MARTINS, E. F. A.¹; MORAIS, A. F. M.¹; RODRIGUES, M.¹; JUBINI, G. M.¹;
ANDREOLLA, V. R. M.²
¹Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Ibatiba; ²Universidade Federal do Paraná (UFPR);
gilberto.jubini@ifes.edu.br
1. INTRODUÇÃO
Trigonometria é definida como a parte da mate- mática que estabelece os métodos de resolução dos triângulos e investiga as funções trigono- métricas.
A centralização da circunferência trigonométrica na origem do plano cartesiano e o raio unitário, apesar de simples exige dedicação e habilidade para quem ensina e visualização aplicada para os alunos sentirem motivação em aprender.
As medidas de unidades de ângulos e de arco de circunferência, utilizadas no trabalho, serão graus (°) e radianos (rad). Um radiano (1 rad), segundo PAIVA (2005), é um arco cujo compri- mento é igual ao raio da circunferência que o contém.
Segundo STOCCO SMOLE & DINIZ (2013), um grau (1°) é uma medida de ângulos planos que corresponde a 1
360 de uma circunferên-
cia, ou seja, divide-se uma circunferência em 360 ângulos centrais.
O círculo ou circunferência trigonométrica cor- responde à circunferência de centro O e raio unitário (r = 1), na qual escolhe-se um ponto de origem dos arcos no sentido do seu percurso (STOCCO SMOLE & DINIZ, 2013).
As funções circulares são compostas por seis funções: seno, cosseno, tangente, cotangente, se- cante e cossecante, como ilustra a figura 1. A trigonometria ou funções trigonométricas são utilizadas na astronomia (especialmente para lo- calização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é es- sencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamen- tos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, quí- mica, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia, meteorologia, oceano-
grafia, muitas das ciências físicas, solos (inspe- ção e geodésica), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadoriza- dos, cartografia, cristalografia e desenvol- vimento de jogo.
.
Fig. 1: Funções circulares na circunferência trigo-
nométrica.
Por ter inúmeras aplicações práticas e ser um tanto complexa é de extrema importância o aprendizado dos alunos sobre este tema para sua formação acadêmica.
Neste contexto, o objetivo do trabalho foi mos- trar de maneira prática as aplicações da trigonometria na circunferência trigonométrica de forma que os alunos envolvidos pudessem vi- sualizar as devidas aplicações.
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O estudo foi realizado com os alunos do segun- do ano curso Técnico em Meio Ambiente, do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) Cam- pus Ibatiba, no ano de 2016.
Durante as aulas, foi construída uma circunfe- rência trigonométrica no pátio do Campus. Inicialmente fixou-se uma barra de ferro que ti-
nha aproximadamente 50 cm de comprimento e a partir dessa barra com um barbante de 2,5 me- tros de comprimento, usando-se um pedaço de gesso construiu-se a circunferência. Logo após, utilizou-se uma barra de madeira para realizar traços simbolizando os eixos x e y. As figuras 2 e 3 mostram a construção da circunferência tri- gonométrica, nas aulas iniciais.
Fig. 2: Alunos traçando os eixos X e Y com
madeira e gesso.
Fig. 3: Alunos explicando a definição de
circunferência trigonométrica.
A construção da representação do ciclo trigono- métrico também foi feita em uma tábua com pregos. Marcou-se o centro da circunferência e construiu-se um círculo trigonométrico, traçando o plano cartesiano e identificando os ângulos de 30°, 45° e 60° no primeiro quadrante e seus cor- respondentes nos demais quadrantes, de acordo com a figura 4.
Fig. 4: Representação da Circunferência
trigonométrica construída com madeira e pregos.
Foi realizada uma representação de um plano cartesiano em uma tábua com pregos, para utili- zar barbantes e facilitar a visualização dos gráficos das funções seno, cosseno e tangente, mostrado na figura 5. Através da observação e manipulação, os alunos puderam perceber o pe- ríodo, o domínio, a imagem e comparar cada função estudada.
Fig. 5: Representação do Plano Cartesiano cons-
truído com madeira e pregos.
