Ernani L. Fazolo¹, Jucimar Peruzzo², Gregory Beilner¹ e Fernando Dilda¹
1Graduando em Física - Licenciatura pelo Instituto Federal Catarinense Campus Concórdia fernandodilda@yahoo.com.br
2Professor de Física no Instituto Federal Catarinense Campus Concórdia
Palavras-chave: variação da aceleração da gravidade, altitude e latitude, elipsoide de revolução. INTRODUÇÃO
De acordo com a lei da gravitação universal, duas partículas atraem-se mutuamente com uma força que é proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. No caso do nosso planeta, a massa da Terra gera no espaço uma região de influência – deformação - denominada campo gravitacional, sendo que este é percebido através da força exercida sobre outra massa situada nessa região. A intensidade deste campo gravitacional ou aceleração de gravidade (g), produzido pela Terra em um determinado ponto do espaço é definido como a força exercida pelo campo por unidade de massa colocada nesse ponto. O objetivo deste trabalho foi o de analisar como se comporta o campo gravitacional do planeta Terra. A intensidade de g na superfície do planeta inicialmente foi calculada através da lei da gravitação universal, considerando a Terra esférica e em repouso. Depois foi estudado como a aceleração da gravidade se comporta numa esfera em rotação, donde pudemos constatar que a intensidade de g depende não apenas da altitude, como na esfera em repouso, mas também da latitude. Na sequência foi abordado o modelo mais realista que considera o planeta Terra como sendo um elipsoide de revolução, chegando à fórmula internacional da gravidade. O elipsoide é um esferoide achatado, com dois eixos diferentes. Para finalizar, fez-se o cálculo de g para aproximadamente a maior e a menor altitude do município de Concórdia, utilizando as equações aqui demonstradas.
MATERIAIS E MÉTODOS A terra esférica e em repouso
Considerando a Terra como uma esfera de massa constante (M) e com densidade uniforme no seu interior, podemos descrever sua interação gravitacional com outro corpo, também de massa constante (m), esférico e densidade uniforme utilizando a Lei da Gravitação universal de Newton:
⃗ ⃗ (1)
Em que M e m são as massas dos dois corpos, d é a distância entre eles e G é a constante gravitacional cujo valor é 6,67 x 10-11 N.m². kg-2.Considera-se a massa m muito menor que M, então o corpo de massa m, a uma distância d, é acelerado na direção de M com aceleração gravitacional (ag), a partir de (1):
⃗ ⃗ (2)
Percebe-se em (2) que o valor da aceleração da gravidade originada pela Terra depende apenas da altitude em que o corpo encontra-se em relação ao centro da esfera terrestre. Baseando-se na Mecânica Newtoniana, podemos encontrar experimentalmente o valor aproximado de ag através de duas atividades simples: o experimento do pêndulo simples e o experimento da queda dos corpos, realizados em Laboratórios de Física.
A terra esférica e em movimento de rotação
A Terra possui um movimento de rotação que ocasiona um movimento idêntico à todos os corpos que a compõem. A rotação da Terra impõe uma aceleração adicional e oposta à aceleração da gravidade aos corpos presentes na superfície. O corpo atraído gravitacionalmente sente uma força perpendicular ao eixo de rotação (para cima), cuja intensidade depende da distância entre o corpo e o eixo de rotação. Essa força centrífuga (Fc) torna o peso (P) de um corpo igual a força gravitacional (Fg) somente nos polos. Na superfície da Terra o valor de g varia com a latitude, logo:
(3)
Considera-se a massa da Terra M, G a constante gravitacional, ω a velocidade angular de rotação cujo valor é 7,292 x 10-5 rad.s-1 e obtêm-se a partir de (3) o valor da aceleração gravitacional g a uma distância d do centro da Terra e a uma latitude θ:
(4)
Têm-se em (4), a aceleração gravitacional em função da latitude. Nesse caso, g varia em função da latitude e da altitude. Ao nível do mar, a variação de g em função da latitude é de no máximo 0,5% (1).
