Talvez seja impossível realizar na prática uma experiência em que o corpo esteja suspenso ou apoiado por um ponto que passa exatamente em seu CG, sendo livre para girar ao redor deste ponto. Mesmo quando tentamos nos aproximar desta situação por baixo, o CG sempre vai estar um pouco acima do ponto de apoio P A. Este é o caso, por exemplo, do triângulo na horizontal apoiado sobre um palito de churrasco na vertical colocado abaixo do baricentro do triângulo, Experiência 4.3. Aqui o ponto de contato entre o palito e o papelão fica um pouco abaixo do CG do triângulo, que está localizado em um ponto no centro da espessura do papelão. Também quando tentamos nos aproximar desta situação por cima, o CG sempre vai ficar um pouco abaixo do ponto de suspensão P S. Este é o caso, por exemplo, do triângulo em um plano vertical apoiado por um alfinete horizontal passando por um furo feito ao redor do baricentro do triângulo. O diâmetro do furo tem de ser um pouco maior do que o diâmetro do alfinete, para permitir uma rotação livre ao triângulo. Neste caso o P S será o ponto de contato entre o alfinete e a parte superior do furo, enquanto que o CG estará localizado no centro do furo.
Uma outra dificuldade surge para corpos volumétricos. Por exemplo, se temos um paralelepípedo, só podemos apoiá-lo por uma vareta que toca sua face externa inferior, ou então por um fio preso à superfície externa superior do paralelepípedo. Por outro lado, o CG do paralelepípedo está localizado no centro do paralelepípedo, no interior do tijolo. Para suspendê-lo ou apoiá-lo por este ponto temos de fazer um furo no paralelepípedo. Portanto, teríamos de alterar
sua distribuição de matéria. Mas se a espessura deste buraco é muito pequena comparada com os lados do paralelepípedo, podemos desprezar esta modificação na matéria do paralelepípedo. Mas mesmo depois de feito este buraco fica difícil imaginar um sistema real que permita com que o paralelepípedo tenha liberdade de giro ao redor de seu CG.
Pelo que foi visto nas experiências anteriores, pode-se imaginar o que aconte- ceria se fosse possível realizar na prática a experiência em que um corpo estivesse dependurado por um ponto de suspensão que passasse exatamente pelo CG do corpo. Já vimos que a tendência do CG de qualquer corpo rígido ao ser solto do repouso é a de se aproximar da Terra. Caso o corpo seja preso exatamente pelo CG, tendo liberdade para girar ao redor deste ponto, qualquer movimento de rotação que ele fizer não vai alterar a altura do CG em relação à Terra. Neste caso o corpo permaneceria em equilíbrio em todas as posições em que fosse colocado e solto do repouso, qualquer que fosse sua orientação em relação à Terra.
Vamos supor inicialmente que temos um triângulo horizontal suspenso exa- tamente pelo seu centro de gravidade. Vamos chamar de α ao ângulo entre o segmento CGV1 (que liga o CG ao vértice V1) e o segmento CGL que indica a
direção Leste-Oeste (segmento CGL indo do CG para o Leste, L). Caso ele seja solto em um plano horizontal apoiado por um suporte vertical sob o baricentro, ficará parado qualquer que seja este ângulo α, Figura 4.41.
N
S
L
O
α
V1
V2
V3
CG
Figura 4.41: O triângulo horizontal apoiado pelo baricentro fica em equilíbrio para todo ângulo α.
Vamos agora supor que o triângulo está em um plano vertical apoiado exa- tamente pelo baricentro. Seja β o ângulo entre o segmento CGV1 e a vertical
indicada por um fio de prumo. Neste caso ele permanecerá em equilíbrio ao ser solto do repouso qualquer que seja o ângulo β, Figura 4.42.
CG
V1
V2
V3
β
Figura 4.42: O triângulo vertical apoiado pelo baricentro fica em equilíbrio para todo ângulo β.
γ em relação à vertical indicada por um fio de prumo. Caso o triângulo seja solto do repouso nesta posição apoiado exatamente pelo baricentro, ele permanecerá em repouso para todo ângulo γ, Figura 4.43.
