajudou para caramba em várias áreas da minha vida. Provavelmente você nem sabe, mas só de você confiar em nós, me escolher para fazer parte desse trabalho, foi uma das coisas mais emocionantes da minha vida. Há muito tempo não sabia o que era ser reconhecida, me sentia uma fracasso por nunca conseguir nada e ninguém nunca confiar em mim. Pode ter certeza, que você me fez crescer muito e eu vou ser sempre grata. Que Deus te abençoe e tu possa ser diferença na vida de muitos alunos23.
23 Hoje, a aluna está cursando Graduação em Comunicação Social – Publicidade e Propaganda, na
Universidade Federal do Espírito Santo, e participa do projeto de extensão “Educação para mídia”, cujo principal objetivo é promover a educação midiática de jovens através de oficinas de leitura crítica realizadas em escolas.
Enquanto a ti mestre, tu serás meu eterno orientador e digo isso com muito orgulho. As palavras de [aluna do relato acima] expressam muito o que nós sentimos com toda essa experiência. Você nos proporcionou uma expansão de conhecimento, de convivência e responsabilidade e, vida. Você alavancou nosso potencial e mostrou o quanto eu e cada um dos integrantes de cada equipe éramos capazes. Me fez mais confiante, tanto pessoalmente quanto nos estudos. Digo com propriedade que você despertou em mim a paixão pela educação, pela licenciatura. Desmistificou obstáculos e incentivou sempre. Sim, sou muito feliz por ter tido você como orientador e por ter ganhado um amigo esplêndido. Portanto, continue fornecendo oportunidades para outros alunos, assim eles conhecerão o fantástico caminho que conheci. Deus te abençoe e um grande abraço24.
Às vezes, nós, professores, não temos noção de como podemos influenciar na vida de nossos alunos e acabamos acreditando que estamos em sala de aula apenas para ensinar determinado conteúdo, numa perspectiva bancária. Conforme apresentei na introdução dessa dissertação, quando tinha a idade dos alunos que participaram dos projetos de Feira de Matemática, também tive um professor que acreditou em mim e que me proporcionou atividades que nunca havia cogitado – como apresentar a Teoria dos Grafos no auditório da escola. Quando ingressei no Ifes como docente, entrei com o propósito de fazer com que meus alunos tivessem muitas outras oportunidades, além da sala de aula e independente do gosto pela matemática. A partir dos depoimentos apresentados acima, percebo que estou no caminho certo.
24 O aluno atualmente cursa Licenciatura em Química, no Instituto Federal do Espírito Santo, e
participa do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência – Pibid, visitando escolas do município de Aracruz – ES e desenvolvendo atividades de alfabetização científica.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, Maria de Fatima Lins Barbosa de Paiva; CELEMAN, Soraya. A
Matemática escondida no Google. Revista do Professor de Matemática, v. 80, p. 42-45, 2013. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/80/10.html>. Acesso em: 14 mai. 2016.
ALMEIDA, Cristóvão Domingos de; STRECK, Danilo R. Pergunta. In: STRECK, Danilo R.; REDIN, Euclides; ZITKOSKI, Jaime José. Dicionário Paulo Freire. 2. ed., ver. amp. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.
BARBIER, René. A pesquisa-ação. Tradução de Lucie Didio. Brasília: Liber Livro Editora, 2002. Série Pesquisa em Educação, v. 3.
BAKHTIN, Mikhail. Estética da criação verbal. Tradução de Paulo Bezerra. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003.
________. Problemas da poética de Dostoiévski. Tradução de Paulo Bezerra. 4. ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2008.
BOAVENTURA NETTO, Paulo Osvaldo. Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos. 4.ed. São Paulo: E. Blücher, 2006.
BOERO, Paolo. et al. The "voices and echoes game" and the interiorization of crucial aspects of theoretical knowledge in a vygotskian perspective: ongoing research. In: PME CONFERENCE, 22nd, 1998, África do Sul. Proceedings... Disponível em: <http://www.dm.unito.it/semdidattica/2011/app/boero22.pdf>. Acesso em: 21 out. 2013.
________. Il "gioco voci-echi" come metodologia per la mediazione degli aspetti salienti delle teorie. In: Internuclei Scuola Dell'obbligo, IV, 2001, Itália. Anais eletrônicos... Disponível em:
<http://www.math.unipr.it/~rivista/guzzoni/avvenimenti/pdfmonticelli/boero.pdf>. Acesso em: 15 jan. 2014.
BOERO, Paolo; PEDEMONTE, Bettina; ROBOTTI, Elisabetta. Approaching
theoretical knowledge through voices and echoes: a vygotskian perspective. In: PME CONFERENCE, 21nd, 1997, Finlândia. Proceedings... Disponível em:
<http://www.dm.unito.it/semdidattica/2011/app/boero21.pdf>. Acesso em: 21 out. 2013.
BOERO, Paolo; DOUEK, N. La didactique des domaines d'experience. Carrefours de l'éducation, n. 26, p. 99-114, 2008. Disponível em: < http://www.cairn.info/revue- carrefours-de-l-education-2008-2-page-99.htm>. Acesso em: 16 nov. 2013.
BORBA, Marcelo de Carvalho. Tecnologias Informáticas na Educação Matemática e Reorganização do Pensamento. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.)
Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas, Editora da Unesp, 1999.
BOUFLEUER, José Pedro. Conhecer/conhecimento. In: STRECK, Danilo R.; REDIN, Euclides; ZITKOSKI, Jaime José. Dicionário Paulo Freire. 2. ed., ver. amp. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Bücher, 1974. BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Programa Nacional de Apoio às Feiras de Ciências da Educação Básica (Fenaceb). Brasília: Ministério da Educação, 2006.