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A terra como um elipsoide de revolução em movimento
A superfície matemática que mais se aproxima do formato da Terra é o elipsoide. Matematicamente, define-se uma elipse como tendo dois eixos diferentes: O semieixo maior (x) e o semieixo menor (y), que para a Terra, o raio equatorial e o raio polar, respectivamente. Devido ao movimento de rotação da Terra têm-se uma elipticidade (f) nos polos, que pode ser calculada através da equação (5):
(5)
Em que x representa o raio equatorial da Terra, cujo valor é 6378137m, y é o raio polar terrestre com valor de 6356752,3 m (os valores apresentados são para o elipsoide de referência wgs84, um dos mais utilizados). Substituindo-se estes valores em (5), observa-se uma deformação da ordem de 1/298,247 nos polos terrestres. Desenvolveram-se estudos mais avançados para modelar rigorosamente as variações da gravidade na superfície terrestre, em que considera-se a estrutura do planeta, rochas internas e manto terrestre - comportam-se como um fluido viscoso, em rotação – e a crosta encontra-se em equilíbrio – superfície equipotencial – ou são aproximações elipsoidais ajustadas a parâmetros geométricos da Terra obtidos com auxílio de satélites artificiais (2). As equações obtidas no século XX, que regem o valor da gravidade teórica ou normal em função da latitude θ são:
(6)
A expressão matemática (5) é conhecida como Fórmula Internacional da Gravidade de 1930. Com algumas correções, obteve-se a Fórmula GRS67, de 1967:
(7) No ano de 1980, apresenta-se a fórmula para o sistema GRS80:
(8) Quando se considera o formato da Terra um geóide, pode-se utilizar a expressão fornecida pelo National Physical Laboratory, em função da latitude θ e da altitude h:
(9)
RESULTADOS E DISCUSSÃO
O quadro abaixo (1) apresenta-nos os resultados para g obtidos com as equações (2), (4), (9), para o município de Concórdia para a máxima (~ 750 m) e a mínima (~ 550 m) altitude, aproximadamente, e para a altitude do laboratório de Física Geral do IFC – Concórdia (~ 610,5 m). A latitude utilizada foi 27°12’09.988” obtida no Laboratório de Física Geral do IFC – Concórdia, utilizando-se um aparelho de GPS. Nota-se diferença no valor de g na quarta casa decimal para a equação (2) – dependente apenas da altitude -, para a equação (4) na quarta casa decimal – dependente da altitude e da latitude – e para a equação (9) na terceira casa decimal – dependente da altitude e da latitude.
CONCLUSÕES
Verifica-se com o exposto que para cálculos que não necessitam de valores precisos a aceleração da gravidade, pode-se utilizar a expressão matemática (2), dependente apenas de uma variável. A equação (4) fornece-nos um valor com precisão superior, pois duas variáveis são consideradas. O resultado teórico de g para os pontos mencionados com maior precisão e confiabilidade devem-se à equação (9), cujas algumas das correções necessárias fazem-se presentes.
REFERÊNCIAS
TEIXEIRA, W.; TOLEDO, M. C. M. de; FAIRCHILD, T. R.; TAIOLI, F. (Orgs.) Decifrando a Terra.
São Paulo: Companhia Editora Nacional, 2008.
MIRANDA, J.M, et al. Fundamentos de Geofísica. Disponível em:
http://idl.ul.pt/sites/idl.ul.pt/files/docs/Cap4_Forma_da_Terra2012.pdf. Acesso em: 15 de agosto de 2015.
Tabela 1. Valores de g para diferentes altitudes obtidos com as equações apresentadas.
Altitude (m) g com Eq. (2) (m.s-2) g com Eq. (4) (m.s-2) g com Eq. (9) (m.s-2)
550 9,8229 9,7927 9,7745
610,5 9,8227 9,7925 9,7727
MODE LO