CG
γ
V1
V2
Figura 4.43: O triângulo inclinado apoiado pelo baricentro fica em equilíbrio para todo ângulo γ.
Vimos das experiências anteriores que a tendência do CG é a de se aproxi- mar da Terra quando o corpo é solto do repouso. Logo, se o corpo for preso exatamente pelo CG, sendo solto do repouso e tendo liberdade para girar em qualquer direção ao redor deste ponto, o corpo não vai se mover. Afinal de contas, em qualquer direção que ele começasse a girar seu CG permaneceria na mesma altura. Isto permite uma nova definição do centro de gravidade.
Definição Definitiva CG8: O centro de gravidade de um corpo rígido é um ponto tal que, se for concebido que o corpo está suspenso por este ponto, tendo liberdade para girar em todos os sentidos ao redor deste ponto, o corpo assim
sustentado permanece em repouso e preserva sua posição original, qualquer que seja sua orientação inicial em relação à Terra.
Caso este ponto esteja no vazio, como no caso de figuras côncavas ou com buracos, deve-se imaginar uma estrutura rígida ligando o corpo a este ponto, para que o corpo fique suspenso por este ponto.
Veremos depois que Arquimedes parece ter definido o CG desta maneira. A diferença principal da definição CG8 em relação à definição CG4 é que agora dizemos que o corpo vai permanecer parado em equilíbrio ao ser solto do repouso, qualquer que seja a orientação inicial do corpo em relação à Terra. Vamos considerar uma arruela, por exemplo. Ela pode permanecer em repouso ao ser solta do repouso em um plano vertical, dependurada por algum ponto de sua circunferência interna, como na Figura 4.44a. Neste caso o eixo da arruela faz um ângulo de θ = 90o com a linha vertical. Definimos o ângulo θ como
sendo o menor ângulo entre o eixo da arruela e a linha vertical.
θ
Figura 4.44: Uma arruela pode permanecer em repouso quando apoiada por sua circunferência interna. Contudo, ela não permanece em repouso para todas as orientações em que é solta. Se θ 6= 90o, seu centro vai oscilar ao redor da
vertical passando pelo ponto de suspensão após ser solta do repouso.
De acordo com a definição CG4, este ponto P S da circunferência interna por onde ela está sendo apoiada poderia ser considerado um centro de gravidade da arruela. Por outro lado, se o plano da arruela for solto do repouso estando inicialmente inclinado em relação à vertical de um certo ângulo θ 6= 90o, como
na Figura 4.44b, ela não permanecerá em equilíbrio. Após soltar a arruela, seu plano vai oscilar ao redor da vertical passando pelo P S, como na Figura 4.44c. Sua amplitude de oscilação vai diminuindo devido ao atrito, até a arruela parar na posição final θ = 90o. Esta é a posição preferencial da arruela.
Devido a este fato, não se pode considerar este ponto de suspensão ao longo da circunferência interna como sendo o CG da arruela se utilizarmos a definição CG8. Já vimos com o procedimento prático CG6 que o CG real da arruela é seu centro de simetria localizado no centro da arruela. Quando a arruela está dependurada por um P S localizado em algum dos pontos ao longo da
circunferência interna, o CG só vai estar em seu ponto mais baixo quando está verticalmente abaixo deste P S, quando então temos θ = 90o. Esta é uma
posição de equilíbrio estável. Quando diminuímos o ângulo θ, o CG sobe. Se a arruela for solta do repouso nesta nova posição, a gravidade vai fazer com que seu CG desça.
Suponha agora que fossem colocados raios sobre a arruela, como os raios de uma roda de bicicleta. Isto pode ser feito com linhas esticadas presas à arruela, ou podemos considerar uma roda de bicicleta real. Vamos supor que a arruela ou roda de bicicleta é suspensa por seu centro e que seja livre para girar em todas as direções ao redor deste ponto. Se ela for solta do repouso com seu eixo fazendo um ângulo θ com a linha vertical, ela permanecerá em equilíbrio para todo ângulo θ, Figura 4.45.
Figura 4.45: Quando um corpo é apoiado exatamente por seu CG ele permane- cerá em equilíbrio não importando a orientação em que for solto em relação à Terra.