________. Orientações curriculares para o Ensino Médio: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEF, 2006.
________. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Referenciais curriculares nacionais da educação profissional de nível técnico. Brasília: MEC, 2000.
________. Lei nº 11.892, de 22 de dezembro de 2008. Institui a Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica do Brasil e criou os Institutos Federais de Educação, Ciência e Tecnologia. Brasília, 2008.
BRIA, Jorge. Grafos no Ensino Fundamental e Médio: Matemática,
Interdisciplinaridade e Realidade. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós- Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE), Rio de Janeiro, 2001.
BRITO, Arlete de Jesus; CARVALHO, Dione Lucchesi de. Utilizando a História no Ensino de Geometria. In: MIGUEL, Antônio. et. al. História da Matemática em Atividades Didáticas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.
CARBONNEAUX, Yves; LABORDE, Jean-Marie; MADANI, Rafaï Mourad. Cabri- graph: a tool for research and teaching in Graph Theory. In: BRANDENBURG, Franz J. (Eds.). Graph Drawing: Proceedings of the Symposium on Graph Drawing. GD '95. Passau, Germany: Springer Berlin Heidelberg, 1996. Disponível em:
<http://link.springer.com/book/10.1007/BFb0021783>. Acesso em: 18 mar. 2016. CARMO, Maria Rita Rocha; BOAVENTURA NETTO, Paulo Oswaldo; PORTUGAL, Licinio da Silva. Uma heurística interativa para geração de caminhos em grafos com restrição de grau: aplicação ao projeto de sistemas metroviários. Pesquisa
Operacional, v. 22, n. 1, p. 9-36, jun. 2002.
CAVALCANTI FILHO, Urbano; TORGA, Vânia Lúcia Menezes. Língua, Discurso, Texto, Dialogismo e Sujeito: compreendendo os gêneros discursivos na concepção dialógica, sócio-histórica e ideológica da língua(gem). In: CONGRESSO NACIONAL DE ESTUDOS LINGUÍSTICOS, I, 2011, Vitória. Anais... Vitória: UFES, 2011.
Disponível em: <www.periodicos.ufes.br/conel/article/download/2014/1526>. Acesso em: 25 jan. 2014.
CHISTÉ, Priscila de Souza. A pesquisa-ação nos mestrados profissionais na área de ensino. 2015, no prelo.
COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR (CAPES). Diretoria de Avaliação. Documento de Área 2013 – Ensino. Brasília: Capes, 2013. Disponível em:
<https://www.capes.gov.br/images/stories/download/avaliacaotrienal/Docs_de_area/ Ensino_doc_area_e_comiss%C3%A3o_block.pdf>. Acesso em: 23 jan. 2016. DALLA VECCHIA, Agostinho Mario. Afetividade. In: STRECK, Danilo R.; REDIN, Euclides; ZITKOSKI, Jaime José. Dicionário Paulo Freire. 2. ed., ver. amp. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.
DEGGERONI, Rogério. Uma introdução à teoria dos Grafos no Ensino Médio. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2010.
DYNNIKOV, Circe Mary Silva da Silva; SAD, Ligia Arantes. Uma abordagem pedagógica para o uso de fontes originais em História da Matemática. Guarapuava: SBHMat, 2007.
ESPÍRITO SANTO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Básico Escola Estadual - Ensino médio: área de Ciências da Natureza. Vitória: SEDU, 2009. v. 2. Disponível em:
<http://www.educacao.es.gov.br/download/SEDU_Curriculo_Basico_Escola_Estadua l.pdf>. Acesso em: 06 out. 2012.
EULER, Leonhard. Solution d'um problème appartenant à la géométrie de situation, par Euler. Traduzido do Latim por E. Coupy. Nouvelles Annales de
Mathématiques,1 série, tome 10, 1851, p. 106-119.
FERNANDES, Cleoni. Amorosidade. In: STRECK, Danilo R.; REDIN, Euclides; ZITKOSKI, Jaime José. Dicionário Paulo Freire. 2. ed., ver. amp. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.
________. Confiança. In: STRECK, Danilo R.; REDIN, Euclides; ZITKOSKI, Jaime José. Dicionário Paulo Freire. 2. ed., ver. amp. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.
FERNANDES, Francisco das Chagas de Mariz. Gestão dos Institutos Federais: o desafio do centenário da rede federal de educação profissional e tecnológica. Revista Holos, v. 2, 2009, p. 03-09. Disponível em:
<www2.ifrn.edu.br/ojs/index.php/HOLOS/article/viewFile/267/187>. Acesso em: 16 set. 2014.
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2009.
FIORIN, José Luiz. Introdução ao pensamento de Bakhtin. São Paulo: Ática, 2008.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996a.
________. Pedagogia do oprimido. 17a ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1996b. GARUTI, Rossella. A Classroom Discussion and a Historical Dialogue: a Case Study. In: PME CONFERENCE, 21nd, 1997, Finlândia. Anais... Disponível em: <http://www.seminariodidama.unito.it/2011/app/garuti21.pdf>. Acesso em: 15 jan. 2014.
GARUTI, Rossella; BOERO, Paolo; CHIAMPINNI, Giampaolo. Bringing the voice of Plato in the classroom to detect and overcome conceptual mistakes. In: PME
CONFERENCE, 23nd, 1999, Israel. Anais... Disponível em:
<http://www.seminariodidama.unito.it/2011/app/garuti23.pdf>. Acesso em: 15 jan. 2014.
GHIGGI, Gomercindo. Autoritarismo. In: STRECK, Danilo R.; REDIN, Euclides; ZITKOSKI, Jaime José. Dicionário Paulo Freire. 2. ed., ver. amp. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.