O primeiro método para encontrar o centro de gravidade foi descrito nas ex- periências anteriores. Isto é, equilibra-se círculos, paralelogramos e triângulos horizontalmente em cima de um palito de churrasco na vertical. Esta é a maneira mais simples e intuitiva de entender o que é o centro de gravidade. Com este procedimento também se pode perceber que ele é um ponto único no corpo. A experiência mostra que estes corpos só permanecem em equilíbrio na horizontal quando apoiados por um único ponto chamado de CG. Mas haviam problemas conceituais com este enfoque, como vimos anteriormente. Voltamos agora a estas figuras planas e realizamos outro conjunto de experiências.
Apresentamos agora o segundo método para encontrar o centro de gravidade que evita os problemas apresentados anteriormente. Vamos usar figuras planas iguais às anteriores, de mesmo formato e tamanho. Vamos fazer em cada figura dois ou três furos circulares. As figuras podem ser perfuradas com pregos ou com furadores de papel. Os diâmetros dos furos devem ser pequenos comparados com as dimensões das figuras para que não alterem muito os pesos nem as distribuições de matéria das figuras, mas grandes o suficiente para que possamos dependurar com folga estas figuras no alfinete ou no gancho onde também será dependurado o fio de prumo. Ou seja, não deve haver muito atrito entre o alfinete e as figuras. A figura deve poder girar livremente ao redor do alfinete e neste sentido o furo não pode ser muito apertado, devendo ser maior do que o diâmetro do alfinete. Furadores de papel funcionam muito bem para fazer os furos circulares em figuras de papel cartão com dimensões maiores do que 5 cm. Estes furos permitem um movimento livre tanto quando se passa um alfinete por eles, quanto no caso em que são atravessados por um palito de churrasco. Outra vantagem dos furadores de papel é que os furos saem bem circulares, evitando imperfeições e diminuindo o atrito com o suporte. Existem alguns furadores
de papel com um único furo que são extremamente úteis e práticos, como o apresentado na Figura 4.24.
Figura 4.24: Furador de papel com um único furo. Experiência 4.13
Pega-se um círculo de papel cartão igual ao utilizado nas experiências an- teriores e faz-se um pequeno furo circular em uma posição qualquer do círculo que não coincida com seu centro. Dependura-se este círculo no alfinete que está fincado no suporte, com o alfinete passando pelo furo. Ou seja, com o alfinete na horizontal, o plano do círculo ficará na vertical. Coloca-se o fio de prumo no alfinete e espera-se que ele atinja o equilíbrio. Solta-se o círculo a partir do repouso e espera-se que ele atinja o equilíbrio. Observa-se que ele não fica parado em todas as posições em que é solto, a não ser que seja liberado em uma posição preferencial na qual o centro X está verticalmente abaixo do alfinete, Figura 4.25a.
Caso seja solto do repouso com o centro fora da vertical passando pelo alfi- nete, observa-se que o centro vai oscilar ao redor desta vertical até parar devido ao atrito, Figura 4.25b.
Quando o círculo pára de oscilar, observa-se que seu centro X fica vertical- mente abaixo do alfinete.
Em vez de pendurar o círculo no alfinete, pode-se também amarrar o círculo com uma linha passando pelo furo. A parte superior da linha é então presa a um suporte fixo que fica acima do círculo. Também neste caso observam-se os mesmos fenômenos que no caso anterior, desde que o círculo tenha a liberdade de girar em qualquer sentido ao redor do ponto onde está amarrado.
Podemos agora apresentar o segundo procedimento experimental para se encontrar o centro de gravidade
Dependura-se o círculo pelo furo, soltando-o do repouso. Depois que o círculo oscilou e atingiu o repouso, dependura-se no mesmo alfinete o fio de prumo junto ao círculo e novamente espera-se que o sistema atinja o equilíbrio. Traça-se então com um lápis sobre o círculo a reta vertical que coincide com a direção indicada pelo fio de prumo. Vamos chamá-la de P S1E1 onde P S1 é o ponto de
X
PS
X
PS
Figura 4.25: O círculo permanece em repouso após ser solto do repouso depen- durado pelo ponto de suspensão P S apenas na posição preferencial na qual o centro X está verticalmente abaixo do P S. Caso seja solto com seu centro fora da vertical passando pelo P S, o centro vai oscilar ao redor desta vertical.
X
PS
1E
1X
PS
2E
2E
1PS
1Figura 4.26: Segundo procedimento experimental para achar o CG de um cír- culo.
suspensão indicado pelo alfinete e E1é a extremidade inferior do corpo ao longo
desta vertical, Figura 4.26.
Retira-se o fio de prumo e o círculo do alfinete e faz-se agora um segundo furo no círculo. Este segundo furo deve estar fora da reta P S1E1. Vamos chamá-lo de
P S2. Dependura-se o círculo no alfinete passando por P S2, coloca-se no alfinete
o fio de prumo junto ao círculo, espera-se o sistema entrar em equilíbrio, e traça- se uma nova reta sobre o círculo coincidindo com a direção indicada agora pelo fio de prumo. Vamos chamá-la de P S2E2, onde E2 é a extremidade inferior do
círculo ao longo desta nova vertical, Figura 4.26b.