Pela definição CG8, vem então que o centro de simetria da arruela coincide com seu centro de gravidade. A justificativa para ela ficar parada neste caso qualquer que seja o ângulo θ, quando apoiada por seu centro, é que o CG da arruela vai permanecer na mesma altura em relação à superfície da Terra, inde- pendentemente do valor deste ângulo. E esta é a característica de um equilíbrio indiferente.
Chamamos esta definição CG8 de definitiva. Hoje em dia a palavra “defini- tiva” deve ser entendida entre aspas. O motivo para isto é que esta definição só é válida em regiões de forças gravitacionais uniformes. As regiões em que isto ocorre são aquelas nas quais um certo corpo de prova sofre sempre a mesma força (em intensidade, direção e sentido) em todos os pontos da região. Isto é o que ocorre para corpos pequenos nas proximidades da superfície da Terra. As forças gravitacionais sobre cada partícula do corpo de prova podem ser consideradas como atuando em retas paralelas entre si, todas verticais.
Mas há situações em que isto não ocorre. Vamos dar um exemplo concreto no qual fazemos várias suposições: (A) O corpo que está exercendo a força gravitacional é como a Terra, mas com o formato de uma maçã, com a maior
distância entre quaisquer duas partículas desta Terra-maçã sendo dada por dT;
(B) o corpo que está sofrendo a força gravitacional é como a Lua, mas com o formato de uma banana, com a maior distância entre quaisquer duas partículas desta Lua-banana sendo dada por dL; (C) a distância entre uma partícula i
qualquer desta Terra e uma partícula j qualquer desta Lua sendo dada por dij = dT + dL + eij, com 0 < eij << dT + dL. Neste caso não vai existir
um centro de gravidade único. Dependendo da orientação relativa entre a Lua- banana e a Terra-maçã, vão existir linhas de equilíbrio distintas. Nestes casos o conceito de centro de gravidade perde seu significado.
De qualquer forma, a definição CG8 pode ser utilizada para um corpo de prova de dimensões pequenas comparadas com o raio da Terra.
Embora possa ser impossível realizar uma experiência na qual o corpo rígido esteja apoiado exatamente pelo CG, tendo liberdade para girar em todas as direções ao redor deste ponto, existem experiências que podem ser realizadas ilustrando a definição definitiva CG8.
A situação da Figura 4.41 é simulada pela Experiência 4.3. Ou seja, um triângulo fica parado em um plano horizontal ao ser apoiado sobre um palito vertical cuja projeção para cima passa pelo CG do triângulo. A reta ligando um vértice qualquer do triângulo ao seu CG pode fazer um ângulo α qualquer com a direção Leste-Oeste que mesmo assim o triângulo permanecerá em equilíbrio ao ser solto do repouso. Esta situação não é exatamente aquela descrita na definição CG8 já que o triângulo possui uma certa espessura, embora seja fino. Isto significa que a parte do papel cartão em contato com o palito de churrasco não é exatamente o CG do triângulo, pois este ponto se localiza no interior da espessura do papel cartão. De qualquer forma esta experiência indica um equilíbrio indiferente, já que o ângulo α pode ser variado sem que com isto se altere a altura do CG do triângulo em relação à superfície da Terra. Isto é, esta experiência ilustra uma situação de equilíbrio indiferente no que diz respeito a este ângulo α.
Nas próximas experiências ilustramos como se pode fazer algo análogo às Figuras 4.42 e 4.43.
Experiência 4.31
Atravessamos um palito ortogonalmente ao plano de um triângulo de papel cartão, tal que o palito fique fixo em relação ao papel cartão. Não há folga entre o palito e o papel cartão, ou seja, o diâmetro do furo é igual ao diâmetro do palito. Isto é feito de tal forma que o palito e o triângulo constituam um único corpo rígido, tal que quando o triângulo gira, o mesmo ocorre com o palito. Isto vai ser indicado nas próximas Figuras pelo semi-círculo preto marcado na seção reta do palito. Vamos supor inicialmente que o furo do palito não coincida com o CG do triângulo.
