VITORIANO, N. G.¹; CARDOSO, M. T. S.¹; JUBINI, G. M.¹; ANDREOLLA, V. R. M.²
¹Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Ibatiba; ²Universidade Federal do Paraná (UFPR). gilberto.jubini@ifes.edu.br
1. INTRODUÇÃO
A trigonometria está presente em nosso cotidia- no desde a antiguidade. O homem, tomando conhecimento de sua existência, foi aprimorando os instrumentos e desenvolvendo artifícios que contribuíram para esse ramo da Matemática. Com o uso da trigonometria pode-se calcular medidas de ângulos, distâncias entre pontos. Às vezes os alunos não conseguem entender e, até tem aversão ao estudo de trigonometria, sem perceber que as aplicações é que possibilitam as construções (SILVA, at al, 2013).
De acordo com os Parâmetros Curriculares Na- cionais (PCN, 2010): o que se deve garantir, no ensino de trigonometria, são as aplicações na re- solução de problemas que envolvem medições, principalmente os cálculos de distâncias inaces- síveis e para modelar fenômenos periódicos. Segundo LINDEGGER (2000) os alunos sen- tem-se "incomodados" ao tratarem assuntos que envolvem a Trigonometria, o que, acaba constru- indo uma rejeição ao conteúdo. A falta de compreensão conceitos trigonométricos básicos pode até ser relacionada com o crescimento da rejeição, visto os erros de notação e de conceito básicos que são observados nas representações matemáticas simples e que ocorrem entre alunos dos anos finais do Ensino Fundamental, alunos do Ensino Médio e até para iniciantes do ensino superior.
O uso da trigonometria no triângulo retângulo exige registro e interpretações de informações matemáticas. Para facilitar o ensino e a aprendi- zagem do conteúdo decidiu-se construir um teodolito e utilizá-lo para medir a altura do pré- dio acadêmico do Instituto Federal do Espírito Santo (IFES) Campus Ibatiba, e estimar a área do gramado central.
Neste contexto, este trabalho teve como objetivo a construção de um teodolito para utilizar em aplicações do conteúdo de trigonometria, auxili- ando no ensino e aprendizagem dos alunos que estão cursando os primeiros anos técnicos em Meio Ambiente.
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O experimento foi realizado no Instituto Federal do Espírito Santo (IFES) Campus Ibatiba. Para construir o Teodolito foram utilizados os seguin- tes materiais: Tabua de madeira de 15 x 15 cm, cola, Canudo, pedaço de EVA, Parafuso para ma- deira, Cano de PVC de 32 mm com comprimento de 90 cm e 3 cm, Cano de PVC de 25 mm nos comprimentos de 90 cm, 3 pedaços de 30 cm, 7 cm e 4 pedaços de 3 cm, T de 90° de 32 mm sol- dável, 2 unidades de T de 90° de 25 mm soldável, 3 unidades de Joelhos de 45° de 25 mm, tampão de 32 mm, 3 unidades de tampões de 25 mm, luva de 32 mm com rosca de 1’(uma polegada) e plug de 1’; parafusadeira, serra, lixa e tesoura.
Para a montagem do aparelho as pontas dos canos teve que ser lixado. Encaixou-se os tampões de 25 mm nos canos de 25 mm com comprimento de 30 cm. Colocou-se os canos de 25 mm e compri- mento de 3 cm nas extremidades opostas dos T’s de 25mm. Conectou-se, perpendicularmente, os T’s de 25 mm. Conectou-se os joelhos com as ex- tremidades restantes perpendicularmente. Conectou-se aos joelhos as peças de cano de 25 mm com comprimento de 30 cm e um tampão de 25 mm. Lixou-se a ponta do cano de 25 mm de 7 cm de comprimento até formar um U para ser en- caixado ao cano de 25 mm de 90 cm de comprimento. Colou-se na ponta do U o pedaço de EVA e após a secagem retirou-se o excesso com a tesoura. Conectou-se o cano de 25 mm de 90 cm comprimento à base montada. Conectou-se o T de 32 mm à luva de 32 mm e 1’ com o cano de 32 mm de 3 cm. Conectou-se uma das pontas cano de 32 mm de 90 cm de comprimento com o T de 32 mm com a luva de 32 mm e 1’. Colocou- se o cano de 32 mm no suporte pronto, o cano de 25 mm de 7 cm de comprimento dentro da peça do T de 32 mm mais a luva. Foi adicionado um conector de 1’ na rosca.