Observa-se que as duas retas P S1E1 e P S2E2 cruzam-se em um ponto que
coincide com o centro do círculo. Caso seja feito um terceiro furo que não esteja ao longo destas duas retas e o procedimento for repetido, vai se verificar que também a terceira vertical P S3E3 vai passar pelo centro do círculo. Na prática
se encontre o ponto de cruzamento com maior precisão. E este procedimento também vai mostrar que todas as retas se cruzam em um único ponto.
Nem sempre a coincidência é perfeita. Uma parte pequena dessa imperfeição é devida ao fato de que os dois ou três furos feitos no círculo alteram um pouco seu peso e sua distribuição de matéria. Outro motivo mais relevante é o atrito que surge entre o círculo e o fio de prumo enquanto o sistema está oscilando, antes de atingir o repouso. Às vezes este atrito impede que o fio de prumo fique exatamente na vertical quando se atinge o repouso, pois o fio de prumo pode agarrar em alguma irregularidade da figura. Mas o motivo principal da imperfeição está na dificuldade de se traçar sobre a figura as linhas paralelas à vertical. Temos de prender a linha com os dedos para poder traçar estas retas e neste momento podemos alterar um pouco a direção real indicada pelo fio de prumo.
Mas com um pouco de prática e paciência consegue-se melhorar este pro- cesso. E com isto pode-se afirmar com segurança que o cruzamento das verticais obtidas assim coincide com o centro do círculo.
Experiência 4.14
Repete-se o procedimento da experiência anterior com um retângulo e com um paralelogramo, fazendo-se dois ou três furos em cada figura. Traçam-se as verticais e observa-se que coincidem com os centros geométricos das figuras, Figura 4.27. B PS1 E1 E2 PS2 X PS1 E1 E2 PS2 X PS1 E1 E2 PS2 X PS2 E2 E1 PS1
Figura 4.27: Segundo procedimento experimental para achar o CG de um re- tângulo, de um paralelogramo, de um triângulo e de uma arruela.
Fazendo o mesmo com um triângulo qualquer se obtém que o cruzamento das verticais coincide com o baricentro do triângulo, Figura 4.27.
Experiência 4.15
Também pode-se obter o CG de uma arruela feita de papel cartão utilizando este procedimento, Figura 4.27d. Observa-se que o cruzamento das verticais coincide com o centro da arruela.
No caso da arruela de papel cartão pode-se repetir o procedimento de fa- zer dois ou três furos e dependurá-la pelo alfinete. Ou então se aproveita que a arruela já é naturalmente oca e pode ser dependurada apoiando a arruela pelo alfinete encostado em algum ponto do diâmetro interno. As verticais são
traçadas agora sobre a arruela de papel cartão. Novamente, observa-se que os prolongamentos de duas ou três verticais que partem de pontos diferentes da arruela cruzam-se no centro da arruela. Como a figura é oca, os prolongamentos das verticais têm de ser determinados geometricamente. O importante é que se observa que este ponto coincide com o centro de gravidade que havia sido obtido pelas linhas esticadas na Exp. 4.7.
No caso da arruela com as linhas compridas, Exp. 4.8, a vertical que passava pelo cruzamento das linhas no equilíbrio coincidia com a direção do palito de churrasco (ou do fio de prumo) e também com a direção do eixo de simetria da arruela. E este eixo de simetria também passa pelo centro geométrico da arruela.
Experiência 4.16
Repete-se o procedimento com o fio de prumo no caso do papel cartão na forma de Lua em quarto crescente, ou na forma da letra C. Ou seja, neste caso as figuras de papel cartão ficam equilibradas em um plano vertical.
Novamente observa-se que o cruzamento das verticais nestes casos coincide com o resultado da Exp. 4.7 feita com estas figuras equilibradas em um plano horizontal. Na Exp. 4.7 eram utilizadas linhas esticadas horizontais apoia- das por um suporte vertical colocado sob o cruzamento das linhas horizontais esticadas.
Experiência 4.17
Recorta-se agora no papel cartão uma figura plana de forma arbitrária que não tenha qualquer simetria. São feitos dois ou três furos nesta figura. Depois se localiza seu centro de gravidade procurando-se o ponto sob o qual tem de ser colocada a parte superior do palito de churrasco na vertical tal que a figura permaneça em equilíbrio na horizontal ao ser solta do repouso. Marca-se este ponto.
Utiliza-se agora o segundo procedimento de encontrar o centro de gravidade. Ou seja, dependura-se a figura na vertical por um alfinete horizontal que passa por cada um dos furos da figura, aguarda-se que ela atinja o equilíbrio em cada caso, traçam-se as verticais pelos pontos de suspensão e marca-se o encontro destas verticais. Observa-se que o cruzamento destas verticais coincide com o centro de gravidade obtido anteriormente, embora a figura não possua qualquer simetria.