Apoiamos o palito horizontal por dois suportes verticais, tal que o plano do triângulo seja vertical, Figura 4.46. A posição preferencial é aquela em que o CG do triângulo fica verticalmente abaixo do palito. Vamos supor que o triângulo seja solto do repouso fora da posição preferencial, Figura 4.46a. O
CG do triângulo começa a oscilar ao redor da vertical inferior passando pelo palito, com suas amplitudes de oscilação diminuindo devido ao atrito, até parar na posição preferencial, Figura 4.46b.
CG
CG
Figura 4.46: (a) Um triângulo é solto do repouso fora da posição preferencial. (b) Ele gira, juntamente com o palito, até parar com o CG verticalmente abaixo do palito.
Por outro lado vamos agora supor que o eixo de simetria do palito passe exatamente pelo CG do triângulo, com o plano do triângulo mais uma vez ortogonal ao palito. O palito vai ficar novamente apoiado na horizontal com o plano do triângulo na vertical. Neste caso o triângulo vai permanecer em repouso qualquer que seja a orientação em que é solto em relação à Terra, Figura 4.47. Esta situação não é exatamente aquela descrita na definição CG8, já que o palito é apoiado pela parte de baixo de sua seção reta e não exatamente por seu eixo de simetria (ao longo do qual está o CG do triângulo). Isto significa que o eixo (ou fulcro) de apoio não passa exatamente pelo CG do triângulo. De qualquer forma, neste caso podemos girar o palito juntamente com o triângulo, alterando as partes do palito que estão em contato com os 2 suportes verticais abaixo dele, sem alterar a altura do CG do triângulo em relação à superfície da Terra. Temos então uma situação de equilíbrio indiferente. Esta experiência simula o caso da Figura 4.42.
Experiência 4.32
Vamos agora supor que abrimos uma fenda em um palito de churrasco para poder passar um triângulo de papel cartão pela fenda, Figura 4.48. O palito e o triângulo formam um único corpo rígido. Isto é, quando o triângulo gira, o palito gira junto.
Vamos supor inicialmente que o CG do triângulo esteja fora da fenda, como na Figura 4.49. A configuração preferencial é aquela na qual o CG fica ver- ticalmente abaixo do palito. Vamos supor que o sistema seja solto fora da configuração preferencial, com o palito horizontal apoiado sobre dois suportes horizontais colocados abaixo dele, Figura 4.49a. Neste caso ao ser solto do re- pouso ele não permanece em equilíbrio, mas gira até parar com o CG abaixo do palito, Figura 4.49b.
CG
CG
Figura 4.47: Quando o eixo de simetria do palito passa exatamente pelo CG do triângulo vem que o triângulo permanece em repouso qualquer que seja a orientação em que é solto em relação à Terra.
Figura 4.48: Abre-se uma fenda em um palito de churrasco para passar um triângulo de papel cartão pela fenda.
CG
CG
Figura 4.49: (a) Um triângulo é solto do repouso fora da posição preferencial. (b) Ele gira, juntamente com o palito, até parar com o CG verticalmente abaixo do palito.
Vamos agora supor que o eixo de simetria do palito passe exatamente pelo CG do triângulo, Figura 4.50. O sistema é solto do repouso com o palito hori- zontal apoiado sobre dois suportes verticais. Neste caso o triângulo permanece
em repouso qualquer que seja sua orientação em relação à Terra, Figura 4.50. Novamente esta situação não é exatamente aquela descrita pela definição CG8, já que o palito está apoiado pelas partes inferiores de sua seção reta em con- tato com os dois suportes verticais. Por outro lado o CG do triângulo está exatamente ao longo do eixo de simetria do palito. De qualquer forma, mesmo quando o palito gira sobre estes suportes vem que a altura do CG em relação à superfície da Terra não se altera. Ou seja, temos uma situação de equilíbrio indiferente. Ela simula a situação da Figura 4.43.
CG
CG
Figura 4.50: Quando o eixo de simetria do palito passa exatamente pelo CG do triângulo vem que o triângulo permanece em repouso qualquer que seja a orientação em que é solto em relação à Terra.