Colou-se o transferidor na tábua de madeira. Cor- tou-se um quadrado de 3 cm por 3 cm e furou o centro. Fez os recortes no quadrado e obteve-se um triângulo. O triângulo foi parafusado no cen- tro do transferidor, ficando com movimentos, de
baixo para cima e vice – versa. O canudo foi cola- do no triângulo, de maneira alinhada com o centro do transferidor. Furou-se o centro do tam- pão de 32 mm e parafusou-se a madeira. Conectou-se o tampão de 32 mm com o Teodolito montado na ponta livre do cano de 32 mm.
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
O teodolito foi utilizado para se calcular a medi- da da altura do Bloco B do IFES campus Ibatiba. Os alunos se distanciando do prédio até que o ângulo apontado fosse de 60°, marcou-se o pon- to A e mediu a distância até o ponto D usando uma trena. Girou o teodolito até que ficasse pa- ralelo com a horizontal e marcou-se um ponto no prédio do Bloco B. A distância do teodolito ao prédio, onde se observou o ângulo de 60° foi de 4 metros. Repetiu-se o procedimento para marcar os pontos B e C e observar o ponto O, como está ilustrado na figura 1 abaixo.
Fig. 1: Ilustração da utilização do teodolito para
medir a altura do prédio do Bloco B.
No ponto B, o ângulo obtido foi de 45°, onde a distância até o ponto D foi de 7,5 metros. E por fim, o ponto C que distou 13,7 metros do ponto D onde a medida do transferidor registrou o ân- gulo de 30°.
As alturas marcadas no prédio quando o teodoli-
to ficou paralelo a horizontal estão na tabela 1 abaixo.
Tabela 1: Altura registrada no prédio do Bloco
B de acordo com o ângulo de inclinação:
Medição Angulo (graus) Altura (metros)
1 60 1,55
2 45 1,55
3 30 1,65
Para se calcular a altura do prédio foram utiliza- das as medidas das tangentes de 30°, 45° e 60°, ou seja, os valores utilizados foram os da tabela 2 a seguir.
Tabela 2: Valores das tangentes de 30°, 45° e
60° utilizados para calcular a altura do prédio do Bloco B:
Angulo (graus) Tangente
30 0,577
45 1,000
60 1,732
Sabe-se que a tangente de um ângulo α é o quo- ciente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo α (CO) e a medida do cateto adjacente ao ângulo α (CA), que pode ser simplificada por
t g α=C O
C A . As medidas da altura do prédio do bloco B, foram calculadas da seguinte forma:
t g 60 °=h 1,55
4 , substituindo-se o valor da
tg 60° por 1,732, tem-se 1,732=
h 1,55 4 que, com as manipulações matemáticas chegou- se a medida de h 1,55=6,93 e, ainda h=6,93+1,55 portanto, a altura de h=8,48 metros. Os demais valores foram obtidos similarmente e estão na tabela 3 abaixo.
Tabela 3: Altura do prédio do Bloco B, calcula-
da a partir do uso das tangentes de 30°, 45° e 60°:
Angulo (em graus) Altura (em metros)
60 8,48
45 9,05
30 9,56
O comprimento da altura real do prédio do Blo- co B foi obtida através de uma trena que foi esticada até o chão e registrou-se 9,49 metros. O procedimento para realizar a medição pode ser observado na figura 2 abaixo.