Podemos resumir estas experiências da seguinte maneira. Suspende-se um corpo rígido por um ponto de suspensão P S1, tal que o corpo seja livre para
girar em todos os sentidos ao redor deste ponto. Para cada ponto P S vai existir uma posição preferencial tal que o corpo vai permanecer em equilíbrio ao ser solto do repouso. Caso ele não seja solto nesta posição preferencial, ao ser solto do repouso o corpo vai executar um movimento oscilatório ao redor da vertical passando por P S, até parar devido ao atrito. Depois que o corpo atingiu o equilíbrio, traça-se uma vertical passando por P S1. Escolhe-se então
um segundo ponto P S2 que não esteja ao longo da primeira vertical e repete-
se o procedimento. Vem da experiência que estas duas verticais obtidas desta maneira se encontram em um ponto. O mesmo vai ocorrer quando o corpo é suspenso por qualquer outro ponto P S. Ou seja, todas as verticais que passam pelos pontos de sustentação quando o corpo está em equilíbrio se cruzam em um único ponto.
Estes fatos permitem uma definição bem geral apresentada a seguir. Definição Prática CG6: Centro de gravidade de um corpo é o ponto de encontro de todas as verticais passando pelos pontos de suspensão do corpo quando ele está em equilíbrio e tem liberdade para girar ao redor destes pontos. O procedimento detalhado para se encontrar o centro de gravidade traçando as verticais passando por cada ponto de suspensão já foi apresentado anterior- mente. Ele está ilustrado na Figura 4.28 para um corpo de forma arbitrária.
CG
PS
2E
2E
1PS
1Figura 4.28: Segundo procedimento experimental para achar o CG de uma figura de forma arbitrária.
Vem da experiência que o centro de gravidade é único para cada corpo. Além disso, ele não precisa coincidir com nenhum ponto material do corpo, como vimos no caso de figuras côncavas ou com buracos. É importante enfatizar nesta definição que o corpo tem de ter liberdade para girar ao redor do ponto de suspensão. Podemos manter uma régua homogênea em equilíbrio com seu lado mais comprido na horizontal, por exemplo, segurando-a por uma de suas extremidades, desde que a prendamos com força nesta extremidade, impedindo- a de girar. Neste caso não podemos traçar a vertical pelo ponto de suspensão já que ela não está livre para girar. Caso lhe seja dada liberdade para girar, ela não vai permanecer nesta posição ao ser solta do repouso, mas vai girar até ficar com seu eixo maior na vertical. Outro aspecto relevante a enfatizar é que as verticais que vão ser utilizadas para encontrar o CG só devem ser traçadas depois que o corpo estiver em equilíbrio, ou seja, com todas as suas partes paradas em relação à Terra. Não se deve traçar nenhuma vertical enquanto ele estiver oscilando ao redor da posição de equilíbrio. Tudo isto está explícito na definição anterior, mas quisemos chamar atenção para estes pontos.
definição CG2. A definição CG2 é mais intuitiva e indica de maneira clara a existência de um ponto único e específico em cada corpo tal que ele pode ficar em equilíbrio sob a ação da gravidade quando apoiado por este ponto. Mas a definição CG2 apresenta problemas ao lidar com corpos ocos ou volumétricos, como vimos anteriormente. A definição CG6 é mais geral e se aplica a todos os casos encontrados até agora.
No caso de corpos volumétricos é necessário suspender o corpo por um fio ligado a um dos pontos externos do corpo, P S1. Esperamos até que o corpo
atinja o equilíbrio. Depois temos de imaginar a vertical passando por P S1sendo
estendida para baixo até atingir a extremidade E1do corpo. Então suspendemos
o corpo pelo fio ligado a um outro ponto externo do corpo, P S2. Esperamos
até que o corpo atinja o equilíbrio e imaginamos a vertical que passa por P S2
sendo estendida para baixo até atingir um outro ponto externo E2 do corpo.
A intersecção destas duas verticais é o CG do corpo. Este procedimento está ilustrado na Figura 4.29 no caso de um cubo.
PS1
E1
E2
PS2
CG
Figura 4.29: Segundo procedimento experimental para achar o CG de um cubo. Agora que já temos uma definição clara e geral do centro de gravidade, podemos clarificar os conceitos relacionados ao apoio ou à suspensão de um corpo apresentando duas definições.
• Ponto de apoio: Dizemos que um corpo em equilíbrio está apoiado por um ponto (ou por uma pequena superfície ou região) quando este ponto de apoio está abaixo do centro de gravidade do corpo. Este ponto de apoio será representado pelas letras P A.
• Ponto de suspensão: Dizemos que um corpo em equilíbrio está suspenso por um ponto (ou por uma pequena superfície ou região) quando este ponto de suspensão está acima do centro de gravidade do corpo. Este ponto de suspensão ou de sustentação será representado pelas letras P S.