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
O ponto onde a barra de ferro foi fixada serviu como centro da circunferência trigonométrica e origem do plano cartesiano. A partir da origem dos arcos foi construída a ideia de sentido horá- rio e anti-horário. Alguns alunos caminharam sobre a circunferência para compreender e fixar o sentido positivo (sentido anti-horário) e o sen-
tido negativo (sentido horário) dos arcos trigo- nométricos. Os alunos marcaram, sobre a circunferência, os pontos que representam os ar- cos de 30°, 45° e 60° contidos no primeiro quadrante e seus correspondentes nos demais quadrantes. O conceito sobre as projeções das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, se- cante e cossecante, na circunferência trigonométrica. Foi utilizado as medidas reais, sendo possível calcular com bastante precisão os valores de sen 30°, onde, o comprimento do raio unitário de 2,5 metros e a projeção da medida do ângulo seno ocorreu próximo a 1,25 metro. O cos 30° também teve valor calculado com bas- tante precisão, ou seja, a projeção do cosseno ocorreu 2,18 metros. Assim, os valores de seno, cosseno e tangente de 30° estão na Tabela 1.
Tabela 1: Valores de seno, cosseno e tangente
de 30°, calculados a partir das suas projeções:
Seno Cosseno Tangente
30° 0,504 0,872 0,578
Os valores calculados são bem próximos dos va- lores reais como pode ser observado na tabela 2.
Tabela 2: Valores reais de seno, cosseno e tan-
gente de 30°:
Seno Cosseno Tangente
30° 0,5 0,866 0,577
A representação da circunferência na madeira com pregos é uma opção, que professores e alu- nos, podem utilizar como uma tentativa de melhorar o ensino e aprendizagem da trigono- metria. O elástico utilizado para demarcar, como pode ser observado na figura 6, é uma alternati- va para se mostrar as projeções dos ângulos e a redução dos arcos trigonométricos ao primeiro quadrante.
Fig. 6: Representação da circunferência
trigonométrica na madeira e pregos.
Na figura 7, é mostrado a função seno construída com barbante no plano cartesiano representado na madeira com pregos. Os alunos perceberam a imagem da função seno, o gráfico, o domínio e o período.
Fig. 7: Representação do gráfico da função seno
utilizando-se barbante e tábua com pregos.
A função cosseno construída com barbante, no plano cartesiano representado na madeira com pregos, pode ser observado na figura 8. Os alu- nos compararam o gráfico da função cosseno com o gráfico da função seno.
Fig. 8: Representação do gráfico da função cosse-
no utilizando-se barbante e tábua com pregos.
Na figura 9, é demonstrado a função tangente construída com barbante no plano cartesiano re- presentado na madeira com pregos.
Fig. 9: Representação do gráfico da função tan-
gente utilizando-se barbante e tábua com pregos.
Na figura 10, é mostrado a circunferência trigo- nométrica e as projeções das funções seno, cosseno, tangente e cotangente.
Fig. 10: Representação da circunferência
trigonométrica na madeira, com pregos, borracha e alfinete.
A figura 11, mostra uma aula sobre circunferên- cia trigonométrica. Na aula foram utilizados barbante, uma barra de ferro, trena e uma barra de madeira. Os alunos participaram ativamente da construção, caminharam sobre a circunferên- cia para compreender os sentidos horários (negativo) e anti-horário (positivo) e discutiram as projeções das funções seno, cosseno, tangen- te, cotangente, secante e cossecante. Discutidos o conceito de arcos côngruos e sua extremidade. Utilizou-se como exemplo um arco de 4555°, para descobrir o número de volta completas e em qual quadrante é sua extremidade. Posterior- mente foi efetuada a divisão de 4555 por 360, obtendo-se como resultado do quociente o nú- mero 12 e 255 o resto. Sendo assim, foram realizadas 12 voltas completas no sentido anti- horário e a extremidade do arco é 255° e está lo- calizada no terceiro quadrante.
Fig. 11: Representação da circunferência
trigonométrica na madeira, com pregos, borracha e alfinete.
4. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
Conclui-se que através do concreto e do material manipulável, os alunos participaram ativamente e conseguiram aprender na prática, desenvolven- do a criatividade, percebendo a utilidade da trigonometria. Mostraram-se interessados duran- te todo o processo de intervenção pedagógica, demonstrando interesse em aprender, e capazes de relacionar a aprendizagem escolar com fatos do cotidiano, funcionando como uma ponte para a transição do conhecimento concreto para o abstrato, contribuindo com a organização do pensamento matemático e com o desenvolvi- mento do raciocínio lógico.
5. BIBLIOGRAFIA
PAIVA, M.; Matemática, volume único. 1ª edi- ção. São Paulo: Moderna, 2005.
STOCCO SMOLE, K. ; DINIZ, M. I.; Mate- mática ensino médio 2. 8ª Edição. São Paulo: Saraiva, 2013.
AGRADECIMENTOS
Ao Ifes, Campus Ibatiba, que oportunizou a rea- lização deste trabalho e sua publicação no evento realizado.