Fig. 2: Medição da altura real do
prédio do Bloco B.
Após calcular a altura os alunos decidiram cal- cular a distância que eles estavam do ponto observado no topo do prédio, quando estavam no ponto que formava 30°, 45° e 60° com a hori- zontal. Para isso, utilizaram o teorema de Pitágoras e conferiram os resultados pelas razões seno e cosseno.
A distância que os observadores estavam do
ponto observado, quando o ângulo formado com a horizontal era de 60°, foi calculado por:
(hipotenusa)²=(CA)²+(CO)² , onde hipo-
tenusa representa a distância desconhecida, CA a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60°, ou seja, 4 metros e CO a medida do cateto oposto ao ângulo de 60° e que foi calculado através da tangente, ou seja, (8,48 – 1,55) = 6,93 metros. Então ao substituir os valores conhecidos tem-se que a distância pode ser calculada pelo Teorema
de Pitágorasa
(hipotenusa)²=(4)²+(6,93)² que equivale
a aproximadamente 8,00 metros. A conferência pelo sen 60° foi realizada da seguinte forma:
sen 60° CO
hipotenusa . Ao substituir os valo-
res conhecidos
√
3 2 =
6,93
hipotenusa e realizar
as manipulações matemáticas chegou-se pratica- mente 8,00 metros. Através da razão cosseno, ou seja, cos 60 °= CA hipotenusa , substituiu-se os valores conhecidos 1 2= 4 hipotenusa que se
chega a exatamente 800 metros. As demais dis- tâncias foram obtidas de maneira similar e estão na tabela 4.
Tabela 4: Distâncias, em metros do observador
ao ponto observado: Ângulo 60° 45° 30° Método usado para os cálculos Uso do Teorema de Pitágoras 8,00 10,61 15,82 sen 8,00 10,61 15,82 cos 8,00 10,61 15,82
A observação e análise permitiu ao aluno a cons- trução de seus conhecimentos organizados em níveis de abstração e uma postura ativa diante de uma aprendizagem contextualizada e aplicada. Em relação aos cálculos realizados, as distâncias entre os observadores e o ponto observado pode ser calculado pelo teorema de Pitágoras ou uma ra-
zão trigonométrica, sem diferenças significativas. A medida da altura calculada do prédio do Bloco B, que mais se aproximou da altura real, foi a obtida com o ângulo de 30°. Quando se afasta o teodolito da base do prédio a calibragem do ân- gulo melhora e consequentemente o cálculo da medida da altura real fica mais precisa.
As diferenças encontradas nas medidas da altura do prédio aconteceram devidos as dificuldades para ajustar o transferidor, o observador utiliza um ajuste de acordo com o seu campo de visão e as limitações do cano acoplado no teodolito.
4. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
Conclui-se que o uso de materiais manipuláveis e a matemática aplicada dinamiza e facilita o processo de ensino, aprendizagem e avaliação. O uso do teodolito possibilitou a verificação de al- gumas manipulações matemáticas que envolviam as razões trigonométricas e o Teore- ma de Pitágoras, o que facultou aos alunos uma compreensão das mesmas.
5. BIBLIOGRAFIA
BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Ensino Médio.
Brasília: Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 2000.
SILVA, G. A. O.; SANTOS, V. F.; VARGAS, S. S.; SANTOS, J. G.; SOUTO, K. C. O uso do
Teodolito como uma Ferramenta no Ensino de Trigonometria. VI Congresso Internacional
do Ensino de Matemática, Canoas – RS, 2013. LINDEGGER, L. R. M. Construindo os
conceitos básicos da Trigonometria no Triângulo Retângulo: uma proposta a partir da manipulação. 2000. 203 p. Dissertação de
Mestrado (Educação Matemática). Pontifício Universidade Católica, SP.
AGRADECIMENTOS
Ao Ifes – Campus Ibatiba que oportunizou a rea- lização deste trabalho e a publicação no evento organizado pelo campus.